尹 雪，劉 寧，張慶成

(東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024)

李超三系上帶有權(quán)λ的廣義導(dǎo)子

尹 雪，劉 寧，張慶成

(東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024)

給出了李超三系上帶有權(quán)λ的廣義(θ，φ)-導(dǎo)子和帶有權(quán)λ的廣義Jordan(θ，φ)-導(dǎo)子的定義，得到了李超三系上帶有權(quán)λ的廣義Jordan(θ，φ)-導(dǎo)子是帶有權(quán)λ的廣義(θ，φ)-導(dǎo)子的充分條件，對(duì)李超三系上廣義導(dǎo)子的相關(guān)結(jié)果進(jìn)行了推廣.

廣義導(dǎo)子；廣義Jordan導(dǎo)子；李超三系；權(quán)λ

1 預(yù)備知識(shí)

李超三系的概念是在解Yang-Baxter方程的過(guò)程中逐漸提出的.[1]文獻(xiàn)[2]應(yīng)用三角積解決了Yang-Baxter方程的問(wèn)題.李超三系雖然是新提出的，但它易于接受，其與李超代數(shù)的關(guān)系，就如同李三系與李代數(shù)的關(guān)系.李三系的研究曾主要集中在單李三系的研究上，文獻(xiàn)[3]從多個(gè)方面對(duì)李三系進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，對(duì)李三系的導(dǎo)子、分解唯一性等都進(jìn)行了系統(tǒng)的討論.

導(dǎo)子代數(shù)與廣義導(dǎo)子代數(shù)在李代數(shù)和李超代數(shù)的研究中起著非常重要的作用.[4]文獻(xiàn)[5-6]對(duì)n-李代數(shù)導(dǎo)子、李三系廣義導(dǎo)子進(jìn)行了研究，但是帶有權(quán)的廣義導(dǎo)子的研究卻少之又少.本文在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上對(duì)帶有權(quán)的廣義導(dǎo)子進(jìn)行了研究.

定義1.1[8]Z2-階化線性空間T上若有三元運(yùn)算[·，·，·]滿足：

(1)d([x，y，z])≡(d(x)+d(y)+d(z))(mod 2)；

(2) [x，y，z]=-(-1)d(x)d(y)[y，x，z]；

(3) (-1)d(x)d(z)[x，y，z]+(-1)d(x)d(y)[y，z，x]+(-1)d(y)d(z)[z，x，y]=0；

(4) [u，v，[x，y，z]]=[[u，v，x]，y，z]+(-1)(d(u)+d(v))d(x)[x，[u，v，y]，z]+(-1)(d(u)+d(v))(d(x)+d(y))·[x，y，[u，v，z]].

其中x，y，z，u，v是T中的齊次元素，d(x)表示齊次元素x的Z2次數(shù).則稱T為李超三系.本文中符號(hào)d(x)出現(xiàn)時(shí)默認(rèn)x為T(mén)中的齊次元素.

定義1.2[7]設(shè)T是李超三系，則：

(1) 一個(gè)齊次線性映射D1：T→T被稱為關(guān)于(θ，φ)1-導(dǎo)子δ1的廣義(θ，φ)1-導(dǎo)子，若d(D1)=d(δ1)，且

D1([x，y，z])=[δ1(x)，θ(y)，φ(z)]+(-1)d(D1)d(x)[θ(x)，δ1(y)，φ(z)]+
(-1)d(D1)(d(x)+d(y))[θ(x)，φ(y)，D1(z)]，?x，y，z∈T；

(2) 一個(gè)齊次線性映射D2：T→T被稱為關(guān)于(θ，φ)2-導(dǎo)子δ2的廣義(θ，φ)2-導(dǎo)子，若d(D2)=d(δ2)，且

D2([x，y，z])=[δ2(x)，θ(y)，θ(z)]+(-1)d(D2)d(x)[θ(x)，δ2(y)，φ(z)]+
(-1)d(D2)(d(x)+d(y))[φ(x)，φ(y)，D2(z)]，?x，y，z∈T；

(3) 一個(gè)齊次線性映射D3：T→T被稱為關(guān)于(θ，φ)3-導(dǎo)子δ3的廣義(θ，φ)3-導(dǎo)子，若d(D3)=d(δ3)，且

D3([x，y，z])=[δ3(x)，θ(y)，θ(z)]+(-1)d(D3)d(x)[φ(x)，δ3(y)，θ(z)]+
(-1)d(D3)(d(x)+d(y))[φ(x)，φ(y)，D3(z)]，?x，y，z∈T.

