胡劍虹,唐志峰,蔣金洲,呂福在,潘曉弘

(1.中國(guó)計(jì)量大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，浙江 杭州　310018；2.浙江大學(xué) 數(shù)字技術(shù)及儀器研究所，浙江 杭州　310027；3.中國(guó)鐵道科學(xué)研究院 鐵道建筑研究所，北京　100081；4.中國(guó)鐵道科學(xué)研究院 高速鐵路軌道技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京　100081；5.浙江大學(xué) 現(xiàn)代制造工程研究所，浙江 杭州　310027)

近年來(lái)，隨著高速鐵路和重載鐵路的不斷發(fā)展，對(duì)鋼軌進(jìn)行實(shí)時(shí)的在線無(wú)損檢測(cè)成為迫切需要解決的課題。由于導(dǎo)波檢測(cè)的距離長(zhǎng)、效率高，因此近年來(lái)其在鋼軌無(wú)損檢測(cè)中的應(yīng)用越來(lái)越受到國(guó)內(nèi)外研究人員的重視[1-4]。

實(shí)現(xiàn)在鋼軌中激勵(lì)特定模態(tài)的導(dǎo)波是對(duì)鋼軌進(jìn)行導(dǎo)波無(wú)損檢測(cè)的基礎(chǔ)。由于鋼軌截面不是規(guī)則的對(duì)稱結(jié)構(gòu)，使得導(dǎo)波在鋼軌中的傳播極為復(fù)雜。ZUMPANO[2]，LEE[3,5]，BARTOLI[6]，RYUE[7]等人采用有限元(FEM)方法對(duì)導(dǎo)波在鋼軌中的傳播進(jìn)行了建模。FEM模型多采用ABAQUS等通用的商用有限元軟件平臺(tái)，建模過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單。但由于鋼軌屬于細(xì)長(zhǎng)結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致網(wǎng)格數(shù)量巨大、計(jì)算效率低下。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，LEE[5]，HAYASHI[8]，BARTOLI[9]等人將諧波假設(shè)引入FEM分析，提出了半解析有限元(Semi-Analysis Finite Element，SAFE)方法。由于鋼軌頻散特性的復(fù)雜性，使得開展鋼軌導(dǎo)波實(shí)驗(yàn)研究非常困難，HAYASHI[10]等提出了優(yōu)勢(shì)模態(tài)概念，并用壓電傳感器進(jìn)行了試驗(yàn)。以上研究表明，鋼軌中的導(dǎo)波模態(tài)極其復(fù)雜，采用傳統(tǒng)的傳感器激勵(lì)導(dǎo)波時(shí)會(huì)在鋼軌中產(chǎn)生多種模態(tài)的導(dǎo)波，無(wú)法實(shí)現(xiàn)特定模態(tài)導(dǎo)波的激勵(lì)。本文基于SAFE方法，進(jìn)行梳狀傳感器在鋼軌中激勵(lì)特定模態(tài)導(dǎo)波的研究。

1　基于SAFE方法的鋼軌導(dǎo)波控制方程、相速度和群速度

1.1　導(dǎo)波控制方程

典型的鋼軌結(jié)構(gòu)如圖1所示，鋼軌任意截面的形狀和幾何尺寸都是相同的，而且鋼軌在長(zhǎng)度方向(z軸)的尺寸要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于截面的尺寸。

對(duì)于沿著z軸方向傳播的導(dǎo)波，SAFE方法引入諧波假設(shè)。如果參考截面的位移向量為u0，那么

圖1　鋼軌結(jié)構(gòu)示意圖

鋼軌任意截面的位移向量u可以表示為

u=u0ei(ξz-ωt)

(1)

式中：ξ為導(dǎo)波的波數(shù)；ω為導(dǎo)波的角頻率；t為時(shí)間參數(shù)。

根據(jù)彈性力學(xué)理論，鋼軌中的基本變量，如位移u，應(yīng)變?chǔ)藕蛻?yīng)力σ可以表示為

u=(uxuyuz)T

(2)

ε=(εxxεyyεzzεyzεzxεxy)T

(3)

