多元VaR—均值投資組合優(yōu)化問題的理論與實(shí)證研究

林聯(lián)娣

【摘要】在經(jīng)濟(jì)、保險(xiǎn)和金融領(lǐng)域，風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）被投資者廣泛用來度量金融風(fēng)險(xiǎn)，100α% VaR被定義為一個(gè)臨界閾值，使得投資組合在持有期內(nèi)損失超過這個(gè)閾值的概率為α。本文基于Raúl Torres et.al[1]（2015）關(guān)于多元VaR（即■）的研究，類似一元VaR-均值的情形，提出了■-均值的最優(yōu)投資組合問題，采用遺傳算法對(duì)■-均值模型進(jìn)行實(shí)證分析。該研究從理論上推廣了經(jīng)典的VaR-均值組合優(yōu)化問題，結(jié)論顯示該研究具有很好的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義。

【關(guān)鍵詞】多元VaR 遺傳算法 ■-均值優(yōu)化

一、引言

1994年10月，J.P Morgan首先突出了新的風(fēng)險(xiǎn)管理系統(tǒng)——風(fēng)險(xiǎn)度量制，提出風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR這一概念。在VaR方法被提出之前，風(fēng)險(xiǎn)管理幾乎都是采用資產(chǎn)負(fù)債的模式進(jìn)行衡量。

傳統(tǒng)理論上，風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度被認(rèn)為是從一系列實(shí)值隨機(jī)向量到實(shí)數(shù)的映射。然而考慮單一的實(shí)值測(cè)度來量化商業(yè)活動(dòng)產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)往往是不充分的，尤其當(dāng)這個(gè)風(fēng)險(xiǎn)可能被其他的外部風(fēng)險(xiǎn)因素所影響。

本文提出了■-均值的最優(yōu)投資組合問題，采用遺傳算法對(duì)■-均值模型進(jìn)行實(shí)證分析。該研究從理論上推廣了經(jīng)典的VaR-均值組合優(yōu)化問題，結(jié)論顯示該研究具有很好的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義。

二、文獻(xiàn)綜述

在提出一元VaR后，基于Markowitz均值—方差選擇最優(yōu)投資組合理論，屠新曙[2]（2002）考慮將VaR代替經(jīng)典Markowitz均值—方差最優(yōu)投資組合理論中的方差來刻畫風(fēng)險(xiǎn)。

近些年，許多研究人員將VaR風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度拓展到多變量背景下。例如，Arbia[3]（2002），Tibiletti[4]（2001），Nappo和Spizzichino[5]（2009）研究了二維的情形。同時(shí)，對(duì)于更普遍的多變量分布，Lee和Prékopa[6]（2012），Embrechts和Puccetti[7]（2006），Cousin和Di Bernardino[8]（2013）將VaR風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度與水平面（集）聯(lián)系起來，這個(gè)水平面（集）是根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)X的分布函數(shù)或生存函數(shù)累積到α值所定義的，也被認(rèn)定為是一個(gè)分位數(shù)表面。最近Cousin和Di Bernardino（2013）基于Embrechts和Puccetti（2006）研究的水平面提出了一種新的多變量VaR的定義。他們把多變量VaR定義為Embrechts和Puccetti（2006）考慮的表面上的點(diǎn)的均值，這樣，輸出的結(jié)果就是一個(gè)和損失隨機(jī)變量同樣維數(shù)的點(diǎn)。

三、多元VaR-均值組合優(yōu)化問題的提出

定義1[1] 在Rn中，以頂點(diǎn)x和方向u確定的方向象限定義為

■ （3.1）

其中，■，Ru為正交矩陣，使得■■。

定義2[1] 以頂點(diǎn)x和方向u確定的QR方向象限，記作Cux，并滿足

Ru=QeQu （3.2）

定義3[1] X為Rn中隨機(jī)向量，滿足正則條件，對(duì)應(yīng)分布為F，0≤α≤1，則給定方向u和概率水平α，X的定向多元VaR定義為

■ （3.3）

類似于一元情形考慮VaR-均值的問題，在多元情形下我們同樣也可以考慮。為了便于理解，考慮如下情境：設(shè)rij為第i個(gè)行業(yè)第j只股票的收益率（其中i=1，…m；j=1，…n），wij為對(duì)應(yīng)于rij的頭寸，那么顯然■為行業(yè)i對(duì)應(yīng)投資組合的收益率，記rw=（r1，…，rm）為各行業(yè)總體投資收益。特別地，當(dāng)m取1時(shí)，就轉(zhuǎn)化成為一維情形，對(duì)應(yīng)的VaR-均值問題變成了考慮某一個(gè)行業(yè)中投資組合收益-風(fēng)險(xiǎn)的最優(yōu)化問題，這與通常意義下考慮整個(gè)股票市場(chǎng)上，不區(qū)分行業(yè)地選擇各種股票進(jìn)行投資組合的本質(zhì)其實(shí)是一致的。這里是為了針對(duì)多元的情況，理解上方便才有行業(yè)的區(qū)分。在實(shí)際問題中，考慮的往往是這樣的一類問題，譬如一個(gè)大的金融機(jī)構(gòu)，存在m個(gè)分支機(jī)構(gòu)，對(duì)于每個(gè)分支機(jī)構(gòu)而言，需要進(jìn)行各種投資活動(dòng)，類似于選取n只股票進(jìn)行投資，對(duì)于整個(gè)的金融機(jī)構(gòu)而言，它關(guān)心的是各分支機(jī)構(gòu)收益-風(fēng)險(xiǎn)的整體情況，所以才會(huì)有多元VaR-均值問題的提出：

