張 勝

(天津師范大學(xué)教師教育學(xué)院 300387)

數(shù)學(xué)信念自上世紀(jì)80年代由Schoenfeld提出以來(lái)，以其對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題解決及數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就的重要影響，備受研究者關(guān)注.作為當(dāng)今國(guó)際數(shù)學(xué)教育界的研究熱點(diǎn)之一，數(shù)學(xué)信念自ICME-10(2004年)至ICME-13(2016年)持續(xù)作為國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)”研究主題的熱點(diǎn)議題出現(xiàn)[1].截止2017年6月，在SSCI數(shù)據(jù)庫(kù)中以“mathematical beliefs”、“beliefs to the mathematics”、“mathematics beliefs”等為主題、在CSSCI數(shù)據(jù)庫(kù)以“數(shù)學(xué)信念”為主題查詢，累計(jì)相關(guān)文獻(xiàn)已達(dá)千余篇.對(duì)三十余年來(lái)學(xué)生數(shù)學(xué)信念的相關(guān)重要研究進(jìn)行系統(tǒng)地回顧與展望，以期推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)信念研究的進(jìn)一步發(fā)展.

1 信念及其特征

對(duì)于“信念”的概念界定，學(xué)界一直未能達(dá)成共識(shí)[2].對(duì)其做一個(gè)具有統(tǒng)一意義的界定十分困難，究其原因有二：其一，由于研究的內(nèi)容和角度不同，信念被不同研究者賦予了不同的意義[3]，而鑒于對(duì)“信念”進(jìn)行界定的難度，研究者通常認(rèn)定讀者們能夠以一種默會(huì)的方式領(lǐng)會(huì)其含義.Mason在2004年曾對(duì)以往研究中與信念相關(guān)的概念進(jìn)行了總結(jié)，并將其按從A字母到Z字母的順序列出，例如“A”有“attitude”(態(tài)度)、“affect”(情感)、“aptitudes”(能力傾向)、“aims”(目標(biāo))[4].由此可見，與信念相關(guān)的概念體系是十分龐大的.其二，信念的復(fù)雜性[5]致使其很容易與其它概念，如知識(shí)、態(tài)度等相混淆，因?yàn)樾拍钆c態(tài)度、知識(shí)之間的關(guān)系很密切，差別卻非常模糊.Thompson[6]對(duì)信念和知識(shí)做了區(qū)分——知識(shí)具有“客觀真實(shí)性”，而信念則具有主觀性，不同的人持有的信念是不一致的.雖然信念和知識(shí)不盡相同，但是兩者存在密切的聯(lián)系.就哲學(xué)角度而言，知識(shí)可以認(rèn)為是已經(jīng)被證明為正確的信念.社會(huì)建構(gòu)主義持有同樣的觀點(diǎn)，即一個(gè)人的信念經(jīng)社會(huì)驗(yàn)證為正確后就會(huì)成為知識(shí)[7].心理學(xué)家Fishbein將態(tài)度界定為“個(gè)人習(xí)得的對(duì)某一事物或某一類事物的好惡傾向”[8].他認(rèn)為態(tài)度歸屬于情感，而信念更多與意識(shí)有關(guān).在數(shù)學(xué)教育研究中，有部分學(xué)者通過(guò)“穩(wěn)定程度”來(lái)對(duì)二者進(jìn)行區(qū)分，認(rèn)為“信念”較“態(tài)度”而言，更為穩(wěn)定，形成更為緩慢，認(rèn)知成分更多[9].

信念的復(fù)雜特性，促使研究者們將個(gè)體持有的信念放在一個(gè)系統(tǒng)中去考慮.Goldin對(duì)信念結(jié)構(gòu)(belief structure)與信念系統(tǒng)(belief system)進(jìn)行了區(qū)分，他認(rèn)為信念結(jié)構(gòu)是一套個(gè)人所持有的相互一致的，相互補(bǔ)充的，相互支持的信念，主要是認(rèn)知的，也包括情感的成分[10].信念系統(tǒng)則是一個(gè)復(fù)雜的、大規(guī)模的信念結(jié)構(gòu)，它是由社會(huì)或文化所共享的信念結(jié)構(gòu)[11].

