司俊嶺，劉少東，沙龍

（黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)工程學(xué)院，大慶 163319)

基于整體與局部理論細(xì)觀Reddy層合梁振動(dòng)尺度效應(yīng)分析

司俊嶺，劉少東，沙龍

（黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)工程學(xué)院，大慶 163319)

針對(duì)經(jīng)典力學(xué)理論無(wú)法反映細(xì)觀層合梁振動(dòng)尺度效應(yīng)的問題，提出細(xì)觀reddy層合梁振動(dòng)模型?；谡w與局部理論，建立層合梁位移函數(shù)，基于新修正偶應(yīng)力理論，引入細(xì)觀材料長(zhǎng)度參數(shù)?。通過哈密爾頓原理和變分原理，推導(dǎo)出了含有細(xì)觀材料長(zhǎng)度參數(shù)?的振動(dòng)控制方程和邊界條件。最后通過算例表明：在偶應(yīng)力的影響下，此模型能夠反映出細(xì)觀層合梁振動(dòng)尺度效應(yīng)。

層合梁；整體與局部理論；偶應(yīng)力理論；尺度效應(yīng)；自由振動(dòng)

當(dāng)構(gòu)件尺寸減小至微米和納米級(jí)時(shí)，其一些物理特性與宏觀物理特性相差很大，這種現(xiàn)象已經(jīng)得到實(shí)驗(yàn)證明[2-4]，我們把這種由于構(gòu)件尺寸變小而引起其物理特性發(fā)生變化的現(xiàn)象叫尺度效應(yīng)，但用經(jīng)典力學(xué)理論是無(wú)法解釋尺度效應(yīng)，于是微尺度力學(xué)理論得到發(fā)展。

微尺度力學(xué)理論發(fā)展到現(xiàn)在主要包括兩種理論，一種是應(yīng)變梯度理論，另一種是偶應(yīng)力理論。前者主要考慮拉伸梯度、膨脹和旋轉(zhuǎn)梯度，后者主要考慮旋轉(zhuǎn)梯度，這兩種理論都能夠解釋尺度效應(yīng)問題，都是在經(jīng)典力學(xué)框架下增加含有材料長(zhǎng)度系數(shù)?的高階方程，由于這兩種理論含有材料長(zhǎng)度系數(shù)?的個(gè)數(shù)較多，計(jì)算十分麻煩，不利于工程應(yīng)用。直到2002年，Yang[5]等基于經(jīng)典偶應(yīng)力理論發(fā)展出一種修正偶應(yīng)力理論，此理論只含有1個(gè)細(xì)觀材料長(zhǎng)度參數(shù)，減少了細(xì)觀材料長(zhǎng)度參數(shù)數(shù)目，降低了確定長(zhǎng)度參數(shù)難度，另外該理論利用力偶矩平衡條件，推導(dǎo)出對(duì)稱的旋轉(zhuǎn)張量和偶應(yīng)力張量，這樣可以用解決經(jīng)典力學(xué)方法來(lái)解決偶應(yīng)力問題，有利于工程應(yīng)用，因此修正偶應(yīng)力理論引起了各國(guó)學(xué)者高度重視。

在Yang[5]提出的修正偶應(yīng)力理論基礎(chǔ)上，學(xué)者Park和Gao[6]、Metin[7]、Tsiatas[8]、Ma[9]和Reddy[10-11]分別提出了伯努利歐拉梁模型、非局部梁理論、Kirchhoff板模型、非經(jīng)典R-L梁模型和微結(jié)構(gòu)Timoshenko梁模型以及梯度梁模型。由于修正偶應(yīng)力理論是針對(duì)各向同性材料提出的，而不適用于各向異性材料，比如復(fù)合材料層合梁和層合板等，對(duì)此陳萬(wàn)吉等[12-15]在修正偶應(yīng)力理論基礎(chǔ)上提出適用于各向異性材料新修正偶應(yīng)力理論，并且建立了微尺度下復(fù)合材料一階剪切變形層合梁板模型和復(fù)合材料層合Reddy梁板模型。

基于整體與局部理論和新修正偶應(yīng)力理論，建立細(xì)觀層合Reddy梁振動(dòng)模型，分析層合梁自由振動(dòng)尺度效應(yīng)，數(shù)值結(jié)果表明，在偶應(yīng)力的作用下，此模型能夠反映出層合梁振動(dòng)尺度效應(yīng)。

1 理論公式

1.1 整體與局部理論

由于整體與局部理論滿足層間剪應(yīng)力連續(xù)和表面應(yīng)力為零的條件，所以在分析層合Reddy梁振動(dòng)尺度效應(yīng)時(shí)，數(shù)值會(huì)更準(zhǔn)確，整體與局部理論位移函數(shù)如下：

1.2 新修正偶應(yīng)力理論

新修正偶應(yīng)力理論適用于各向異性材料，并且每層只含有一個(gè)細(xì)觀材料長(zhǎng)度參數(shù)，其細(xì)觀層和梁本構(gòu)關(guān)系[12]：

