魯書山++沈小林++樊凱強

摘 要：闡述里主成分分析法的定義，及應(yīng)用于實際的意義，通過matlab編程實現(xiàn)主成分分析法在圖像壓縮方面的應(yīng)用，在編程過程中設(shè)置不同主成分個數(shù)來顯示不同的處理結(jié)果。在對處理結(jié)果進行分析，同時也對主成分分析法的性質(zhì)有了更直觀的認識，方便日后在其他領(lǐng)域的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：主成分分析法；圖像壓縮；特征提取；matlab編程

中圖分類號：TP309.7 文獻標識碼：A DOI：10.15913/j.cnki.kjycx.2016.23.098

主成分分析法是用降維的思想，用幾個互不相關(guān)的主成分反映原始變量的大部分信息的統(tǒng)計方法。能有效降低數(shù)據(jù)維度，減少計算量，在涉及到數(shù)理統(tǒng)計的各個領(lǐng)域均有廣泛的應(yīng)用。本文先介紹主成分分析的原理，再通過matlab用主成分分析法對圖像進行壓縮，實現(xiàn)主成分在圖像處理中的應(yīng)用。

1 主成分分析法概念及性質(zhì)

1.1 概念

假定有n個樣本，每個樣本由p個變量構(gòu)成，則可以組成一個n×p階的數(shù)據(jù)矩陣：

設(shè)x1，x2，…，xP為原變量，z1，z2，…，zm（m≤p）為新變量，則：

系數(shù)lij為新變量對原變量的反應(yīng)情況。

1.2 性質(zhì)

zi與zk（i≠k；i，k=1，2，…，m；j=1，2，…，p）相互無關(guān)；z1是x1，x2，…，xP的一切線性組合中方差最大者，z2是與z1不相關(guān)的x1，x2，…，xP的所有線性組合中方差最大者；zm是與z1，z2，……，zm-1都不相關(guān)的x1，x2，…xP的所有線性組合中方差最大者。則新變量指標z1，z2，…，zm分別稱為原變量指標x1，x2，…，xP的第1，第2，…，第m主成分。

通過以上表述可知，主成分分析的實質(zhì)是計算主成分zi（i=1，2，…，m）所反映的原變量xj（j=1，2，…，p）上的荷載 lij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，p）。它們分別是相關(guān)矩陣（也就是x1，x2，…，xP 的相關(guān)系數(shù)矩陣）m個較大的特征值所對應(yīng)的特征向量。

2 計算步驟

2.1 計算相關(guān)系數(shù)矩陣

相關(guān)系數(shù)矩陣為：

rij（i，j=1，2，…，p）為原變量xi與xj標準化后的相關(guān)系數(shù)，rij=rji，其計算公式為：

2.2 計算特征值與特征向量

解特征方程|λI-R|=0，求出特征值，并使其按大小順序排列λ1≥λ2≥…≥λp≥0；分別求出對應(yīng)于特征值λi的特征向量ei

（i=1，2，…，p），要求‖ei‖=1，即 =1，其中，eij表示向

量ei的第j個分量，也就是說ei為單位向量。

2.3 計算主成分貢獻率及累計貢獻率

主成分貢獻率為：

主成分累計貢獻率為：

一般取累計貢獻率達85%～95%的特征值λ1，λ2，…，λm所對應(yīng)的第1、第2、…、第m（m≤p）個主成分。

2.4 計算主成分載荷

，主成分載荷就是zi與xj之間的相關(guān)系數(shù)（主成分不相關(guān)）。

2.5 各主成分的得分

各主成分的得分為：

3 圖像處理及結(jié)論

眾所周知，圖像信息所含的數(shù)據(jù)量巨大。為了便于圖像的存儲，提高存儲效率，研究圖像壓縮具有重要的意義。

主成分分析法在數(shù)字圖像壓縮中的的應(yīng)用

魯書山，沈小林，樊凱強

（中北大學(xué)，山西 太原 030051）

摘 要：闡述里主成分分析法的定義，及應(yīng)用于實際的意義，通過matlab編程實現(xiàn)主成分分析法在圖像壓縮方面的應(yīng)用，在編程過程中設(shè)置不同主成分個數(shù)來顯示不同的處理結(jié)果。在對處理結(jié)果進行分析，同時也對主成分分析法的性質(zhì)有了更直觀的認識，方便日后在其他領(lǐng)域的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：主成分分析法；圖像壓縮；特征提?。籱atlab編程