Green[12]認(rèn)為信念作為系統(tǒng)有其獨(dú)特的特征，并引入準(zhǔn)邏輯性(quasi-logicalness)、心理中心性(psychological centrality)、簇聚結(jié)構(gòu)(cluster structure)三個(gè)維度來(lái)對(duì)信念系統(tǒng)進(jìn)行描述.其中準(zhǔn)邏輯性和心理中心性與信念系統(tǒng)本身無(wú)關(guān)，而意在對(duì)個(gè)體如何持有信念進(jìn)行描述.所謂準(zhǔn)邏輯性是指，個(gè)體在其自身的信念系統(tǒng)中有其獨(dú)特、個(gè)性化的邏輯，而這種邏輯本身未必嚴(yán)格符合邏輯規(guī)律，故稱“準(zhǔn)邏輯性”.心理中心性是指某些信念比其它信念更為重要，在心理上居于中心，而其它的信念在邊緣位置.這與Rokeach的觀點(diǎn)是相似的.Rokeach[13]把信念的結(jié)構(gòu)比做原子的結(jié)構(gòu)，如同原子核把不同的電子集中在一起成為一個(gè)穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，有一些信念作為中心信念而存在并把其他相應(yīng)的信念組織在一起而構(gòu)成一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的信念系統(tǒng).處于中心的信念是最強(qiáng)烈的信念，而邊緣的則是最易改變的信念.簇聚結(jié)構(gòu)是對(duì)信念系統(tǒng)本身的描述，它是指?jìng)€(gè)體的信念以簇狀(Clusters)叢生的形式，成群地聚合在一起.這說(shuō)明，個(gè)體所具有的某一個(gè)信念與其他的信念并不是完全獨(dú)立的，而這也導(dǎo)致個(gè)體在自身的信念系統(tǒng)內(nèi)可能會(huì)具有不一致、甚至相矛盾的信念.

綜上可知，雖然對(duì)“信念”做出明確的界定十分困難，但學(xué)界目前就信念的特性基本達(dá)成共識(shí)，即信念是認(rèn)知與情感的共同部分，并且認(rèn)知信念在信念整體中占較大部分，其比例高于情感信念.信念為個(gè)體所持有，具有個(gè)性化特點(diǎn)，未必嚴(yán)格符合邏輯規(guī)律.個(gè)體信念系統(tǒng)中的不同信念在心理上居于不同地位，因而其強(qiáng)烈程度會(huì)有所不同.此外，同一個(gè)體的不同信念之間可能相互矛盾，而對(duì)個(gè)體行為具有決定性作用的，是處于中心位置的信念.

2 學(xué)生數(shù)學(xué)信念及其系統(tǒng)

最早提出“數(shù)學(xué)信念”的是美國(guó)數(shù)學(xué)教育家Schoenfeld.他在進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的相關(guān)研究時(shí)，發(fā)現(xiàn)了學(xué)生認(rèn)識(shí)論信念(epistemological beliefs)對(duì)學(xué)生問(wèn)題解決能力的影響[14].這一發(fā)現(xiàn)促使Schoenfeld建立了一個(gè)針對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的全新實(shí)證框架，在此框架中信念系統(tǒng)發(fā)揮了最為根本和極為微妙的作用[15].他指出，純粹的認(rèn)知行為極為罕見，個(gè)人對(duì)任務(wù)性質(zhì)的看法可能會(huì)影響他們?cè)谔囟ㄇ榫诚碌闹橇Ρ憩F(xiàn)(intellectual performance).也即是說(shuō)，數(shù)學(xué)世界觀(mathematical worldview)塑造運(yùn)用數(shù)學(xué)的方式[16].Schoenfeld的論證也得到了20世紀(jì)末至21世紀(jì)初一些研究[17-20]的認(rèn)可.

自Schoenfeld提出數(shù)學(xué)信念后，許多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了更為深入的研究.由于學(xué)者們對(duì)“數(shù)學(xué)信念”的界定眾說(shuō)紛紜，因而對(duì)數(shù)學(xué)信念系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的看法也不盡相同.按照時(shí)間順序，學(xué)界對(duì)數(shù)學(xué)信念系統(tǒng)的代表性觀點(diǎn)有以下幾種：

Martha L Frank[21]通過(guò)對(duì)中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行觀察、分析，將學(xué)生數(shù)學(xué)信念系統(tǒng)概括為 5 類，分別為關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的信念、關(guān)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的信念、關(guān)于數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的信念、關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信念、關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)的信念.

