基于全光譜擬合法的VO2薄膜光學常數計算

侯典心，路 遠，宋福印

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基于全光譜擬合法的VO2薄膜光學常數計算

侯典心1,2,3，路 遠1,2,3，宋福印1,2,3

（1. 電子工程學院，安徽 合肥 230037；2. 紅外與低溫等離子體安徽省重點實驗室，安徽 合肥 230037；3. 脈沖功率激光技術國家重點實驗室，安徽 合肥 230037）

為實現對VO2薄膜光學常數的測量，本文在全光譜擬合法的基礎上，首先利用導納矩陣法推導出透射率與薄膜厚度、折射率以及消光系數的函數關系，然后利用單純形法得到其優(yōu)化函數。最后采用Matlab編程方法對低溫態(tài)、高溫態(tài)VO2薄膜的紅外透射率進行了全光譜擬合，得到折射率和消光系數等VO2薄膜光學常數的擬合曲線。結果表明：擬合曲線與已有研究結果及實測曲線基本吻合。采用全光譜擬合方法得到的光學常數能較準確的對VO2薄膜進行描述，為最佳膜厚設計提供了依據。此外，為更簡便地描述VO2薄膜的光學常數，本文還引入了Cauchy色散模型方程，對全光譜擬合方法得到的中遠紅外波段（2.5～15mm）的光學常數結果進行了擬合。

薄膜光學；VO2薄膜；全光譜擬合；單純形法；Cauchy色散模型

0 引言

隨著光電技術的快速發(fā)展，大量具有不同特殊性質薄膜的應用日趨廣泛。在高質量投影、屏幕顯示、精密光學等技術領域，針對薄膜設計的研究也不斷深入。薄膜設計中，為保證薄膜的性能發(fā)揮到最佳水平，設計方案需要依賴準確的薄膜光學常數測試數據[1-2]。VO2薄膜作為一種金屬-絕緣體相變材料，是近年來研究的熱點之一[3-4]。隨著VO2薄膜制備方法及設備呈多樣化發(fā)展，所制備的VO2薄膜折射率、消光系數等光學常數也不盡相同。因此需要針對不同情況，對在不同條件下制備的VO2薄膜進行單獨分析計算[5-6]。

目前，薄膜光學常數的測試方法包括非光學測量與光學測量兩大類。非光學測量方法包括a粒子法、超聲波法等，主要適用于對光學特性依賴程度不高的薄膜。隨著精密光學儀器技術的發(fā)展成熟，使得目前薄膜光學常數的測試通常采用光學測量方法[7]，主要包括橢圓偏振法[8]、棱鏡耦合法[9]、光譜反演法[10]三種。

其中橢圓偏振法具有極高的靈敏度和精度，厚度與折射率測量精度分別可達0.1nm和10－4，然而其測量需要昂貴的設備和復雜的計算模型，同時其測量范圍太小，無法實現對VO2薄膜的中紅外（3000～6000nm）與遠紅外（6000～15000nm）光學常數的測試。棱鏡耦合法具有實驗儀器簡單、操作方便、精度較高等優(yōu)點，但其需要膜層厚度大于300～480nm，一般情況下制備的VO2薄膜厚度可能達不到其測量要求，因此同樣不適合用于VO2薄膜的光學常數測量。光譜反演法是利用分光光度計、光譜儀等儀器測得薄膜光譜透射率或光譜反射率，然后根據薄膜光學常數與光學特性的關系，并結合與薄膜材料特性相關的光學模型、物理模型等，反演推導得到折射率以及消光系數等光學常數的方法。光譜反演法具有測量范圍大，測量設備簡單，測試精度高等優(yōu)點，十分適合用于VO2薄膜的光學常數測量。目前常用的光譜反演法包括包絡線法[11]、K-K法[12]、全光譜擬合法[13]等。包絡線法依賴于入射光在膜層內經過多次反射與折射形成的多光束干涉振蕩，需要膜層厚度足夠大且吸收特性較弱，故該方法不適用于膜層厚度較小且具有吸收特性的VO2薄膜。K-K法僅依靠光譜反射率()就能直接計算得到薄膜的光學常數，但是目前的分光光度計和光譜儀等儀器很難測量薄膜的絕對反射率，同時反射率的測量精度較低，因此K-K法的使用也受限。