■ （3.4）

其中，■i（i=1，…，m）為第i個(gè)行業(yè)給定的預(yù)期收益率，■i（i=1，…，m）為第i個(gè)行業(yè)給定的預(yù)期最大損失。上述考慮的是在面對(duì)各行業(yè)風(fēng)險(xiǎn)給定的情形下，在一定置信水平α下投資者追求各行業(yè)收益最大的問題。

從上面的模型可以看出目標(biāo)函數(shù)存在m個(gè)分量，這意味該目標(biāo)函數(shù)其實(shí)是多目標(biāo)函數(shù)。針對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化問題，常用的方法有約束法、加權(quán)法、距離函數(shù)法、分層序列法。這里考慮采用加權(quán)法來處理上述多目標(biāo)問題，（a1，…，am）為目標(biāo)分量的權(quán)重值，表現(xiàn)為下面的結(jié)構(gòu)，反應(yīng)的是求一個(gè)金融機(jī)構(gòu)總體的收益率水平最大化。這里就■給出多元VaR-均值問題：

■ （3.5）

上述模型可以理解為對(duì)于一個(gè)具有多分支機(jī)構(gòu)的金融機(jī)構(gòu)而言，在各分支機(jī)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)一定時(shí)，尋找投資策略使整個(gè)金融機(jī)構(gòu)的收益率水平最大化。

四、基于遺傳算法的多元VaR-均值實(shí)證分析

選取的股票日收益率數(shù)據(jù)的時(shí)間段為2012.12.01- 2016.12.01。下面實(shí)證分為以下幾個(gè)步驟：

（一）股票的挑選

挑選2個(gè)行業(yè)（計(jì)算機(jī)應(yīng)用服務(wù)業(yè)、電子行業(yè)），每個(gè)行業(yè)3只股票，這里利用主成分分析法確定各個(gè)行業(yè)股票的選擇。

{1}剔除*ST股，挑選出2016年滬深每股收益排名靠前的10只股票。

②然后選取主營(yíng)業(yè)務(wù)增長(zhǎng)率（x1），凈利潤(rùn)增長(zhǎng)率（x2），凈資產(chǎn)增長(zhǎng)率（x3），每股凈資產(chǎn)（x4），資產(chǎn)負(fù)債率（x5），凈資產(chǎn)收益率（x6）這六個(gè)財(cái)務(wù)指標(biāo)進(jìn)行主成分分析，主要體現(xiàn)公司的成長(zhǎng)能力，盈利能力和償債能力。數(shù)據(jù)來源于新浪財(cái)經(jīng)以及A股股票第三季度財(cái)務(wù)報(bào)表。

③對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)處理，構(gòu)造相關(guān)系數(shù)矩陣。

④計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差、方差貢獻(xiàn)率、累計(jì)方差貢獻(xiàn)率，得到各主成分的因子載荷矩陣，構(gòu)造主成分表達(dá)式，通過各股票對(duì)主成分的貢獻(xiàn)率，依據(jù)主成分得分排名，選取得分高的3只股票作為研究對(duì)象。

這里以電子行業(yè)為例進(jìn)行說明：

2016年9月30日滬深每股收益排名靠前的10只股票為：法拉電子、中航光電、火炬電子、依頓電子、共進(jìn)股份、東方日升、歌爾股份、木林森、隆基股份、歐菲光，將這10只股票的相關(guān)財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)進(jìn)行無量綱化處理。構(gòu)造下面的相關(guān)系數(shù)矩陣：

表1 相關(guān)系數(shù)矩陣

■

主成分表達(dá)式為：

■

計(jì)算各主成分得分fi，然后以方差貢獻(xiàn)率αi作為各得分fi的比例系數(shù)，得到綜合評(píng)價(jià)函數(shù)f=Σαifi，按得分高低進(jìn)行排序。最終確定選擇東方日升、歌爾股份、歐菲光這三只股票。同理可選取計(jì)算機(jī)應(yīng)用服務(wù)行業(yè)的3只股票：同花順、中興通訊、紫光股份。

（二）基于模擬的遺傳算法解決模型（3.5）步驟如下

①將上面選出6只股票的收益率進(jìn)行處理，變成對(duì)數(shù)收益率■

②對(duì)于權(quán)重w=（w11，w12，w13，w21，w22，w23）之下rw=（r1，r2），根據(jù)Raúl Torres et.al[1]（2015）非參數(shù)法估計(jì)■的流程，找出w的可行域；

