Mathematica模擬簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

陳大偉 斯小琴

(安徽建筑大學(xué)城市建設(shè)學(xué)院 安徽 合肥 238076)

Mathematica模擬簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

陳大偉 斯小琴

(安徽建筑大學(xué)城市建設(shè)學(xué)院 安徽 合肥 238076)

按照一維、二維相互垂直和三維相互垂直3種情形，運(yùn)用Mathematica軟件分別模擬了同頻率和不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成.直觀地顯示了不同情況下簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的結(jié)果，不但可以加深學(xué)生對(duì)各種簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的理解，還可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

簡(jiǎn)諧振動(dòng) Mathematica 合成

簡(jiǎn)諧振動(dòng)[1～3]是振動(dòng)的最基本、最簡(jiǎn)單的振動(dòng)形式，是研究各種復(fù)雜振動(dòng)的基礎(chǔ).依據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換，各種復(fù)雜的振動(dòng)都可以看作是若干個(gè)或是無(wú)限多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成.在實(shí)際應(yīng)用中，常常遇到一個(gè)物體同時(shí)參與兩個(gè)或更多個(gè)振動(dòng)的情況.

對(duì)于一些簡(jiǎn)單的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成，可以經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算得到合成振動(dòng)的表達(dá)式[4,5]，但多數(shù)情形下，振動(dòng)合成問(wèn)題比較復(fù)雜，合振動(dòng)的表達(dá)式難于得到，對(duì)于其運(yùn)動(dòng)的軌跡和隨時(shí)間而變化的規(guī)律更難于直觀想象.為了直觀地了解不同情形下簡(jiǎn)諧振動(dòng)疊加后合成振動(dòng)的特點(diǎn)，本文利用Mathematica數(shù)學(xué)軟件[6,7]，對(duì)不同情形下的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成進(jìn)行了仿真模擬[8～11]，直觀地顯示了合成后的振動(dòng)情況.

1 一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

(1)同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式分別為

x1=A1cos(ωt+φ10)

x2=A2cos(ωt+φ20)

則其合振動(dòng)為

x=x1+x2=Acos(ωt+φ0)

(1)

其中

A=[(A1cosφ10+A2cosφ20)2+

多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)xi=Aicos(ωt+φi0)，其合振動(dòng)為

x=∑xi=Axcos(ωt+φx0)

(2)

其中

兩個(gè)或多個(gè)一維同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成，其合振動(dòng)仍為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其頻率與分振動(dòng)頻率相同，軌跡為余弦(或正弦)曲線，如圖1所示(實(shí)線為合振動(dòng)).同頻率同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成原理，對(duì)于討論光波、聲波以及電磁輻射的干涉和衍射有重要作用.

圖1 3個(gè)一維同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的軌跡

(2)不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

一般情況下，同方向不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，而是復(fù)雜的振動(dòng).為突出頻率不同引起的效果，文中只討論同振幅、同相位、不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成.設(shè)兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)為

x1=Acos(ω1t+φ0)

x2=Acos(ω2t+φ0)

則合振動(dòng)為

(3)

由式(3)可知，合振動(dòng)不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，而是以振幅

做周期變化的高頻振動(dòng)，其合振動(dòng)周期稱為“主周期”.若兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率相差不大，即ω2+ω1?ω2-ω1，則合振動(dòng)是一個(gè)振幅隨時(shí)間做周期性緩慢變化的高頻振動(dòng)，這種振幅時(shí)大時(shí)小的現(xiàn)象叫作拍.拍現(xiàn)象在光學(xué)、電磁學(xué)等領(lǐng)域都有重要應(yīng)用，如用光拍法測(cè)光速.

多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)xi=Acos(ωit+φ0)，其合振動(dòng)為

(4)

圖2 5個(gè)一維不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的拍現(xiàn)象

利用Mathematica仿真模擬可知，兩個(gè)或多個(gè)一維頻率比為有理數(shù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合振動(dòng)雖然復(fù)雜但具有周期性,如圖3實(shí)線所示，而頻率比為無(wú)理數(shù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合振動(dòng)則既復(fù)雜又無(wú)周期性，如圖3虛線所示.

圖3 4個(gè)一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

2 二維相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成

(1)同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

設(shè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)垂直方向上的簡(jiǎn)諧振動(dòng)

x=A1cos(ωt+φ10)

y=A2cos(ωt+φ20)

從分振動(dòng)方程式消去參數(shù)t，得合振動(dòng)的軌跡方程為

(5)

多個(gè)二維簡(jiǎn)諧振動(dòng)

x=∑xi=Axcos(ωt+φx0)

y=∑yi=Aycos(ωt+φy0)

其合振動(dòng)為

(6)

由上式可知，二維相互垂直的同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合振動(dòng)的軌跡一般為橢圓，當(dāng)相位差為零或π時(shí)為直線.軌道的具體形狀、方位和運(yùn)動(dòng)方向由分振動(dòng)的振幅和相位差決定，如圖4所示.