特別地，?i=1，2，3，若θ=φ，則稱廣義(θ，φ)i-導(dǎo)子D為關(guān)于θ-導(dǎo)子δ的廣義θ-導(dǎo)子.當(dāng)θ=φ=1T且δ是導(dǎo)子時(shí)，稱D是廣義導(dǎo)子.

定義1.3[7]設(shè)T是李超三系，有：

(1) 若δ1為Jordan(θ，φ)1-導(dǎo)子，則一個(gè)齊次線性映射D1：T→T被稱為關(guān)于δ1的廣義Jordan(θ，φ)1-導(dǎo)子，如果d(D1)=d(δ1)，且

D1([x，y，x])=[δ1(x)，θ(y)，φ(x)]+(-1)d(D1)d(x)[θ(x)，δ1(y)，φ(x)]+
(-1)d(D1)(d(x)+d(y))[θ(x)，φ(y)，D1(x)]，?x，y∈T；

(2) 若δ2為Jordan(θ，φ)2-導(dǎo)子，則一個(gè)齊次線性映射D2：T→T被稱為關(guān)于δ2的廣義Jordan(θ，φ)2-導(dǎo)子，如果d(D2)=d(δ2)，且

D2([x，y，x])=[δ2(x)，θ(y)，θ(x)]+(-1)d(D2)d(x)[θ(x)，δ2(y)，φ(x)]+
(-1)d(D2)(d(x)+d(y))[φ(x)，φ(y)，D2(x)]，?x，y∈T；

(3) 若δ3為Jordan(θ，φ)3-導(dǎo)子，則一個(gè)齊次線性映射D3：T→T被稱為關(guān)于δ3的廣義Jordan(θ，φ)3-導(dǎo)子，如果d(D3)=d(δ3)，且

D3([x，y，x])=[δ3(x)，θ(y)，θ(x)]+(-1)d(D3)d(x)[φ(x)，δ3(y)，θ(x)]+
(-1)d(D3)(d(x)+d(y))[φ(x)，φ(y)，D3(x)]，?x，y∈T.

特別地，?i=1，2，3，若θ=φ，則稱廣義Jordan(θ，φ)i-導(dǎo)子D為關(guān)于Jordanθ-導(dǎo)子δ的廣義Jordanθ-導(dǎo)子.當(dāng)θ=φ=1T，且δ是Jordan導(dǎo)子時(shí)，稱D是廣義Jordan導(dǎo)子.

本文假設(shè)：基域F的特征不為3；T是一個(gè)李超三系；θ，φ：T→T是T的齊次線性映射，且d(θ)=d(φ)=0.

定義1.4設(shè)T是李超三系，有：

(1) 設(shè)α1是(θ，φ)1-導(dǎo)子，且d(α1)=0，δ1為帶有權(quán)λ的(θ，φ)1-導(dǎo)子.一個(gè)齊次線性映射D1：T→T被稱為關(guān)于δ1的廣義帶有權(quán)λ的(θ，φ)1-導(dǎo)子，若d(D1)=d(δ1)，且

D1([x，y，z])=[δ1(x)，θ(y)，φ(z)]+(-1)d(D1)d(x)[θ(x)，δ1(y)，φ(z)]+
(-1)d(D1)(d(x)+d(y))[θ(x)，φ(y)，D1(z)]+λ[α1(x)，α1(y)，φ(z)]+
λ[α1(x)，θ(y)，α1(z)]+λ[θ(x)，α1(y)，α1(z)]+λ2[α1(x)，α1(y)，α1(z)]，?x，y，z∈T.