當薄膜的測試條件不滿足以上測試方法的要求時，全光譜擬合法就體現出其優(yōu)勢。由于目前對VO2薄膜紅外光譜透射率測量的精度較高且操作方便，該方法可僅依靠薄膜的透射率曲線，通過采用非線性回歸模型并建立目標優(yōu)化函數，結合計算機編程擬合的方法反演計算得到折射率、消光系數。因此本文采用全光譜擬合法對VO2薄膜的光學常數進行計算。

1 全光譜擬合法擬合原理

1.1 Si基底VO2薄膜的透射率函數

薄膜反射率或透射率的計算一般采用導納遞推法、菲涅耳系數遞推法或導納矩陣法等，本節(jié)采用目前使用較廣泛的導納矩陣法推導Si基底VO2薄膜的透射率。

根據多層膜系的光學特性，薄膜的吸收特性與光路方向均不影響膜系的透射率，因此假設薄膜中電磁場分布如圖1所示。根據電磁場的邊界條件，可知入射光與出射光的電矢量與磁矢量之間的關系：

Fig.1 Distribution of the electromagnetic field of the thin film

界面兩側連續(xù)，則：

0＝(0×0) (3)

2＝2(0×2) (4)

因此式(8)可簡化表示為：

式中：為膜系的有效位相厚度：

令：

則式(8)表示為：

所以

＝/(9)

式中：為膜層和基底的組合導納，得到該膜系的透射率為：

式中：0、2分別為空氣和基片的的有效光學導納。

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根據有效光學導納的定義：

在光波段≈1，光學導納等于折射率，則：

相變前的VO2薄膜呈半導體性質，因此薄膜可能具有一定的色散特性，因此定義VO2薄膜復折射率為1為：

1＝－i(13)

式中：為折射率；為消光系數。則其有效位相厚度為：

由以上推導，可唯一確定薄膜厚度、折射率以及消光系數與透射率的函數關系：

＝(,,) (15)

1.2 基于單純形法的函數優(yōu)化

采用單純形法對薄膜光學常數的計算過程進行優(yōu)化。由于該方法受初始結構的影響較小，同時不需要計算導數，因此非常適合多個變量且表達式復雜的計算情況，在光學薄膜參數優(yōu)化中具有廣泛的應用[14]。定義目標優(yōu)化函數：

式中：min、max為計算光譜范圍內波長最小值與最大值，0為波長對應的實際透射率。由該式可知，目標優(yōu)化函數中包含有3個相互獨立的變量（、、），而計算機對3個獨立變量同時擬合會大大增加計算負荷。為簡化計算過程，可以根據前期的測試結果，在目標優(yōu)化函數中預先設定薄膜厚度＝350nm，則優(yōu)化函數變?yōu)椋?/p>

在由＋1個自變量初始值構成的維空間中，單純形法在優(yōu)化過程中會在該維空間中進行反射、延伸等多種變換，充分壓縮單純形直至使優(yōu)化目標函數得到極小值，此時所對應的自變量取值即為優(yōu)化參數。對于一般的光學薄膜，折射率取值范圍一般為1.3～7，考慮到VO2薄膜相變前后透射率出現急劇變化，而消光系數變化范圍同樣較大，因此定義二者的取值范圍都為0～10。

2 擬合結果與誤差分析

2.1 擬合結果

采用Matlab編程方法對低溫態(tài)、高溫態(tài)VO2薄膜的紅外透射率進行全光譜擬合，得到薄膜2.5～25mm光學常數擬合結果，分別如圖2、圖3所示。