1.3 細(xì)觀Reddy層合梁控制方程

根據(jù)式（2），細(xì)觀層合梁第k層旋轉(zhuǎn)變量為：

根據(jù)幾何方程：

利用哈密爾頓原理來(lái)確定層合梁的平衡方程以及邊界條件，此原理可以表達(dá)為：

其中：

式（8），ρk表示第k層材料的密度，式（10）和是體力在X軸和Z軸方向的分量，是Z方向體力矩的分量，而分別表示施加的軸向力，剪切力以及在梁的兩端施加的彎曲力偶矩，把式（6）帶入到式（7），經(jīng)過變分可得出平衡方程：

位移邊界條件是：

把幾何關(guān)系式（6）和式（3）代入式（12）可有：

用位移（u0，u11，w，γx）表示平衡方程是：

2 算例

簡(jiǎn)支層合梁（如圖1所示），密度為ρ=1 578 kg·m-3，其鋪設(shè)角為（90，0，90），寬b=25×10-6m，長(zhǎng)L=200× 10-6m，厚度h=25×10-6m；材料參數(shù)：E2=6.9×109Pa，E1=25E2，G12=G13=0.5E2，G23=0.2E2，v12=v13=v23=0.25，其中下標(biāo)1和2分別代表纖維和基體的方向。

其邊界條件是：

根據(jù)Navier解的方法，位移函數(shù)應(yīng)該滿足邊界條件，所以可以設(shè)位移函數(shù)為：

把式（22）帶入到式（20），解方程可得到層合梁的振動(dòng)頻率，為了說(shuō)明層合梁振動(dòng)尺度效應(yīng)，我們以兩種形式進(jìn)行具體分析：

（1）如表1所示，在每一個(gè)模態(tài)中（m=1…5），對(duì)?取不同的值所得到層合梁振動(dòng)頻率隨?值增加而增加，并且模態(tài)越高，偶應(yīng)力對(duì)層合梁振動(dòng)尺度效應(yīng)影響越大。

（2）如圖2所示，為了更直觀描述細(xì)觀層合梁尺度效應(yīng)，我們選取在模態(tài)m=5時(shí)，偶應(yīng)力解和經(jīng)典解隨h/?變化規(guī)律，其中取細(xì)觀材料尺度參數(shù)為層合梁的厚度?？梢钥吹剑琱/?比值較小時(shí)，新修正偶應(yīng)力理論計(jì)算頻率要遠(yuǎn)大于經(jīng)典層合梁理論計(jì)算頻率，當(dāng)h/?比值較大時(shí)，即?相對(duì)于h較小，兩種理論算出的頻率非常接近。

表1 Reddy梁振動(dòng)頻率Table 1Natural frequency of the Reddy beam model

3 結(jié)論

基于整體與局部理論和新修正偶應(yīng)力理論，建立了細(xì)觀reddy層合梁振動(dòng)模型，此模型以旋轉(zhuǎn)角度和位移作為獨(dú)立變量，推導(dǎo)出了含有一個(gè)細(xì)觀材料尺度參數(shù)?控制方程，最后通過算例，數(shù)值表明此模型能夠反映出層合梁振動(dòng)尺度效應(yīng)，同時(shí)也說(shuō)明隨著細(xì)觀材料尺度參數(shù)不斷增大，層合梁振動(dòng)頻率也隨之增大，而且要大于經(jīng)典力學(xué)所得出細(xì)觀層合梁振動(dòng)頻率。

圖2 Reddy梁振頻率（m=5）Fig.2Natural frequency of the Reddy beam model（m=5）

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Size-dependent Free Vibration Analysis of Micro-laminated Reddy Beam Based on the Global-local Theory

Si Junling，Liu Shaodong，Sha Long
（College of Engineering，Heilongjiang Bayi Agricultural University，Daqing 163319）

Because the conventional continuum theory couldn’t explain the scale effects of micro-laminated beam，the model of micro-laminated reddy beam was presented.Based on the global-local theory，the displacement function of laminated beam was built. According to the new modified couple stress theory，the material length-scale parameter ? was introduced.In terms of the Hamilton’s principle and variational principle，the vibration equations of the laminated beam and the boundary conditions including the parameter ? were deduced.Finally，numerical results of an example showed that the scale effects of the natural frequencies of the composite laminated beam could be reflected by the developed beam model.

composite laminated beam；the global-local theory；couple-stress theory；size-dependent；free vibration

TB301

A

1002-2090（2017）01-0105-05

2016-01-07

司俊嶺（1985-），男，助教，沈陽(yáng)航空航天大學(xué)畢業(yè)，現(xiàn)主要從事飛行技術(shù)教學(xué)和飛機(jī)復(fù)合材料力學(xué)方面的教學(xué)與研究工作。