(2) 設(shè)α2是(θ，φ)2-導(dǎo)子，且d(α2)=0，δ2為帶有權(quán)λ的(θ，φ)2-導(dǎo)子.一個(gè)齊次線性映射D2：T→T被稱為關(guān)于δ2的廣義帶有權(quán)λ的(θ，φ)2-導(dǎo)子，若d(D2)=d(δ2)，且

D2([x，y，z])=[δ2(x)，θ(y)，θ(z)]+(-1)d(D2)d(x)[θ(x)，δ2(y)，φ(z)]+
(-1)d(D2)(d(x)+d(y))[φ(x)，φ(y)，D2(z)]+λ[α2(x)，α2(y)，φ(z)]+
λ[α2(x)，φ(y)，α2(z)]+λ[φ(x)，α2(y)，α2(z)]+λ2[α2(x)，α2(y)，α2(z)]，?x，y，z∈T.

(3) 設(shè)α3是(θ，φ)3-導(dǎo)子，且d(α3)=0，δ3為帶有權(quán)λ的(θ，φ)3-導(dǎo)子.一個(gè)齊次線性映射D3：T→T被稱為關(guān)于δ3的廣義帶有權(quán)λ的(θ，φ)3-導(dǎo)子，若d(D3)=d(δ3)，且

D3([x，y，z])=[δ3(x)，θ(y)，θ(z)]+(-1)d(D3)d(x)[φ(x)，δ3(y)，θ(z)]+
(-1)d(D3)(d(x)+d(y))[φ(x)，φ(y)，D3(z)]+λ[α3(x)，α3(y)，θ(z)]+
λ[α3(x)，φ(y)，α3(z)]+λ[φ(x)，α3(y)，α3(z)]+λ2[α3(x)，α3(y)，α3(z)]，?x，y，z∈T.

特別地，?i=1，2，3，若θ=φ，則稱廣義帶有權(quán)λ的(θ，φ)i-導(dǎo)子D為關(guān)于帶有權(quán)λ的θ-導(dǎo)子δ的廣義帶有權(quán)λ的θ-導(dǎo)子.當(dāng)θ=φ=1T，且δ是帶有權(quán)λ的導(dǎo)子時(shí)，稱D是廣義帶有權(quán)λ的導(dǎo)子.

定義1.5設(shè)T是李超三系，有：

(1) 設(shè)α1是Jordan(θ，φ)1-導(dǎo)子，且d(α1)=0，δ1為帶有權(quán)λ的Jordan(θ，φ)1-導(dǎo)子.一個(gè)齊次線性映射D1：T→T被稱為關(guān)于δ1的廣義帶有權(quán)λ的Jordan(θ，φ)1-導(dǎo)子，若d(D1)=d(δ1)，且

D1([x，y，x])=[δ1(x)，θ(y)，φ(x)]+(-1)d(D1)d(x)[θ(x)，δ1(y)，φ(x)]+
(-1)d(D1)(d(x)+d(y))[θ(x)，φ(y)，D1(x)]+λ[α1(x)，α1(y)，φ(x)]+
λ[α1(x)，θ(y)，α1(x)]+λ[θ(x)，α1(y)，α1(x)]+λ2[α1(x)，α1(y)，α1(x)]，?x，y∈T.

(2) 設(shè)α2是Jordan(θ，φ)2-導(dǎo)子，且d(α2)=0，δ2為帶有權(quán)λ的Jordan(θ，φ)2-導(dǎo)子.一個(gè)齊次線性映射D2：T→T被稱為關(guān)于δ2的廣義帶有權(quán)λ的Jordan(θ，φ)2-導(dǎo)子，若d(D2)=d(δ2)，且

D2([x，y，x])=[δ2(x)，θ(y)，θ(x)]+(-1)d(D2)d(x)[θ(x)，δ2(y)，φ(x)]+
(-1)d(D2)(d(x)+d(y))[φ(x)，φ(y)，D2(x)]+λ[α2(x)，α2(y)，φ(x)]+
λ[α2(x)，φ(y)，α2(x)]+λ[φ(x)，α2(y)，α2(x)]+λ2[α2(x)，α2(y)，α2(x)]，?x，y∈T.