Underhill[22]通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者的信念進(jìn)行綜述，將學(xué)生的數(shù)學(xué)信念總結(jié)為 4個(gè)方面，分別是：數(shù)學(xué)作為一門學(xué)科的信念，即學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)；關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信念，即學(xué)生認(rèn)為哪些數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略有效；關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)的信念，即學(xué)生認(rèn)為哪些數(shù)學(xué)教學(xué)策略有效；關(guān)于學(xué)習(xí)者自我在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、教學(xué)情境中的信念.Underhill首次在對(duì)數(shù)學(xué)信念系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的探討中將情境因素考慮在內(nèi).

McLeod[23]將數(shù)學(xué)信念劃分為4個(gè)范疇，分別為關(guān)于數(shù)學(xué)的信念，涵蓋了Underhill結(jié)構(gòu)中的前兩個(gè)方面，并加入了數(shù)學(xué)有用性信念；關(guān)于自我的信念，包括成敗歸因、自我效能感等；關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)的信念，與Underhill結(jié)構(gòu)中的第三方面一致，側(cè)重教師應(yīng)如何幫助學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)；關(guān)于社會(huì)環(huán)境的信念，在Underhill結(jié)構(gòu)原有第四方面的基礎(chǔ)上，又考慮了更多來(lái)自社會(huì)環(huán)境、家庭環(huán)境、學(xué)校環(huán)境等方面的因素，如父母或其他人認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是競(jìng)爭(zhēng)的.

Kloosterman[24]將 McLeod 結(jié)構(gòu)中的4個(gè)范疇整合為兩種基本類型：第一種是關(guān)于數(shù)學(xué)的信念，第二種是關(guān)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信念，并將關(guān)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信念進(jìn)一步劃分為 3個(gè)子類型：自己作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者的信念、關(guān)于教師角色的信念與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的其他信念.

De Corte E等[3]結(jié)合情境認(rèn)知理論，認(rèn)為個(gè)體的信念主要涉及自我、對(duì)象及環(huán)境，考慮到學(xué)生主要是在學(xué)校教育的課堂環(huán)境中發(fā)展自己的信念，故主要關(guān)注最為重要的課堂環(huán)境因素.因此將學(xué)生的數(shù)學(xué)信念包括自我信念(自我)、數(shù)學(xué)教育信念(對(duì)象)、課堂環(huán)境信念(環(huán)境)3個(gè)部分.其中，自我信念包括與數(shù)學(xué)有關(guān)的內(nèi)在目標(biāo)導(dǎo)向信念、外在目標(biāo)導(dǎo)向信念、任務(wù)價(jià)值信念、控制信念和自我效能信念；數(shù)學(xué)教育信念包括學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的信念、對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和問(wèn)題解決的信念和對(duì)數(shù)學(xué)教的信念；學(xué)生在具體課堂環(huán)境下的信念可分為對(duì)教師角色與作用的信念、對(duì)課堂中同學(xué)們角色與作用的信念、對(duì)課堂中社會(huì)數(shù)學(xué)規(guī)范和實(shí)踐的信念.

Schommer[25]研究了 5 種數(shù)學(xué)信念，包括數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的信念、數(shù)學(xué)知識(shí)穩(wěn)定性的信念、數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源的信念、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)速度的信念與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的信念.其中前三種指向的是“數(shù)學(xué)”，后兩種分別指向的是“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”與“自我”.

