Rayleigh-Benard對(duì)流中的分歧解

周 洋，李 玫，周 強(qiáng)

(1.成都大學(xué)建筑與土木工程學(xué)院，成都 610106；2.成都大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，成都 610106)

Rayleigh-Benard對(duì)流是研究非線性動(dòng)力學(xué)特性的典型模型之一。在日常生活中這種對(duì)流現(xiàn)象較為多見(jiàn)，例如水庫(kù)分層和湖泊分層現(xiàn)象，這些現(xiàn)象可幫助人們對(duì)對(duì)流現(xiàn)象的理解。Rayleigh-Benard對(duì)流是指在一個(gè)封閉的渠槽內(nèi)，下表面均勻或者周期性加熱，上表面溫度保持一定，上下表面形成的溫度差超過(guò)某個(gè)臨界數(shù)值時(shí)，就會(huì)導(dǎo)致渠槽內(nèi)流體流動(dòng)的現(xiàn)象。對(duì)于這種流動(dòng)，Rayleigh與Benard先后進(jìn)行了理論與試驗(yàn)分析，從而被稱(chēng)作Rayleigh-Benard對(duì)流[1-3]。

Rayleigh-Benard對(duì)流是傳熱學(xué)中典型的熱對(duì)流問(wèn)題，簡(jiǎn)稱(chēng)RB對(duì)流。RB對(duì)流可以產(chǎn)生非常有趣的流場(chǎng)時(shí)空結(jié)構(gòu)。許多科研工作者在混合流體方面的研究比較深入，并取得了大量而有意義的成果。而對(duì)純流體對(duì)流研究尚不多見(jiàn)。本文以純流體的Rayleigh-Benard對(duì)流為例，經(jīng)過(guò)模擬發(fā)現(xiàn)了定常流動(dòng)解的不唯一性。存在著分歧解。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 流體力學(xué)基本方程組[4]

以一個(gè)封閉的渠槽作為研究對(duì)象，如果上部平板的溫度固定不變，保持常數(shù)。當(dāng)下部平板的溫度升高到某個(gè)數(shù)值時(shí)，由于上下表面流體密度的不同，導(dǎo)致了在兩平板之間將會(huì)發(fā)生流體對(duì)流現(xiàn)象，對(duì)流運(yùn)動(dòng)的流場(chǎng)時(shí)空結(jié)構(gòu)隨上下板之間溫度差的變化而變化。假設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)位于底板與左側(cè)壁的交匯處，x軸向右為正，z軸向上為正。流卷的軸線保持平行，在布西涅斯克假設(shè)下，流體力學(xué)方程組如下：

▽U=0

(3)

假設(shè)溫度場(chǎng) 距離平均值波動(dòng)很小，質(zhì)量密度的狀態(tài)方程可表示為：

ρ=ρ0[1-α(T-T0)]

(4)

式中由加熱引起的體積膨脹系數(shù)可表示為：

(5)

如果把流體層厚度d作為長(zhǎng)度的量綱，那么時(shí)間可表示為d2/k，速度可表示為k/d，壓強(qiáng)可表示為ρ0k2/d2，流體力學(xué)基本方程組無(wú)因次化可表示為：

▽·δU=0

(6)

(7)

(8)

式中：R為瑞利數(shù)；Pr為普朗特?cái)?shù)；δT=(T-T0)/ΔT，ΔT為上下壁面的溫差。

1.2 計(jì)算的初始條件和邊界條件

為了準(zhǔn)確求解方程組必須給出合理的邊界條件。研究區(qū)壁面為固體壁面，壁面上速度為0。初始條件，δu=δw=0，初始溫度取上下壁面溫度的平均值。具體邊界條件為，當(dāng)z=0，1時(shí)，δu=δw=0；當(dāng)x=0，Γ時(shí)，δu=δw=0。

δu為水平流速，δw為垂向流速。

1.3 數(shù)值計(jì)算方法

本次對(duì)流體力學(xué)方程組的求解使用流體力學(xué)計(jì)算軟件FLUENT，計(jì)算采用雙精度有限差分法，計(jì)算區(qū)域的長(zhǎng)高比 =10，計(jì)算區(qū)域中采用均勻網(wǎng)格。時(shí)間步長(zhǎng)取0.01 s。