(3) 設(shè)α3是Jordan(θ，φ)3-導(dǎo)子，且d(α3)=0，δ3為帶有權(quán)λ的Jordan(θ，φ)3-導(dǎo)子.一個(gè)齊次線性映射D3：T→T被稱為關(guān)于δ3的廣義帶有權(quán)λ的Jordan(θ，φ)3-導(dǎo)子，若d(D3)=d(δ3)，且

D3([x，y，x])=[δ3(x)，θ(y)，θ(x)]+(-1)d(D3)d(x)[φ(x)，δ3(y)，θ(x)]+
(-1)d(D3)(d(x)+d(y))[φ(x)，φ(y)，D3(x)]+λ[α3(x)，α3(y)，θ(x)]+
λ[α3(x)，φ(y)，α3(x)]+λ[φ(x)，α3(y)，α3(x)]+λ2[α3(x)，α3(y)，α3(x)]，?x，y∈T.

特別地，?i=1，2，3，若θ=φ，則稱廣義帶有權(quán)λ的Jordan(θ，φ)i-導(dǎo)子D為關(guān)于帶有權(quán)λ的Jordanθ-導(dǎo)子δ的廣義帶有權(quán)λ的Jordanθ-導(dǎo)子.當(dāng)θ=φ=1T，且δ是帶有權(quán)λ的Jordan導(dǎo)子時(shí)，稱D是廣義帶有權(quán)λ的Jordan導(dǎo)子.

注1在上述定義中，當(dāng)λ=0時(shí)，帶有權(quán)λ的廣義(θ，φ)i-導(dǎo)子是廣義(θ，φ)i-導(dǎo)子，帶有權(quán)λ的廣義Jordan(θ，φ)i-導(dǎo)子是廣義Jordan(θ，φ)i-導(dǎo)子(i=1，2，3).[7]當(dāng)D=δ時(shí)，帶有權(quán)λ的廣義(θ，φ)i-導(dǎo)子是帶有權(quán)λ的(θ，φ)i-導(dǎo)子，帶有權(quán)λ的廣義Jordan (θ，φ)i-導(dǎo)子是帶有權(quán)λ的Jordan (θ，φ)i-導(dǎo)子(i=1，2，3).[9]

注2顯然，當(dāng)Di是T的帶有權(quán)λ的(θ，φ)i-導(dǎo)子時(shí)，Di是T的帶有權(quán)λ的Jordan(θ，φ)i-導(dǎo)子(i=1，2，3).

注3在上述定義中，(θ，φ)i-導(dǎo)子及Jordan(θ，φ)i-導(dǎo)子的定義見(jiàn)文獻(xiàn)[7](i=1，2，3).

2 主要結(jié)論及證明

定理2.1設(shè)δ為帶有權(quán)λ的(θ，φ)1-導(dǎo)子，則D是T關(guān)于δ的帶有權(quán)λ的廣義(θ，φ)1-導(dǎo)子，當(dāng)且僅當(dāng)D是關(guān)于δ的帶有權(quán)λ的廣義Jordan(θ，φ)1-導(dǎo)子，且?x，y，z∈T，滿足：

(1) [θ(x)，φ(y)，D(z)]=[φ(x)，θ(y)，D(z)]；

(2) (-1)d(x)d(z)B(x，y，z)+(-1)d(x)d(y)B(y，z，x)+(-1)d(y)d(z)B(z，x，y)=0.

其中

B(x，y，z)=[δ(x)，θ(y)，φ(z)]+(-1)d(D)d(x)[θ(x)，δ(y)，φ(z)]+
(-1)d(D)(d(x)+d(y))[θ(x)，φ(y)，D(z)]+λ[α1(x)，α1(y)，φ(z)]+
λ[α1(x)，θ(y)，α1(z)]+λ[θ(x)，α1(y)，α1(z)]+λ2[α1(x)，α1(y)，α1(z)].