唐劍嵐[26]等認(rèn)為學(xué)生數(shù)學(xué)信念的成分主要包括3個(gè)部分：一是學(xué)生對(duì)自我與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、問(wèn)題解決關(guān)系的看法，譬如“我對(duì)理解數(shù)學(xué)沒(méi)指望，通過(guò)記憶數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題”；二是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、問(wèn)題解決的看法，譬如“數(shù)學(xué)問(wèn)題只有一個(gè)正確答案”；三是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的社會(huì)情境的看法，譬如“在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界沒(méi)有或很少有聯(lián)系”.在結(jié)合Muis[27]既有觀點(diǎn)，即“數(shù)學(xué)信念系統(tǒng)包括學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的信念系統(tǒng)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信念系統(tǒng)，每個(gè)信念系統(tǒng)又由多個(gè)相對(duì)獨(dú)立的維度構(gòu)成”的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出，數(shù)學(xué)知識(shí)的信念系統(tǒng)主要包括4個(gè)維度，分別是：學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源的信念、學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)穩(wěn)定性的信念、學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)性的信念、學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)判斷的信念；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信念系統(tǒng)主要包括3個(gè)維度，分別是：學(xué)生對(duì)自己數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的信念、學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)速度的信念、學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的信念.這與 Schommer 對(duì)數(shù)學(xué)信念的劃分結(jié)構(gòu)較為一致，只是在其原有基礎(chǔ)上增加了數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源與數(shù)學(xué)知識(shí)判斷.數(shù)學(xué)知識(shí)信念系統(tǒng)中的4個(gè)維度在內(nèi)涵上隸屬于McLeod提出的“關(guān)于數(shù)學(xué)的信念”，而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信念系統(tǒng)中的3個(gè)維度則指向Martha L Frank 提出的“關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信念”.

劉展等[28]通過(guò)對(duì)初中生與高中生數(shù)學(xué)信念系統(tǒng)進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，采用因子分析探索了學(xué)生數(shù)學(xué)信念系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，研究表明，學(xué)生的數(shù)學(xué)信念系統(tǒng)包括數(shù)學(xué)信念、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信念、數(shù)學(xué)教學(xué)信念、自我信念、學(xué)習(xí)環(huán)境信念，學(xué)生數(shù)學(xué)信念的三個(gè)因子是數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)價(jià)值、數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信念的四個(gè)因子是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法、學(xué)生的發(fā)展觀、學(xué)生的能力觀、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維，學(xué)生數(shù)學(xué)教學(xué)信念的四個(gè)因子是教學(xué)評(píng)價(jià)、教學(xué)方式、學(xué)生心理素質(zhì)的培養(yǎng)、教學(xué)目的，學(xué)生數(shù)學(xué)自我信念的四個(gè)因子是內(nèi)部歸因、外部歸因、學(xué)習(xí)目的、自信，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境信念的四個(gè)因子是心理環(huán)境、課堂環(huán)境、家庭環(huán)境、社會(huì)環(huán)境.

金美月等[29]在對(duì)國(guó)內(nèi)外學(xué)生數(shù)學(xué)信念系統(tǒng)研究進(jìn)行綜述的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)整理分析，把學(xué)生數(shù)學(xué)信念系統(tǒng)概括為數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)教學(xué)、自我、學(xué)習(xí)環(huán)境等信念.同時(shí)指出，學(xué)生的學(xué)習(xí)環(huán)境不只有課堂環(huán)境和家庭環(huán)境.隨著科技的發(fā)展，其呈現(xiàn)出多樣化的趨勢(shì).因此，在探討學(xué)生數(shù)學(xué)信念系統(tǒng)時(shí)，應(yīng)根據(jù)研究需要，全面考察學(xué)生數(shù)學(xué)信念系統(tǒng)中社會(huì)情境的構(gòu)成要素，保證信念系統(tǒng)的完整性．因此，研究學(xué)生數(shù)學(xué)信念系統(tǒng)時(shí)，還應(yīng)包括數(shù)學(xué)活動(dòng)的社會(huì)情境信念.