σ=(σxxσyyσzzσyzσzxσxy)T

(4)

式中：ux，uy，uz分別為x，y和z方向的位移；εxx，εyy，εzz，εyz，εzx和εxy分別為x方向、y方向、z方向的應(yīng)變以及y方向和z方向間、z方向和x方向間、x方向和y方向間的剪應(yīng)變；σxx，σyy，σzz，σyz，σzx和σxy分別為x方向、y方向、z方向的應(yīng)力，以及y方向和z方向間、z方向和x方向間、x方向和y方向間的剪應(yīng)力。

在參考截面劃分有限元網(wǎng)格，那么單元的位移向量u(e)可以用節(jié)點(diǎn)位移表示為

u(e)=N(e)q(e)ei(ξz-ωt)

(5)

式中：q(e)為節(jié)點(diǎn)位移向量；N(e)為單元形函數(shù)矩陣。

N(e)通?？梢员硎緸?/p>

(6)

式中：Ni為單元中第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)。

根據(jù)應(yīng)變和位移之間的關(guān)系(幾何方程)，單元的應(yīng)變向量ε(e)可以表示為

(7)

其中，

將式(5)代入式(7)，可以得到

(8)

應(yīng)用Hooke定理(物理方程)，單元的應(yīng)力向量σ(e)可以表示為

σ(e)=k(e)ε(e)

(9)

式中：k(e)為網(wǎng)格單元的彈性矩陣。

鋼軌中沿z軸傳播的導(dǎo)波的控制方程可以通過(guò)Hamilton原理推導(dǎo)。根據(jù)Hamilton原理，在無(wú)外載荷的情況下，有

(10)

式中：ρ為鋼軌的密度；V為網(wǎng)格單元的體積。

式(10)左邊第1項(xiàng)表示系統(tǒng)的動(dòng)能，第2項(xiàng)表示系統(tǒng)的應(yīng)變能。

將式(5)代入式(10)的動(dòng)能項(xiàng)，并忽略結(jié)果中的諧波項(xiàng)ei(ξz-ωt)，可以得到

(11)

式中：Ω為網(wǎng)格單元在參考截面的面積。

類似，將式(8)和式(9)代入式(10)的應(yīng)變能項(xiàng)，則有

(12)

將式(11)和式(12)代入Hamilton公式，可以得到網(wǎng)格單元的導(dǎo)波控制方程為

(13)

采用矩陣組裝技術(shù)可以將網(wǎng)格單元的導(dǎo)波控制方程擴(kuò)展成為鋼軌的導(dǎo)波控制方程

(K1+iξK2+ξ2K3-ω2M)Q=0

(14)

式中：K1，K2，K3和M分別為總體的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣；Q為總體的節(jié)點(diǎn)位移向量。

1.2　導(dǎo)波相速度和群速度

研究鋼軌的導(dǎo)波控制方程可以發(fā)現(xiàn)，K1，K3和M是對(duì)稱矩陣，而K2是反對(duì)稱矩陣。為了求解導(dǎo)波的控制方程，可以按照BARTOLI的方法[9]引入轉(zhuǎn)化矩陣D。D是一個(gè)和K2同階次的對(duì)角矩陣，D中與ux和uy有關(guān)的分量為1，與uz有關(guān)的分量為i，即

(15)

(16)

通過(guò)式(16)，可以建立起ξ與ω之間的關(guān)系，即頻散關(guān)系。頻散關(guān)系通常用ω-ξ關(guān)系描述，即對(duì)于給定的ω，通過(guò)控制方程求得相應(yīng)的ξ。為了便于計(jì)算ω-ξ關(guān)系，式(16)可以進(jìn)一步改寫為

(17)

式(17)是一個(gè)關(guān)于特征值ξ的特征方程，通過(guò)求解這個(gè)特征方程可以獲得鋼軌中導(dǎo)波的頻散關(guān)系。

根據(jù)ω-ξ關(guān)系，可以定義計(jì)算導(dǎo)波的相速度cp，即

(18)

根據(jù)定義，導(dǎo)波的群速度cg可以表示為

(19)