中圖分類號：TP309.7 文獻標識碼：A DOI：10.15913/j.cnki.kjycx.2016.23.098

主成分分析法是用降維的思想，用幾個互不相關(guān)的主成分反映原始變量的大部分信息的統(tǒng)計方法。能有效降低數(shù)據(jù)維度，減少計算量，在涉及到數(shù)理統(tǒng)計的各個領(lǐng)域均有廣泛的應(yīng)用。本文先介紹主成分分析的原理，再通過matlab用主成分分析法對圖像進行壓縮，實現(xiàn)主成分在圖像處理中的應(yīng)用。

1 主成分分析法概念及性質(zhì)

1.1 概念

假定有n個樣本，每個樣本由p個變量構(gòu)成，則可以組成一個n×p階的數(shù)據(jù)矩陣：

. （1）

設(shè)x1，x2，…，xP為原變量，z1，z2，…，zm（m≤p）為新變量，則：

. （2）

系數(shù)lij為新變量對原變量的反應(yīng)情況。

1.2 性質(zhì)

zi與zk（i≠k；i，k=1，2，…，m；j=1，2，…，p）相互無關(guān)；z1是x1，x2，…，xP的一切線性組合中方差最大者，z2是與z1不相關(guān)的x1，x2，…，xP的所有線性組合中方差最大者；zm是與z1，z2，……，zm-1都不相關(guān)的x1，x2，…xP的所有線性組合中方差最大者。則新變量指標z1，z2，…，zm分別稱為原變量指標x1，x2，…，xP的第1，第2，…，第m主成分。

通過以上表述可知，主成分分析的實質(zhì)是計算主成分zi（i=1，2，…，m）所反映的原變量xj（j=1，2，…，p）上的荷載 lij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，p）。它們分別是相關(guān)矩陣（也就是x1，x2，…，xP 的相關(guān)系數(shù)矩陣）m個較大的特征值所對應(yīng)的特征向量。

2 計算步驟

2.1 計算相關(guān)系數(shù)矩陣

相關(guān)系數(shù)矩陣為：

. （3）

rij（i，j=1，2，…，p）為原變量xi與xj標準化后的相關(guān)系數(shù)，rij=rji，其計算公式為：

. （4）

2.2 計算特征值與特征向量

解特征方程|λI-R|=0，求出特征值，并使其按大小順序排列λ1≥λ2≥…≥λp≥0；分別求出對應(yīng)于特征值λi的特征向量ei

（i=1，2，…，p），要求‖ei‖=1，即 =1，其中，eij表示向

量ei的第j個分量，也就是說ei為單位向量。

2.3 計算主成分貢獻率及累計貢獻率

主成分貢獻率為：

. （5）

主成分累計貢獻率為：

. （6）

一般取累計貢獻率達85%～95%的特征值λ1，λ2，…，λm所對應(yīng)的第1、第2、…、第m（m≤p）個主成分。

2.4 計算主成分載荷

，主成分載荷就是zi與xj之間的相關(guān)系數(shù)（主成分不相關(guān)）。

2.5 各主成分的得分

各主成分的得分為：

. （7）

. （8）

3 圖像處理及結(jié)論

眾所周知，圖像信息所含的數(shù)據(jù)量巨大。為了便于圖像的存儲，提高存儲效率，研究圖像壓縮具有重要的意義。