證明必要性.設(shè)D是T的關(guān)于δ的帶有權(quán)λ的廣義(θ，φ)1-導(dǎo)子，則顯然D是帶有權(quán)λ的廣義Jordan(θ，φ)1-導(dǎo)子，且由定義1.1的條件(2)可得

D( [x，y，z])=-(-1)d(x)d(y)D([y，x，z])，

(1)

-(-1)d(x)d(y)D([y，x，z])=(-1)d(x)d(y)[δ(y)，θ(x)，φ(z)]+(-1)d(D)d(y)[θ(y)，δ(x)，φ(z)]+
(-1)d(D)(d(x)+d(y))[θ(y)，φ(x)，D(z)]+λ[α1(y)，α1(x)，φ(z)]+
λ[α1(y)，θ(x)，α1(z)]+λ[θ(y)，α1(x)，α1(z)]+λ2[α1(y)，α1(x)，α1(z)]=
(-1)d(D)d(x)[θ(x)，δ(y)，φ(z)]+[δ(x)，θ(y)，φ(z)]+
(-1)d(D)(d(x)+d(y))[φ(x)，θ(y)，D(z)]+λ[α1(x)，α1(y)，φ(z)]+
λ[α1(x)，θ(y)，α1(z)]+λ[θ(x)，α1(y)，α1(z)]+λ2[α1(x)，α1(y)，α1(z)].

從而由(1)式有

[θ(x)，φ(y)，D(z)]=[φ(x)，θ(y)，D(z)].

因?yàn)镈是T關(guān)于δ的帶有權(quán)λ的廣義(θ，φ)1-導(dǎo)子，故D([x，y，z])=B(x，y，z)，從而

(-1)d(x)d(z)B(x，y，z)+(-1)d(x)d(y)B(y，z，x)+(-1)d(y)d(z)B(z，x，y)=
(-1)d(x)d(z)D([x，y，z])+(-1)d(x)d(y)D([y，z，x])+(-1)d(y)d(z)D([z，x，y])=
D((-1)d(x)d(z)[x，y，z]+(-1)d(x)d(y)[y，z，x]+(-1)d(y)d(z)[z，x，y])=0.

充分性.設(shè)D是關(guān)于δ的帶有權(quán)λ的廣義Jordan(θ，φ)1-導(dǎo)子，且滿足條件(1)和(2).為證明結(jié)論，只需要證明B(y，x，z)=-(-1)d(x)d(y)B(x，y，z)成立.事實(shí)上，

B(y，x，z)=[δ(y)，θ(x)，φ(z)]+(-1)d(D)d(y)[θ(y)，δ(x)，φ(z)]+
(-1)d(D)(d(x)+d(y))[θ(y)，φ(x)，D(z)]+λ[α1(y)，α1(x)，φ(z)]+
λ[α1(y)，θ(x)，α1(z)]+λ[θ(y)，α1(x)，α1(z)]+λ2[α1(y)，α1(x)，α1(z)]=
-(-1)d(x)(d(D)+d(y))[θ(x)，δ(y)，φ(z)]-(-1)d(D)d(y)+d(y)(d(D)+d(x))[δ(x)，θ(y)，φ(z)]-
(-1)d(D)(d(x)+d(y))+d(x)d(y)[φ(x)，θ(y)，D(z)]-λ(-1)d(x)d(y)[α1(x)，α1(y)，φ(z)]-
λ(-1)d(x)d(y)[α1(x)，θ(y)，α1(z)]-λ(-1)d(x)d(y)[θ(x)，α1(y)，α1(z)]-
λ2(-1)d(x)d(y)[α1(x)，α1(y)，α1(z)]=-(-1)d(x)d(y)((-1)d(x)d(D)[θ(x)，δ(y)，φ(z)]+
[δ(x)，θ(y)，φ(z)]+(-1)d(D)(d(x)+d(y))[φ(x)，θ(y)，D(z)]+λ[α1(x)，α1(y)，φ(z)]+
λ[α1(x)，θ(y)，α1(z)]+λ[θ(x)，α1(y)，α1(z)]+
λ2[α1(x)，α1(y)，α1(z)])=-(-1)d(x)d(y)B(x，y，z).

從而D是T關(guān)于δ的帶有權(quán)λ的廣義(θ，φ)1-導(dǎo)子.

推論2.1設(shè)δ為帶有權(quán)λ的θ-導(dǎo)子，則D是T關(guān)于δ的帶有權(quán)λ的廣義θ-導(dǎo)子，當(dāng)且僅當(dāng)δ為帶有權(quán)λ的Jordanθ-導(dǎo)子，D是關(guān)于δ的帶有權(quán)λ的廣義Jordanθ-導(dǎo)子，且

F(x，y，z)+F(y，z，x)+F(z，x，y)=0.