綜上可知，自Schoenfeld提出數(shù)學(xué)信念以來(lái)，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者致力于對(duì)數(shù)學(xué)信念系統(tǒng)的完善.關(guān)于學(xué)生數(shù)學(xué)信念系統(tǒng)構(gòu)成要素的觀點(diǎn)在不斷的研究中逐漸趨于一致，即包括自我、數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)教學(xué)、環(huán)境等五個(gè)范疇的信念.其中，學(xué)生關(guān)于自我的信念主要是指學(xué)生個(gè)體對(duì)其自身與數(shù)學(xué)關(guān)系的信念，主要包括數(shù)學(xué)成敗歸因、數(shù)學(xué)自我效能感等；學(xué)生關(guān)于數(shù)學(xué)的信念主要是指學(xué)生個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)本身的信念，主要包括數(shù)學(xué)有用性、數(shù)學(xué)本質(zhì)等；學(xué)生關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信念主要是指學(xué)生個(gè)體在自身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的信念，主要包括數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略等，例如學(xué)生認(rèn)為應(yīng)采用自主探究的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、記憶數(shù)學(xué)公式和步驟是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要因素等；學(xué)生關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)的信念主要是指學(xué)生個(gè)體在其接受數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的信念，主要包括數(shù)學(xué)教學(xué)目的、數(shù)學(xué)教學(xué)方式等，例如學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)就是讓學(xué)生具備就業(yè)所需的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能、老師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系等；學(xué)生關(guān)于環(huán)境的信念主要是指學(xué)生個(gè)體在其生活環(huán)境中對(duì)數(shù)學(xué)的信念，主要包括社會(huì)環(huán)境、家庭環(huán)境、學(xué)校環(huán)境、課堂環(huán)境等，例如學(xué)生認(rèn)為社會(huì)環(huán)境中大多數(shù)人覺得數(shù)學(xué)成績(jī)好的人聰明、家庭環(huán)境中父母將數(shù)學(xué)置于比其他學(xué)科重要的位置、學(xué)校環(huán)境中數(shù)學(xué)成績(jī)是教師評(píng)判學(xué)生是否有潛力的首要指標(biāo)、課堂環(huán)境中男生的數(shù)學(xué)知識(shí)接受能力優(yōu)于女生等.

3 學(xué)生數(shù)學(xué)信念研究的必要性

作為當(dāng)今國(guó)際數(shù)學(xué)教育界的研究熱點(diǎn)，許多國(guó)家的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中均有指向“數(shù)學(xué)信念”的要求，如日本中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)綱領(lǐng)均強(qiáng)調(diào)要讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的樂(lè)趣、培養(yǎng)關(guān)于數(shù)學(xué)的積極態(tài)度[30]；荷蘭數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)重視學(xué)生“對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)”與“自我認(rèn)識(shí)”[31]；南非國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)則將“對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的批判性認(rèn)識(shí)”、“處理數(shù)學(xué)情境的自信心”、“對(duì)數(shù)學(xué)的理解”、“對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛”作為數(shù)學(xué)教學(xué)的目的[32].韓國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，小學(xué)至中學(xué)的數(shù)學(xué)教育目標(biāo)體系由“認(rèn)知”與“情感”兩大領(lǐng)域一以貫之[33-34]，而信念則是“認(rèn)知”與“情感”的交集[3]；新加坡數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)更是明確指出要關(guān)注“數(shù)學(xué)及其有用性的信念”[35].

此外，PISA、TIMSS、NAEP等國(guó)際大型測(cè)試項(xiàng)目也都在其背景問(wèn)卷中設(shè)置了與數(shù)學(xué)信念相關(guān)的題目[36-38]，以House為主要代表的學(xué)者們利用測(cè)試數(shù)據(jù)對(duì)數(shù)學(xué)信念與數(shù)學(xué)成就之間的關(guān)系進(jìn)行了一系列深入研究[39-45].結(jié)果表明，學(xué)生數(shù)學(xué)信念水平與數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就有關(guān)，可以作為預(yù)測(cè)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的一項(xiàng)指標(biāo).Schoenfeld、Higgins、Schommer、蔡金法等人在對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決相關(guān)課題進(jìn)行研究時(shí)也發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)信念對(duì)人的思維方式和行為方式均有著深遠(yuǎn)的影響[14-16,18,25,46-47].

綜上可見，學(xué)生數(shù)學(xué)信念在其提出后的短短三十余年間已充分引起數(shù)學(xué)教育界的重視.許多在TIMSS、PISA數(shù)學(xué)測(cè)試中名列前茅的國(guó)家，都在其數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)數(shù)學(xué)信念給予了關(guān)注.在關(guān)注學(xué)生外顯化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)的同時(shí)，更要關(guān)注對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維產(chǎn)生重要影響、但卻以內(nèi)隱形式存在的數(shù)學(xué)信念，已是國(guó)際數(shù)學(xué)教育界的共識(shí).