通過(guò)式(19)計(jì)算群速度時(shí)無(wú)法避免微分過(guò)程，會(huì)引起在一些ω-ξ曲線陡峭的地方誤差過(guò)大。為了避免微分計(jì)算過(guò)程，可以按照HAYASHI的方法[8]計(jì)算群速度，即

(20)

2　鋼軌頻散曲線計(jì)算

本文選擇60 kg·m-1鋼軌作為研究對(duì)象，鋼軌的幾何尺寸按照GB 2585—2007中選取，鋼軌的密度取7 850 kg·m-3，彈性模量取210 GPa，泊松比取0.28。

本文選用三角形網(wǎng)格對(duì)鋼軌截面進(jìn)行網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格的最大尺寸為5 mm，鋼軌截面的網(wǎng)格劃分如圖2所示。

圖2　鋼軌截面的有限元網(wǎng)格

根據(jù)SAFE模型，計(jì)算得到的鋼軌導(dǎo)波相速度頻散曲線和群速度頻散曲線分別如圖3和圖4所示。

圖3　鋼軌的相速度頻散曲線

觀察鋼軌的相速度和群速度頻散曲線可以發(fā)現(xiàn)，鋼軌的頻散曲線要比規(guī)則的板狀結(jié)構(gòu)或圓柱結(jié)構(gòu)的頻散曲線密集，有多種導(dǎo)波模態(tài)共存，這是由于鋼軌的復(fù)雜而不規(guī)則的截面造成的。因此在鋼軌中激勵(lì)導(dǎo)波時(shí)，不可避免地會(huì)激勵(lì)出多種模態(tài)導(dǎo)波。此外，導(dǎo)波經(jīng)過(guò)端面，缺陷等的時(shí)候，會(huì)引起極其復(fù)雜的模態(tài)轉(zhuǎn)換，也會(huì)在鋼軌中產(chǎn)生多種模態(tài)的導(dǎo)波。

圖4　鋼軌的群速度頻散曲線

3　鋼軌特定模態(tài)導(dǎo)波激勵(lì)

根據(jù)ROSE的理論[11]，梳狀傳感器基于等相位角原理設(shè)計(jì)，即傳感器中的任何模塊激勵(lì)出來(lái)的導(dǎo)波在離開傳感器時(shí)具有相同的相位角φ=ξz-ωt。因此，梳狀傳感器能保證其在鋼軌的相速度頻散曲線上具有固定的工作點(diǎn)，從而激勵(lì)出特定模態(tài)的導(dǎo)波。

根據(jù)鋼軌的實(shí)際應(yīng)用條件，將梳狀傳感器布置在軌腰和軌底部分以激勵(lì)和感應(yīng)導(dǎo)波，如圖5所示。這種傳感器布置方式不影響列車從鋼軌上行駛，可以實(shí)現(xiàn)導(dǎo)波在線的實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)。梳狀傳感器沿鋼軌軸向布置的結(jié)構(gòu)如圖6所示。

圖5　梳狀傳感器在鋼軌截面的布置圖

如果需要傳感器激勵(lì)出的導(dǎo)波沿圖6所示的箭頭方向傳播，則必須使傳感器中2#，3#和4#共3個(gè)模塊激勵(lì)出來(lái)的導(dǎo)波在傳播到1#模塊時(shí)，與1#模塊激勵(lì)出來(lái)的導(dǎo)波具有相同的相位角。本文取梳狀傳感器中各模塊間的間距ΔL=λ/4(λ為導(dǎo)波的波長(zhǎng))，則梳狀傳感器中2#，3#和4#模塊發(fā)出的

圖6　梳狀傳感器沿鋼軌軸向布置圖

激勵(lì)脈沖的相位分別超前1#模塊的1/4，1/2和3/4個(gè)周期。以1#模塊所處的位置和激勵(lì)導(dǎo)波的時(shí)刻為基準(zhǔn)，計(jì)算1#模塊激勵(lì)出來(lái)的導(dǎo)波，以及2#，3#和4#模塊激勵(lì)出來(lái)的導(dǎo)波在傳播到1#模塊時(shí)，各導(dǎo)波的相位角分別為