(2)

其中

F(x，y，z)=(-1)d(z)(d(D)+d(x))[θ(x)，θ(y)，(D-δ)(z)].

證明充分性.設(shè)D是帶有權(quán)λ的廣義Jordanθ-導(dǎo)子，則顯然定理2.1中的條件(1)成立，下證條件(2)也成立.利用(2)式與定義1.1，

(-1)d(x)d(z)B(x，y，z)+(-1)d(x)d(y)B(y，z，x)+(-1)d(y)d(z)B(z，x，y)=
(-1)d(x)d(z)[δ(x)，θ(y)，θ(z)]+(-1)d(x)d(z)+d(D)d(x)[θ(x)，δ(y)，θ(z)]+
(-1)d(x)d(z)+d(D)(d(x)+d(y))[θ(x)，θ(y)，D(z)]+λ(-1)d(x)d(z)[α1(x)，α1(y)，θ(z)]+
λ(-1)d(x)d(z)[α1(x)，θ(y)，α1(z)]+λ(-1)d(x)d(z)[θ(x)，α1(y)，α1(z)]+
λ2(-1)d(x)d(z)[α1(x)，α1(y)，α1(z)]+(-1)d(x)d(y)[δ(y)，θ(z)，θ(x)]+
(-1)d(D)d(y)+d(x)d(y)[θ(y)，δ(z)，θ(x)]+(-1)d(D)(d(z)+d(y))+d(x)d(y)[θ(y)，θ(z)，D(x)]+
λ(-1)d(x)d(y)[α1(y)，α1(z)，θ(x)]+λ(-1)d(x)d(y)[α1(y)，θ(z)，α1(x)]+
λ(-1)d(x)d(y)[θ(y)，α1(z)，α1(x)]+λ2(-1)d(x)d(y)[α1(y)，α2(z)，α2(x)]+
(-1)d(y)d(z)[δ(z)，θ(x)，θ(y)]+(-1)d(D)d(z)+d(y)d(z)[θ(z)，δ(x)，θ(y)]+
(-1)d(D)(d(z)+d(x))+d(y)d(z)[θ(z)，θ(x)，D(y)]+λ(-1)d(y)d(z)[θ(z)，α1(x)，α1(y)]+
λ2(-1)d(y)d(z)[α1(z)，α1(x)，α1(y)]+λ(-1)d(y)d(z)[α1(z)，α1(x)，θ(y)]+
λ(-1)d(y)d(z)[α1(x)，θ(z)，α1(y)]=(-1)d(y)d(z)[δ(x)，θ(y)，θ(z)]+
(-1)d(x)d(z)+d(D)d(x)[θ(x)，δ(y)，θ(z)]+(-1)d(x)d(z)+d(D)(d(x)+d(y))[θ(x)，θ(y)，δ(z)]+
λ(-1)d(x)d(z)[α1(x)，α1(y)，θ(z)]+λ(-1)d(x)d(z)[α1(x)，θ(y)，α1(z)]+
λ(-1)d(x)d(z)[θ(x)，α1(y)，α1(z)]+λ2(-1)d(x)d(z)[α1(x)，α1(y)，α1(z)]+
(-1)d(x)d(y)[δ(y)，θ(z)，θ(x)]+(-1)d(D)d(y)+d(x)d(y)[θ(y)，δ(z)，θ(x)]+
(-1)d(D)(d(z)+d(y))+d(x)d(y)[θ(y)，θ(z)，δ(x)]+λ(-1)d(x)d(y)[α1(y)，α1(z)，θ(x)]+
λ(-1)d(x)d(y)[α1(y)，θ(z)，α1(x)]+λ(-1)d(x)d(y)[θ(y)，α1(z)，α1(x)]+
λ2(-1)d(x)d(y)[α1(y)，α2(z)，α2(x)]+(-1)d(y)d(z)[δ(z)，θ(x)，θ(y)]+
(-1)d(D)d(z)+d(y)d(z)[θ(z)，δ(x)，θ(y)]+(-1)d(D)(d(z)+d(x))+d(y)d(z)[θ(z)，θ(x)，δ(y)]+
λ(-1)d(y)d(z)[θ(z)，α1(x)，α1(y)]+λ2(-1)d(y)d(z)[α1(z)，α1(x)，α1(y)]+
λ(-1)d(y)d(z)[α1(z)，α1(x)，θ(y)]+λ(-1)d(y)d(z)[α1(z)，θ(x)，α1(y)]=
(-1)d(D)d(z)((-1)d(x)d(z)+d(D)d(z)[δ(x)，θ(y)，θ(z)]+
(-1)d(D)d(y)+d(x)d(y)[θ(y)，θ(z)，δ(x)]+(-1)d(y)d(z)[θ(z)，δ(x)，θ(y)])+
(-1)d(D)d(x)((-1)d(x)d(z)[θ(x)，δ(y)，θ(z)]+(-1)d(x)d(y)+d(D)d(x)[δ(y)，θ(z)，θ(x)]+
(-1)d(D)d(z)+d(y)d(z)[θ(z)，θ(x)，δ(y)])+(-1)d(D)d(y)((-1)d(x)d(D)+d(x)d(z)[θ(x)，θ(y)，δ(z)]+
(-1)d(x)d(y)[θ(y)，δ(z)，θ(x)]+(-1)d(y)d(z)+d(D)d(y)[δ(z)，θ(x)，θ(y)])+
λ((-1)d(x)d(z)[α1(x)，α1(y)，θ(z)]+(-1)d(x)d(y)[α1(y)，θ(z)，α1(x)]+
(-1)d(y)d(z)[θ(z)，α1(x)，α1(y)])+λ((-1)d(x)d(z)[α1(x)，θ(y)，α1(z)]+
(-1)d(x)d(y)[θ(y)，α1(z)，α1(x)]+(-1)d(y)d(z)[α1(z)，α1(x)，θ(y)])+
λ((-1)d(x)d(z)[θ(x)，α1(y)，α1(z)]+(-1)d(x)d(y)[α1(y)，α1(z)，θ(x)]+
(-1)d(y)d(z)[α1(z)，θ(x)，α1(y)])+λ2((-1)d(x)d(z)[α1(x)，α1(y)，α1(z)]+
(-1)d(x)d(y)[α1(y)，α1(z)，α1(x)]+(-1)d(y)d(z)[α1(z)，α1(x)，α1(y)])=0，