4 學(xué)生數(shù)學(xué)信念水平的測(cè)評(píng)工具

首先對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)信念進(jìn)行測(cè)量的學(xué)者是數(shù)學(xué)信念的提出者Schoenfeld.基于自身在1983-1985年間的理論分析和定性調(diào)查[14-15,46]，Schoenfeld編制了一個(gè)包含70個(gè)封閉式問(wèn)題和10個(gè)開放式問(wèn)題的數(shù)學(xué)信念調(diào)查問(wèn)卷(questionnaire)，用以研究學(xué)生(9-12年級(jí))的數(shù)學(xué)信念對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)表現(xiàn)的影響.該問(wèn)卷涉及4個(gè)方面，分別是：(1)學(xué)生對(duì)成敗的歸因；(2)對(duì)比英語(yǔ)和社會(huì)研究，對(duì)數(shù)學(xué)的觀念(perceptions)；(3)數(shù)學(xué)作為學(xué)科的本質(zhì)；(4)數(shù)學(xué)態(tài)度(attitude)[48].

Kloosterman等[49]受Schoenfeld研究的啟發(fā)，開發(fā)了用以測(cè)量中學(xué)生及大學(xué)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決信念的印第安納數(shù)學(xué)信念量表(Indiana Mathematics Belief Scales)，簡(jiǎn)稱IMBS.該量表為李克特五點(diǎn)量表，包含以下 5個(gè)分量表：(1)我可以解決耗時(shí)的數(shù)學(xué)問(wèn)題；(2)有一些應(yīng)用題不能用簡(jiǎn)單的分步過(guò)程來(lái)解決；(3)理解概念在數(shù)學(xué)中是重要的；(4)應(yīng)用題在數(shù)學(xué)中是重要的；(5)努力可以提高數(shù)學(xué)能力.除了IMBS之外，Kloosterman等還建議將Fennema-Sherman有用性量表[50]納入其中，用以測(cè)量學(xué)生關(guān)于數(shù)學(xué)在日常生活中有用性的信念.經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)有用性量表與IMBS的大多數(shù)子量表相關(guān)，將其與IMBS結(jié)合后，6個(gè)分量表表示可接受的內(nèi)部一致性(克倫巴赫系數(shù)0.54至0.86).如此，最終形成包含6個(gè)分量表(其中每個(gè)分量表包含6個(gè)題項(xiàng))，共計(jì)36個(gè)題項(xiàng)的學(xué)生數(shù)學(xué)信念量表.

Op’t Eynde和 De Corte E[51]在其所提出的三因素(自我、對(duì)象、環(huán)境)數(shù)學(xué)信念系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)365名初中生施測(cè)，經(jīng)過(guò)因素分析，編制了學(xué)生數(shù)學(xué)相關(guān)信念問(wèn)卷(Mathematics-Related Beliefs Questionnaire)，簡(jiǎn)稱MRBQ.該問(wèn)卷分為4個(gè)維度，分別是：(1)學(xué)生對(duì)其教師的角色與作用的信念；(2)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的重要性與勝任力的信念；(3)數(shù)學(xué)作為社會(huì)活動(dòng)的信念；(4)數(shù)學(xué)作為一個(gè)卓越領(lǐng)域的信念.該問(wèn)卷為李克特六點(diǎn)量表，共有44個(gè)題項(xiàng)(不含測(cè)謊題)，其中維度1包含16個(gè)題項(xiàng)，維度2包含13個(gè)題項(xiàng)，維度3包含9個(gè)題項(xiàng)，維度4包含6個(gè)題項(xiàng).

國(guó)內(nèi)研究者在參考國(guó)外經(jīng)過(guò)驗(yàn)證的標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)卷的基礎(chǔ)上，編制了一些適合中國(guó)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特點(diǎn)的數(shù)學(xué)信念問(wèn)卷.如代楓[52]編制的《中學(xué)生數(shù)學(xué)信念系統(tǒng)調(diào)查問(wèn)卷》，該問(wèn)卷包括數(shù)學(xué)信念、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信念、數(shù)學(xué)教學(xué)信念、數(shù)學(xué)自我信念、學(xué)習(xí)環(huán)境信念5個(gè)維度；康怡[53]編制的《高中生數(shù)學(xué)信念系統(tǒng)調(diào)查問(wèn)卷》，該問(wèn)卷包含數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)、數(shù)學(xué)教學(xué)評(píng)價(jià)、數(shù)學(xué)自我、數(shù)學(xué)情境4個(gè)維度；廣西師范大學(xué)研究團(tuán)隊(duì)[54-57]編制的初中生和高中生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)信念的問(wèn)卷等.此外還有基于數(shù)學(xué)信念與其他變量關(guān)系研究的問(wèn)卷，如田靜[58]編制的《初中生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論信念問(wèn)卷與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略問(wèn)卷》.