③采用遺傳算法利用Matlab解決上面的優(yōu)化問題（4.3），算法[9]如下：

第一步，隨機(jī)產(chǎn)生初始染色體群，并檢驗(yàn)該群中染色體的可行性；

第二步，對(duì)染色體進(jìn)行選擇、交叉、變異操作；

第三步，計(jì)算基于（3.5）的評(píng)價(jià)函數(shù)，確定各染色體的適應(yīng)度；

第四步，采用旋轉(zhuǎn)賭輪法選擇染色體；

第五步，重復(fù)第二至四步，直至選定的遺傳代數(shù)；

第六步，選擇評(píng)價(jià)函數(shù)收斂的染色體作為最優(yōu)解。

④接下來考慮兩種情形：第一種情形下，選擇置信水平為95%，找出在不同目標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)值（■1，■2）下2個(gè)行業(yè)各3只股票的最優(yōu)組合結(jié)果；第二種情形下，給定目標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)值（■1，■2）=（0.04，0.04）找出在不同置信水平下2個(gè)行業(yè)各3只股票的最優(yōu)組合結(jié)果。

結(jié)合圖1看出，可以在不同目標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)值下，模型（3.5）的投資行業(yè)各股比例有所差異，這目標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)值的選取對(duì)于投資分配是有一定影響的。在同一置信水平下，目標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)值越大（偏序意義下），期望收益也越大。

■

圖1 優(yōu)化模型（3.5）在置信水平95%下的收益-MVaR（分量）示意圖

眾所周知，投資者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度對(duì)投資組合的分配將產(chǎn)生一定的影響，越厭惡風(fēng)險(xiǎn)采取的投資策略更保守。置信水平越高，在相同的目標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)值下，最優(yōu)投資組合對(duì)應(yīng)的期望收益越小，相反，置信水平越低，在相同的目標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)值下，最優(yōu)投資組合對(duì)應(yīng)的期望收益越大。這與一維情形下的結(jié)論一致。而且在不同置信水平下，模型（3.5）的投資行業(yè)各股比例有所差異。因此，考慮到不同的風(fēng)險(xiǎn)水平對(duì)投資分配的影響，投資者在投資組合分配前應(yīng)合理地選擇自己的風(fēng)險(xiǎn)偏好。

五、結(jié)論

本章針對(duì)基于Raúl Torres et.al[1]定義的多元VaR，類似一元情形下的推廣，提出多元VaR-均值最優(yōu)化模型并考慮了實(shí)證分析，為了比較的簡(jiǎn)便，從2個(gè)行業(yè)（電子行業(yè)、計(jì)算機(jī)應(yīng)用服務(wù)業(yè)）挑選3只股票，首先利用主成分分析法挑選出適合投資的股票，再根據(jù)遺傳算法利用Matlab解決上述優(yōu)化模型問題。

實(shí)證分析模型可以理解為對(duì)于一個(gè)具有多分支機(jī)構(gòu)的金融機(jī)構(gòu)而言，在各分支機(jī)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)一定時(shí)，尋找合適的投資策略使整個(gè)金融機(jī)構(gòu)的收益率水平最大化。一方面，考慮在給定預(yù)期目標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)值的情況下，不同置信水平對(duì)于模型投資策略的影響，置信水平越低，最優(yōu)投資組合對(duì)應(yīng)期望收益越大；另一方面，在同一置信水平下，不同預(yù)期目標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)值對(duì)于模型投資策略也有一定影響，目標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)值越大（偏序意義下），期望收益也越大。因此，在實(shí)際操作中，要考慮到不同的風(fēng)險(xiǎn)水平和風(fēng)險(xiǎn)目標(biāo)值對(duì)投資分配的影響，投資者在投資組合分配前應(yīng)合理地選擇自己的風(fēng)險(xiǎn)偏好。

參考文獻(xiàn)

[1]Raúl Torres，Rosa E Lillo，Henry Laniado.A Directional Multivariate Value at Risk[J].In-surance Mathematics & Economics，2015，65（2）：111-123.

[2]屠新曙，王春峰. 最佳均值-VAR投資組合問題的研究[J]. 湘潭大學(xué)自科學(xué)報(bào)，2002，24（2）：13-17.

[3]Arbia G.Bivariate Value-At-Risk[J].Statistica，2002，2（2）：231-247.

[4]Tibiletti L.Incremental Value-at-Risk：traps and misinter- pretations[M].Birkh？user Basel，Switzerland，2001.

[5]Nappo G，Spizzichino F.Kendall distributions and level sets in bi-variate exchangeable survival models[J]. Information Sciences，2009，179（17）：2878-2890.

[6]Lee J，Prékopa A.Properties and calculation of multivariate risk measures：MVaR and MCVaR[J].Annals of Operations Research，2013，211（1）：225-254.

[7]Embrechts P，Puccetti G.Bounds for functions of multivariate risks[J]. Journal of Multivariate Analysis，2006，97（2）：526-547.

[8]Cousin A，Bernardino E D.On multivariate extensions of Value-at-Risk[J]. Journal of Multivariate Analysis，2013，119（8）：32-46.

[9]玄光男.遺傳算法與工程設(shè)計(jì)[M].北京：科學(xué)出版社，1997.