圖4 二維同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成

(2)不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

一般來(lái)說(shuō)，二維相互垂直的不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)，由于它們的相位差不是定值，其合振動(dòng)的軌跡不能形成穩(wěn)定的圖案.但當(dāng)它們的頻率比為有理數(shù)時(shí)，則合成振動(dòng)的軌跡能形成一封閉的穩(wěn)定的曲線，曲線的花樣和分振動(dòng)的頻率比、初相位有關(guān)，得出的圖形叫李薩如圖形，如圖5(a)所示，而當(dāng)頻率比為無(wú)理數(shù)時(shí)，合振動(dòng)的軌跡不能形成封閉的圖形，如圖5(b)所示.

圖5 二維相互垂直不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

3 三維相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

(1)同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

設(shè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與3個(gè)相互垂直方向上的簡(jiǎn)諧振動(dòng)

x=A1cos(ωt+φ10)

y=A2cos(ωt+φ20)

z=A3cos(ωt+φ30)

則其合振動(dòng)為

(7)

多個(gè)三維簡(jiǎn)諧振動(dòng)

x=∑xi=Axcos(ωt+φx0)

y=∑yi=Aycos(ωt+φy0)

z=∑zi=Azcos(ωt+φz0)

其合振動(dòng)為

(8)

三維相互垂直的同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合振動(dòng)與二維相互垂直同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合振動(dòng)相似，其合振動(dòng)的軌跡為空間橢圓,如圖6所示.

圖6 三維同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成

(2)不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

頻率不同時(shí)，三維相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，若頻率比為有理數(shù)時(shí)，其合振動(dòng)的軌跡能形成穩(wěn)定的閉合曲線，如圖7(a)所示.但當(dāng)它們的頻率比為無(wú)理數(shù)時(shí)，合成的軌跡不能形成閉合曲線，如圖7(b)所示.

圖7 三維相互垂直不同頻率的簡(jiǎn)諧接動(dòng)的合成

4 結(jié)束語(yǔ)

本文從振動(dòng)的基本形式簡(jiǎn)諧振動(dòng)出發(fā)，推導(dǎo)了各種情形的振動(dòng)合成，并借助mathematica軟件，對(duì)不同情形下的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成進(jìn)行了仿真模擬，直觀地顯示了合成后的振動(dòng)情況，有一定的參考價(jià)值.

1 趙近芳.大學(xué)物理學(xué). 北京：北京郵電大學(xué)出版社, 2014.11

2 程守洙，江之永.普通物理學(xué). 北京：高等教育出版社, 1999

3 漆安慎，杜嬋英.普通物理學(xué)教程·力學(xué).北京：高等教育出版社，1997.

4 藍(lán)海江.多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成.廣西科學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，25(1)：22～25

5 康文秀.同頻率相互垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成.物理與工程，2005，15(6)：26～31

6 梁明華，樊東紅，藍(lán)丹.基于Mathematica三維圖形的制作.貴州學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，24(2)：128～130

7 陽(yáng)明盛，林建華. Mathematica基礎(chǔ)及數(shù)學(xué)軟件. 大連：大連理工大學(xué)出版社, 2003

8 王寧星.拍圖形的對(duì)稱性.廣州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2002，1(5)：89～91

9 楊繼先.相互垂直的諧振動(dòng)合成軌跡研究.西華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2008，27(2)：76～78

10 向根祥，石玉軍.簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的計(jì)算機(jī)模擬. 蘭州文理學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，29(1)：25～28

11 王穎輝.同方向同頻率諧振動(dòng)合成初相位的確定.物理與工程，2010，20(3)：14～16

Simulation on the Synthesis of Harmonic Vibration Using Mathematica

Chen Dawei Si Xiaoqin

(Urban Construction College, Anhui Jianzhu University, Hefei,Anhui 238076)

In this paper, three cases are given of one dimensional, two dimensional and three dimensional, using mathematica to simulate the same frequency and different frequency synthesis of harmonic vibration. To display the different conditions of the synthesis of harmonic vibration results , not only can deepen students′ understanding of the synthesis of various harmonic vibration, but also can improve the students' interest in learning.

harmonic vibration; mathematica; synthesis

2016-10-31)