綜上，國(guó)外諸多學(xué)者在學(xué)生數(shù)學(xué)信念測(cè)量方面已做出開創(chuàng)性貢獻(xiàn).國(guó)內(nèi)研究人員在此基礎(chǔ)上，結(jié)合我國(guó)數(shù)學(xué)教育的實(shí)際情況，開發(fā)了一些適用于測(cè)量我國(guó)學(xué)生數(shù)學(xué)信念水平的測(cè)評(píng)工具，但目前已開發(fā)的工具仍不夠全面，如具體針對(duì)高中生、初中生的數(shù)學(xué)信念水平測(cè)評(píng)工具有待進(jìn)一步開發(fā).而且，部分研究工具只是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)信念系統(tǒng)中的部分范疇進(jìn)行了考察.

5 學(xué)生數(shù)學(xué)信念的影響因素

對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)信念影響因素的研究非常有限，學(xué)界尚未對(duì)此引起高度重視.但也有學(xué)者零星地開展了一些頗具開創(chuàng)性的探索研究.如SA An等[59]以中國(guó)東南地區(qū)的35名小學(xué)六年級(jí)學(xué)生為被試，進(jìn)行了一項(xiàng)探索性研究，將流行音樂(lè)與統(tǒng)計(jì)課程進(jìn)行整合，發(fā)現(xiàn)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)信念有積極作用；Francisco[60]運(yùn)用現(xiàn)象學(xué)方法，通過(guò)對(duì)5名高中二年級(jí)學(xué)生(17-18歲)進(jìn)行縱向研究表明：某些課堂實(shí)踐活動(dòng)(如鼓勵(lì)學(xué)生合作完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)等)以及某些特定的數(shù)學(xué)教育經(jīng)驗(yàn)可以對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)信念產(chǎn)生積極影響.

有研究者把 80名五年級(jí)學(xué)生分為兩組：創(chuàng)新學(xué)習(xí)環(huán)境組和傳統(tǒng)學(xué)習(xí)環(huán)境組.在創(chuàng)新學(xué)習(xí)環(huán)境中，研究者從 3個(gè)方面改變課堂學(xué)習(xí)環(huán)境：改變學(xué)生和教師的角色；通過(guò)小組任務(wù)和討論以及全班討論促進(jìn)和鼓勵(lì)學(xué)生之間的社會(huì)認(rèn)知互動(dòng)；引入一系列的非常規(guī)問(wèn)題，如現(xiàn)實(shí)問(wèn)題和不可能解決的問(wèn)題、模糊問(wèn)題等.研究結(jié)果表明，該干預(yù)相對(duì)于傳統(tǒng)教學(xué)對(duì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)信念貢獻(xiàn)很大，創(chuàng)新學(xué)習(xí)環(huán)境組的學(xué)生比傳統(tǒng)學(xué)習(xí)環(huán)境組學(xué)生對(duì)在數(shù)學(xué)上付出的努力更多[9].

此外，有學(xué)者在比較教師數(shù)學(xué)信念與學(xué)生數(shù)學(xué)信念的差異[61]及研究教師數(shù)學(xué)信念與學(xué)生數(shù)學(xué)信念的關(guān)系[62]時(shí)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)信念與教師的數(shù)學(xué)信念存在相互影響，并且具有一定的相關(guān)性；在研究數(shù)學(xué)信念的男女差異時(shí)，發(fā)現(xiàn)生理因素、環(huán)境因素均對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)信念有一定程度上的影響，并且環(huán)境因素的影響要大于生理因素[63-64].

國(guó)內(nèi)學(xué)者張曉貴指出，學(xué)生的數(shù)學(xué)教學(xué)信念是長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)課堂社會(huì)實(shí)踐中產(chǎn)生和發(fā)展的，它和數(shù)學(xué)課堂的社會(huì)活動(dòng)之間構(gòu)成一種辨證關(guān)系[65].顯然，這與上述研究結(jié)果是一致的.事實(shí)上，這也是Schoenfeld提出數(shù)學(xué)信念及其系統(tǒng)的初衷.