目前對VO2薄膜在2.5～25mm近紅外波段光學常數的研究較多，然而由于VO2薄膜制備方法多樣，各方法制備薄膜的光學常數變化規(guī)律無法完全保持一致。宋婷婷[15]等通過電子結構與復介電函數的關系，得到濺射法制備的VO2薄膜3～5mm復折射率。該薄膜單斜態(tài)折射率（2.1～3.5mm）及消光系數（0.5～1.4mm）與金紅石態(tài)折射率（3.8～4.1mm）及消光系數（2.9～3.3mm）與本文計算結果符合較好。但與Xiao D等[16]得到的金紅石態(tài)折射率（1.4～1.7mm）存在誤差，而消光系數（3.5～4.2mm）又符合較好，其原因可能與不同價態(tài)釩的組分含量等多種因素有關。通過與已有研究結果的比較，表明單純形擬合法得到的消光系數及折射率等光學常數具有一定的準確性。

根據擬合得到的光學常數，可重新計算得到薄膜2.5～25mm波段的光譜透射率，其擬合結果與實測透射率曲線的對比結果，如圖4所示。

圖2 低溫態(tài)光學常數擬合結果

Fig.2 Fitting results of optical constants in low temperature state

圖3 高溫態(tài)光學常數擬合結果

Fig.3 Fitting results of optical constants in high temperature state

圖4 擬合與實測透射率對比

2.2 誤差分析

由圖4(a)可以看出，低溫半導體態(tài)的擬合透射率曲線在12.5～22.5mm與實測透射率曲線出現偏離，而在其他波長范圍內吻合較好。由圖4(b)可以看出，高溫態(tài)擬合透射率曲線在整個0～24mm波段與實測透射率曲線基本吻合，但在10～11mm，20～23mm出現微小偏離，因而出現誤差。原因是全光譜擬合算法是根據實測結果，采取不斷采樣計算、比對結果并重新采樣計算的過程。而重新采樣的點是從以原采樣點為中心的一定范圍內選取的，因此該計算無法對透射率出現較大波動的波段進行精確擬合，但從整體角度上來看擬合結果與實測結果比較吻合。這表明全光譜擬合法也可以較好地描述實際透射率的變化規(guī)律。

3 Cauchy色散模型擬合

為更簡便地描述VO2薄膜的光學常數，本文引入光學色散模型方程，對全光譜擬合方法得到中遠紅外波段（2.5～15mm）的光學常數結果進行了擬合。由于目前尚不明確VO2薄膜的色散特性，因此將其作為一般介質材料。一般介質薄膜材料的光學常數都滿足Cauchy色散模型[17]：

式中：1、2、3、1、2為5個相互獨立的參量，可通過Origin的非線性擬合模塊計算得到參量值。采用Cauchy色散模型，對常用的中遠紅外波段（2.5～15mm）VO2薄膜低溫態(tài)與高溫態(tài)光學常數進行擬合，結果如圖5、圖6所示。

圖5為VO2薄膜低溫半導體態(tài)光學常數的Cauchy色散模型擬合結果，其折射率()、消光系數()曲線表達式分別為：

對比圖2和圖5可知VO2薄膜折射率低溫態(tài)Cauchy色散模型擬合結果在2.5～12mm波段與單純形法吻合程度較高而在12～15mm有較大偏差，而VO2薄膜折射率低溫態(tài)Cauchy色散模型擬合結果則偏差更大，僅在2.5～4mm波段有些吻合。

如圖6為VO2薄膜高溫金屬態(tài)光學常數的Cauchy色散模型擬合結果，其折射率()、消光系數()曲線表達式分別為：

對比圖3和圖6可知VO2薄膜折射率高溫態(tài)Cauchy色散模型擬合結果在2.5～6mm波段與單純形法較為吻合，其他波段明顯偏離。VO2薄膜消光系數高溫態(tài)Cauchy色散模型只在2.5～7mm波段接近單純形法計算的結果。