(21)

因此，1個(gè)梳狀傳感器在特定的頻率f下只能激勵(lì)出特定波長(zhǎng)為λ、特定相速度為cp的導(dǎo)波，這樣就確定了梳狀傳感器的工作點(diǎn)。梳狀傳感器激勵(lì)出的導(dǎo)波的相速度cp、頻率f和梳狀傳感器各模塊之間的間距ΔL存在以下關(guān)系。

cp=fλ=4fΔL

(22)

本文設(shè)計(jì)的工作頻率分別為32和64 kHz的梳狀傳感器的參數(shù)見表1。

表1　梳狀傳感器參數(shù)

將表1中的參數(shù)代入式(22)，得到梳狀傳感器的頻率特性和相速度頻散曲線如圖7所示。圖中A和B分別為32和64 kHz梳狀傳感器的工作點(diǎn)。

在相速度頻散曲線上確定了梳狀傳感器的工作點(diǎn)以后，根據(jù)SAFE模型可以在群速度頻散曲線中找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，以確定梳狀傳感器所激勵(lì)模態(tài)導(dǎo)波的群速度，如圖8所示。

為了檢驗(yàn)梳狀傳感器具備在鋼軌中激勵(lì)特定模態(tài)導(dǎo)波的能力，本文將32和64 kHz梳狀傳感器布置在鋼軌上，用導(dǎo)波檢測(cè)儀采集導(dǎo)波的回波信號(hào)，根據(jù)鋼軌5.5 m處端面信號(hào)分析導(dǎo)波在鋼軌中實(shí)際的群速度。梳狀傳感器在鋼軌上的布置位置如圖9所示，32和64 kHz導(dǎo)波的回波信號(hào)分別如圖10和圖11所示。

圖7　梳狀傳感器的頻率特性和相速度頻散曲線

圖8　梳狀傳感器激勵(lì)導(dǎo)波的群速度

圖9　鋼軌梳狀傳感器布置位置示意圖

圖10　32 kHz導(dǎo)波回波信號(hào)

根據(jù)鋼軌端面導(dǎo)波的回波信號(hào)可以計(jì)算出導(dǎo)波在鋼軌中實(shí)際的群速度，其與SAFE方法的理論計(jì)算結(jié)果對(duì)比見表2。

導(dǎo)波頻率/kHz理論群速度/(m·s-1)實(shí)際群速度/(m·s-1)誤差/%32262625831646427342750059

分析表2中的理論和實(shí)際群速度，可以看到：SAFE方法計(jì)算得到的理論群速度和實(shí)際群速度基本一致，誤差在允許的范圍之內(nèi)，這說(shuō)明梳狀傳感器能夠激勵(lì)出特定模態(tài)的導(dǎo)波。

從圖10和圖11還可以看到，除了2個(gè)顯著的端面信號(hào)之外，還有許多小信號(hào)，這說(shuō)明鋼軌中除了梳狀傳感器激勵(lì)的目標(biāo)模態(tài)導(dǎo)波之外，還有其他多種模態(tài)共存，所有模態(tài)中目標(biāo)模態(tài)具有大部分能量。

4　結(jié)　語(yǔ)

本文建立鋼軌的SAFE模型，推導(dǎo)導(dǎo)波的相速度和群速度計(jì)算公式，并計(jì)算得到導(dǎo)波在60 kg·m-1鋼軌中傳播的相速度和群速度頻散曲線。設(shè)計(jì)適合鋼軌的32和64 kHz梳狀傳感器，結(jié)合梳狀傳感器的頻率特性在鋼軌導(dǎo)波相速度頻散曲線上確定梳狀傳感器的工作點(diǎn)，利用鋼軌的SAFE模型計(jì)算梳狀傳感器工作點(diǎn)對(duì)應(yīng)的群速度。利用設(shè)計(jì)的梳狀傳感器在鋼軌上進(jìn)行的導(dǎo)波激勵(lì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，實(shí)測(cè)群速度與理論計(jì)算所得的群速度基本一致，說(shuō)明梳狀傳感器能夠激勵(lì)特定模態(tài)的導(dǎo)波。

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