通過(guò)對(duì)已有研究進(jìn)行分析，可以發(fā)現(xiàn)：學(xué)生個(gè)體的內(nèi)部因素與社會(huì)環(huán)境的外部因素均對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)信念有影響作用，但外部因素的影響要大于內(nèi)部因素.在這些外部因素中，學(xué)生接觸最多的是家庭、學(xué)校、教師等因素.教師作為課堂環(huán)境中的核心要素，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)信念的影響最為顯著.

6 評(píng)述

當(dāng)前我國(guó)基礎(chǔ)教育領(lǐng)域深化改革，對(duì)學(xué)科教學(xué)提出了新的要求.數(shù)學(xué)作為發(fā)展學(xué)生思維能力的關(guān)鍵學(xué)科，肩負(fù)在相應(yīng)學(xué)段發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重大使命.數(shù)學(xué)信念對(duì)人的思維方式和行為方式均有著深遠(yuǎn)的影響，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)信念水平，無(wú)疑是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一大助力.目前為止，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)信念的研究已取得了一定的成果，今后的研究需要關(guān)注以下幾方面問(wèn)題：

研究工具方面，西方學(xué)者開發(fā)了一些較為成熟的數(shù)學(xué)信念量表，但由于編制時(shí)間較早，加之許多題目不具我國(guó)本土特色，時(shí)代性與地域性的差異使其信效度大打折扣.目前國(guó)內(nèi)已有一些測(cè)量學(xué)生數(shù)學(xué)信念的工具，但仍存在諸如局限于對(duì)某一類數(shù)學(xué)信念的測(cè)評(píng)、學(xué)段針對(duì)性不強(qiáng)、編制過(guò)程不夠完善、信效度有待提升等不足.開發(fā)符合心理學(xué)測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)，并且具有我國(guó)本土特色的學(xué)生數(shù)學(xué)信念研究工具，是未來(lái)全面、深入開展學(xué)生數(shù)學(xué)信念研究的前提.

研究對(duì)象方面，國(guó)外對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)信念的探討起始于對(duì)大學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題解決與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的研究，聚焦高中生、初中生數(shù)學(xué)信念的研究仍在少數(shù).國(guó)內(nèi)對(duì)中學(xué)生數(shù)學(xué)信念的研究已較為可觀，但具體針對(duì)高中生、初中生的研究仍較為欠缺.信念受已有教育經(jīng)驗(yàn)的影響，一般而言，處于不同學(xué)段的學(xué)生，其數(shù)學(xué)信念水平會(huì)有較為明顯的差異.對(duì)基礎(chǔ)教育不同階段學(xué)生的數(shù)學(xué)信念進(jìn)行深入研究，是當(dāng)前該領(lǐng)域亟需解決的問(wèn)題.

研究?jī)?nèi)容方面，第一，已有研究多集中于數(shù)學(xué)信念與數(shù)學(xué)成績(jī)之間的關(guān)系、學(xué)生數(shù)學(xué)信念水平的調(diào)查、學(xué)生數(shù)學(xué)信念系統(tǒng)對(duì)問(wèn)題解決和數(shù)學(xué)成就的影響等方面.有關(guān)學(xué)生數(shù)學(xué)信念影響因素的研究仍處于探索階段，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)信念影響因素的系統(tǒng)研究尚未展開.對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)信念的影響因素進(jìn)行更為全面和深入的研究，無(wú)疑對(duì)在教學(xué)中有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)信念水平有著巨大的幫助.第二，國(guó)內(nèi)外目前均尚未有分別考察數(shù)學(xué)信念的認(rèn)知、情感兩個(gè)層面的研究.就重要性而言，數(shù)學(xué)情感信念不容忽視.而信念系統(tǒng)的準(zhǔn)邏輯性、心理中心性、簇聚結(jié)構(gòu)三大特征表明，學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知信念、數(shù)學(xué)情感信念可能存在矛盾.因此，分別考察認(rèn)知、情感兩個(gè)層面的數(shù)學(xué)信念，必然是未來(lái)研究的趨勢(shì).