圖5 低溫態(tài)Cauchy色散模型擬合結果

綜合對比圖2、圖3、圖5、圖6，可以看出Cauchy色散模型在2.5～6mm中紅外波段的擬合結果與單純形法計算結果接近，但6～15mm遠紅外波段的結果出現較大差異，其原因與色散模型的選取有關。由于介質適用的色散模型與其物質種類關系緊密，并且與材料的吸收特性相關，根據SMT（semiconductor-metal transition）理論[18]對VO2晶體相變的解釋可將VO2視為半導體態(tài)和金屬態(tài)的共同體，因此其所屬的物質類別就很難界定。同時由于目前無法準確表征VO2在紅外波段的吸收特性，所以選擇了適用于正常色散特征的Cauchy模型。通過對比結果差異可以看出：VO2薄膜在紅外波段的光學特性比較復雜，在某些波段可能存在共振吸收特性。同時材料的成分屬性、物理結構也是影響色散模型的因素之一，因此Cauchy色散模型無法適用于整個紅外波段。在進一步研究中需根據具體情況結合其他模型來表征其光學常數，例如針對吸收特性結合Sellmeier色散模型[19]等。

4 結論

由以上仿真結果及分析可知：采用全光譜擬合方法得到的VO2薄膜折射率及消光系數等光學常數與已有的研究結果符合度較高。同時，擬合得到的VO2薄膜透射率曲線也與實測曲線基本吻合。因此，通過全光譜擬合法得到的光學常數能較準確的對VO2薄膜進行描述，可為最佳膜厚設計提供依據。通過引入Cauchy色散模型方程對全光譜擬合方法得到中遠紅外波段（2.5～15mm）的光學常數結果進行擬合，得到在2.5～6mm中紅外波段的擬合結果與單純形法計算結果接近，但6～15mm遠紅外波段則出現較大差異。因此，需要對VO2薄膜在紅外波段的吸收特性進一步研究并結合其他色散模型來表征其光學常數。

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Optical Constants of VO2Thin Films Based on Whole Optical Spectrum Fitting

HOU Dianxin1,2,3，LU Yuan1,2,3，SONG Fuyin1,2,3

(1.,230037,;2.,230037,;3.,230037,)

In order to measure the optical constants of VO2thin films, a whole optical spectrum fitting method is proposed in this paper. Firstly the admittance matrix method is used to derive the function of the transmittance “T”, the film thickness “D”, refraction rate “n” and extinction coefficient “K”. Secondly, the simplex method is used to optimize this function. Finally, MATLAB programming method is used for whole optical spectrum fitting of infrared transmittance of VO2thin films at low temperature and high temperature state. Then the fitting curves of the optical constants of VO2thin films, such as refractive index and extinction coefficient, are obtained. The results show that the fitting curves are in agreement with the existing research results and the measured curves. The optical constants obtained by the whole spectrum fitting method can be used to describe the VO2thin films accurately, providing the basis for the optimum design of film thickness. Furthermore, in order to describe the optical constants of VO2thin films more easily, the Cauchy dispersion model equation is also introduced in this paper to fit the optical constants of mid far infrared wave band (2.5-15mm) which was obtained by the whole spectrum fitting method.

film optics，VO2thin films，whole optical spectrum fitting，simplex method，Cauchy dispersion model

TB321

A

1001-8891(2017)03-0243-07

2016-08-24；

2016-12-21.

侯典心（1993-），男，碩士生在讀，主要從事紅外光學材料方面的研究。E-mail：1911240818@qq.com。

路遠（1971-），男，博士，教授，主要從事光電工程方面的研究。E-mail：luyuanmail@163.com。

脈沖功率激光技術國家重點實驗室主任基金資助項目（SKL2013ZR03）。