故定理2.1的條件(2)也成立.由推論2.1條件可知δ是帶有權(quán)λ的θ-導(dǎo)子，故由定理2.1可得D是關(guān)于δ的帶有權(quán)λ的廣義θ-導(dǎo)子.

必要性.設(shè)D是T關(guān)于δ的帶有權(quán)λ的廣義θ-導(dǎo)子.由定理2.1，

(-1)d(z)d(x)B(x，y，z)+(-1)d(x)d(y)B(y，z，x)+(-1)d(y)d(z)B(z，x，y)=0，

消去相同項(xiàng)即得

(-1)d(z)(d(D)+d(x))[θ(x)，θ(y)，(D-δ)(z)]+
(-1)d(x)(d(D)+d(y))[θ(y)，θ(z)，(D-δ)(x)]+
(-1)d(y)(d(D)+d(z))[θ(z)，θ(x)，(D-δ)(y)]=0，

即(2)式成立.顯然D是關(guān)于帶有權(quán)λ的Jordanθ-導(dǎo)子δ的帶有權(quán)λ的廣義Jordanθ-導(dǎo)子.

利用定理2.1的證明方法，易證下列結(jié)論：

定理2.2設(shè)δ為帶有權(quán)λ的(θ，φ)2-導(dǎo)子，則D是T關(guān)于δ的帶有權(quán)λ的(θ，φ)2-導(dǎo)子，當(dāng)且僅當(dāng)D是關(guān)于帶有權(quán)λ的(θ，φ)2-導(dǎo)子，且?x，y，z∈T，有：

(1) [δ(x)，θ(y)，(φ-θ)(z)]=(-1)d(D)d(x)[θ(x)，δ(y)，(φ-θ)(z)]；

(2) (-1)d(x)d(z)B′(x，y，z)+(-1)d(x)d(y)B′(y，z，x)+(-1)d(y)d(z)B′(z，x，y)=0.