下面討論P(yáng)r=1和Pr=6.99兩種情況下的定常流動(dòng)情況下的數(shù)值模擬結(jié)果。

2 模擬結(jié)果與結(jié)論

2.1 Pr=1情況下定常流動(dòng)的對(duì)流結(jié)構(gòu)

圖1 R=1 878.8 對(duì)流場(chǎng)空間分布結(jié)構(gòu)Fig.1 The space distribution structure of convection field for R=1 878.8

圖2 R=2 930.6對(duì)流場(chǎng)空間分布結(jié)構(gòu)Fig.2 The space distribution structure of convection field for R=2 930.6

初始條件無(wú)論怎么變化，就會(huì)只有這兩種情況。經(jīng)過(guò)計(jì)算模擬，當(dāng)R=1 878.8～2 732.8，對(duì)流只會(huì)出現(xiàn)一種波數(shù)的情況，即出現(xiàn)10個(gè)對(duì)流滾動(dòng)圈，當(dāng)R=2 930.6～3 416，流場(chǎng)會(huì)出現(xiàn)11個(gè)對(duì)流滾動(dòng)圈。參考文獻(xiàn)5也得出，相對(duì)瑞利數(shù)在1.1～25，即R=1 878.8～42 700之間，流體的對(duì)流滾動(dòng)圈存在著多種穩(wěn)定的狀態(tài)。這說(shuō)明對(duì)流的解存在了分歧[6-9]，驗(yàn)證了本文計(jì)算結(jié)果的正確性。

2.2 Pr=6.99情況下定常流動(dòng)的對(duì)流結(jié)構(gòu)

圖3 R=1 878.8對(duì)流場(chǎng)空間分布結(jié)構(gòu)Fig.3 The space distribution structure of convection field for R=1878.8

圖4 R=1 878.8 對(duì)流場(chǎng)空間分布結(jié)構(gòu)Fig.4 The space distribution structure of convection field for R=1 878.8

同樣經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間穩(wěn)定計(jì)算，當(dāng)R=1 878.8～2 903.6，對(duì)流滾動(dòng)一直維持著兩種波數(shù)的情況。當(dāng)R=3 074.4～3 416，對(duì)流將不在維持兩種波數(shù)的對(duì)流滾動(dòng)圈了，會(huì)出現(xiàn)3種波數(shù)的對(duì)流圈。給定初始條件出現(xiàn)了9，10，11個(gè)3種 對(duì)流滾動(dòng)圈。這也說(shuō)明了解的不唯一性和不穩(wěn)定性。參考文獻(xiàn)[5]也得出，相對(duì)瑞利數(shù)在1.1～25之間，即R=1878.8～42700之間，流體的對(duì)流滾動(dòng)圈存在著多種穩(wěn)定的狀態(tài)。驗(yàn)證了本文計(jì)算結(jié)果的正確性。圖5是11個(gè)滾動(dòng)圈的對(duì)流結(jié)構(gòu)。

圖5 R=3 074.4對(duì)流場(chǎng)空間分布結(jié)構(gòu)Fig.5 The space distribution structure of convection field for R=3 074.4

3 結(jié) 語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)二維流體力學(xué)基本方程組的數(shù)值模擬,討論了Pr=1和Pr=6.99兩種流體的對(duì)流流場(chǎng)結(jié)構(gòu)。當(dāng)Pr=1時(shí)，R在某個(gè)范圍內(nèi)R=1 878.8～2 732.8，對(duì)流的解是唯一的，超過(guò)這個(gè)范圍，R=2 930.6～3 416，就會(huì)出現(xiàn)分歧現(xiàn)象。解是不唯一的。當(dāng)Pr=6.99時(shí)，在某個(gè)范圍內(nèi)R=1 878.8～2 903.6出現(xiàn)了兩種波數(shù)的對(duì)流滾動(dòng)圈，當(dāng)R=2 930.6～3 416，這種情況將會(huì)出現(xiàn)3種波數(shù)的對(duì)流滾動(dòng)圈。

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