其中

B′(x，y，z)=[δ(x)，θ(y)，θ(z)]+(-1)d(D)d(x)[θ(x)，δ(y)，φ(z)]+
(-1)d(D)(d(x)+d(y))[φ(x)，φ(y)，D(z)]+
λ[α2(x)，α2(y)，φ(z)]+λ[α2(x)，φ(y)，α2(z)]+
λ[φ(x)，α2(y)，α2(z)]+λ2[α2(x)，α2(y)，α2(z)].

定理2.3設(shè)δ為帶有權(quán)λ的(θ，φ)3-導(dǎo)子，則D是T關(guān)于δ的帶有權(quán)λ的(θ，φ)3-導(dǎo)子，當(dāng)且僅當(dāng)D是關(guān)于δ的帶有權(quán)λ的廣義Jordan(θ，φ)3-導(dǎo)子，且?x，y，z∈T，有：

(1) [δ(x)，(φ-θ)(y)，θ(z)]=(-1)d(D)d(x)[(φ-θ)(x)，δ(y)，θ(z)]；

(2) (-1)d(x)d(z)B″(x，y，z)+(-1)d(x)d(y)B″(y，z，x)+(-1)d(y)d(z)B″(z，x，y)=0.

其中

B″(x，y，z)=[δ(x)，θ(y)，θ(z)]+(-1)d(D)d(x)[φ(x)，δ(y)，θ(z)]+
(-1)d(D)(d(x)+d(y))[φ(x)，φ(y)，D(z)]+
λ[α3(x)，α3(y)，θ(z)]+λ[α3(x)，φ(y)，α3(x)]+
λ[φ(x)，α3(y)，α3(z)]+λ2[α3(x)，α3(y)，α3(z)].

注4推論2.1也可由定理2.2或者定理2.3得到.因?yàn)楫?dāng)D是帶有權(quán)λ的廣義Jordanθ-導(dǎo)子時(shí)，定理2.2和定理2.3的條件(1)均成立，且?x，y，z∈T，B(x，y，z)=B′(x，y，z)=B″(x，y，z).

[1] 潘玉霞，張慶成，馮閃.二次李超三系的分解及唯一性[J].東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012，44：9-13.

[2] OKUBO SUSUMU.Triple products and Yang-Baxter equation and symplectic ternary systems[J].J Math Phys，1993，34：3273-3292.

[3] 史毅茜.李三系的某些結(jié)果[D].天津：南開(kāi)大學(xué)，2003.

[4] 倪霖.李COLOR代數(shù)的廣義導(dǎo)子[D].長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)，2011.

[5] 趙冠華.n-李代數(shù)導(dǎo)子和自同構(gòu)群[J].河北師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2004，28(2)：127-129.

[6] LI HAI LING，WANG YING.Generalized Lie triple derivations[J].Linear and Multilinear Algebra Appl，2011，59(3)：237-247.

[7] 馬瑤，陳良云.李超三系的廣義導(dǎo)子[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2013，56(6)：961-970.

[8] OKUBO S.Parastatistics as Lie-supertriple systems[J].J Math Phys，1994，35(6)：2785-2803.

[9] 唐鑫鑫，劉寧，張慶成.李超三系上帶有權(quán)λ的導(dǎo)子[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2017，55(4)：797-803.

OngeneralizedderivationsofweightλofLiesupertriplesystems

YIN Xue，LIU Ning，ZHANG Qing-cheng

(School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China)

The concept of generalized (θ，φ)-derivations of weightλand generalized Jordan (θ，φ)-derivations of weightλon a Lie supertriple system are introduced.It is proved that under some conditions，generalized Jordan (θ，φ)-derivations of weightλare generalized (θ，φ)-derivations of weightλ，hence some relevant results of generalized derivations of Lie supertriple are extended.

generalized derivations；generalized Jordan derivations；Lie supertriple system；weightλ

1000-1832(2017)04-0001-06

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.04.001

2016-09-26

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11471090)；吉林省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(201301068JC).

尹雪(1992—)，女，碩士，主要從事李理論研究；通信作者：張慶成(1960—)，男，博士，教授，主要從事李理論研究.

O 152.5學(xué)科代碼110·2130

A

(責(zé)任編輯：李亞軍)