齊歡，秦品瑞，趙振華，丁冠濤

(山東省地礦工程勘察院，山東 濟(jì)南 250014)

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模型嵌套技術(shù)在濟(jì)南趵突泉泉域數(shù)值模型中的應(yīng)用

齊歡，秦品瑞，趙振華，丁冠濤

(山東省地礦工程勘察院，山東 濟(jì)南 250014)

在地下水?dāng)?shù)值模型中，經(jīng)常需要對(duì)某一重點(diǎn)區(qū)進(jìn)行詳細(xì)刻畫(huà)，模型嵌套技術(shù)僅需對(duì)原有模型進(jìn)行較小的修改，并不需要重新進(jìn)行網(wǎng)格剖分，就可以達(dá)到網(wǎng)格加密的目的。該文在系統(tǒng)分析濟(jì)南趵突泉泉域水文地質(zhì)條件的基礎(chǔ)上，采用地下水?dāng)?shù)值模擬軟件GMS10.0，建立了覆蓋趵突泉泉域的地下水流數(shù)值模型，利用更加靈活、高效的共享節(jié)點(diǎn)的嵌套技術(shù)，對(duì)濟(jì)南西郊重點(diǎn)區(qū)域進(jìn)行加密，并與未加密、全局加密的模擬結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果表明：LGR在提高加密區(qū)和非加密區(qū)模擬精度的同時(shí)，大大縮減了模型的運(yùn)行時(shí)間，并減小了磁盤(pán)空間的占用。隨著濟(jì)南市地表水轉(zhuǎn)化地下水工程的建設(shè)，LGR可以應(yīng)用于對(duì)斷裂、補(bǔ)源河流、回灌井等的精確刻畫(huà)，更好的為社會(huì)、工程服務(wù)。

模型嵌套(LGR)；GMS；數(shù)值模型；趵突泉；濟(jì)南市

0 引言

在地下水?dāng)?shù)值模型中，經(jīng)常需要對(duì)某一重點(diǎn)區(qū)進(jìn)行加密，來(lái)精確的刻畫(huà)該區(qū)域的水頭變化，污染運(yùn)移等情況。通常需要精確刻畫(huà)的區(qū)域有：短距離內(nèi)水力梯度突變的區(qū)域，如抽水井、注水井、河流、溝渠和集中強(qiáng)度的面狀補(bǔ)給處等；污染源附近污染羽的運(yùn)動(dòng)模擬；突變性地層的細(xì)化：如斷層、斷裂造成的巖性位移、夾層、透鏡體、尖滅等[1-2]。

國(guó)內(nèi)外很多專(zhuān)家學(xué)者對(duì)加密技術(shù)進(jìn)行了研究。1999年，孫雪梅提出了基于有限元計(jì)算的局部網(wǎng)格加密的理論，編制出了非常適合在大型有限元程序設(shè)計(jì)中應(yīng)用的計(jì)算機(jī)軟件[3]。2005年，Steffen Mehl和Mary C.Hill開(kāi)發(fā)出了采用迭代耦合的共享節(jié)點(diǎn)的局部網(wǎng)格加密技術(shù)，分析該技術(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)并對(duì)其加密的理論進(jìn)行了詳細(xì)論述[1]。2007年，針對(duì)無(wú)法一步到位地確定剖分方案來(lái)準(zhǔn)確分析混凝土裂縫的問(wèn)題，韋未提出一種基于有限元的局部網(wǎng)格加密技術(shù)，該方法可以較大程度的減少網(wǎng)格尺寸對(duì)模擬精度的影響，并能大大減少運(yùn)行時(shí)間[4]。2012年，Vilhelmsen Troels N和Christensen Steen對(duì)比了常用加密技術(shù)的加密原理，并分析了各自的優(yōu)缺點(diǎn)[5-9]。2013年，楊楊對(duì)共享節(jié)點(diǎn)的局部網(wǎng)格技術(shù)進(jìn)行理論分析和源程序的修改，使得該技術(shù)可以對(duì)任意形狀的不規(guī)則區(qū)域進(jìn)行局部網(wǎng)格加密[10]。

該文在系統(tǒng)分析和對(duì)比幾種常用加密技術(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)的基礎(chǔ)上，采用GMS10.0軟件，建立了2012—2014年覆蓋趵突泉泉域的地下水流數(shù)值模型，并采用更加靈活、高效的共享節(jié)點(diǎn)的模型嵌套技術(shù)(LGR)，對(duì)濟(jì)南西郊進(jìn)行模型嵌套處理，對(duì)粗網(wǎng)格、全局加密、模型嵌套3種網(wǎng)格剖分的模型運(yùn)行結(jié)果進(jìn)行了分析對(duì)比。

1 模型嵌套技術(shù)簡(jiǎn)介

網(wǎng)格加密泛指能對(duì)已有的網(wǎng)格尺寸進(jìn)行更細(xì)的剖分，從而達(dá)到更高模擬精度的過(guò)程。主要方法有全局網(wǎng)格加密和重建網(wǎng)格剖分重點(diǎn)區(qū)模型兩種。全局網(wǎng)格加密就是重新對(duì)整個(gè)模型區(qū)域進(jìn)行更細(xì)的網(wǎng)格剖分。該方法簡(jiǎn)單、有效，但是當(dāng)模型相對(duì)復(fù)雜、點(diǎn)較多時(shí)，全局加密工作量較大，不僅延長(zhǎng)了模型的運(yùn)行時(shí)間，在非重點(diǎn)區(qū)可能出現(xiàn)某些網(wǎng)格的疏干或者溢出等問(wèn)題，從而影響到整個(gè)模型的運(yùn)行。如果邊界情況相對(duì)簡(jiǎn)單，直接進(jìn)行加密，模擬精度較高。但在實(shí)際應(yīng)用中，地下水?dāng)?shù)值模型復(fù)雜，對(duì)邊界重新進(jìn)行確定、識(shí)別和驗(yàn)證較困難。

模型嵌套技術(shù)僅需對(duì)原有模型進(jìn)行較小的修改，不需要重新進(jìn)行網(wǎng)格剖分。因此只會(huì)在有限的區(qū)域內(nèi)增加計(jì)算模型的單元節(jié)點(diǎn)數(shù)，不僅提高了加密區(qū)的模擬精度，而且減輕了對(duì)計(jì)算機(jī)內(nèi)存和儲(chǔ)存磁盤(pán)空間的依賴(lài)，縮短了模型運(yùn)行時(shí)間[3]。一般來(lái)說(shuō)，局部加密對(duì)自身的邊界沒(méi)有太多的限制，它可以利用周?chē)姆羌用軈^(qū)為加密區(qū)提供邊界條件，和重新建立模型來(lái)直接加密相比實(shí)用性更強(qiáng)，有時(shí)甚至能夠更好的反映加密區(qū)的實(shí)際情況。

在地下水?dāng)?shù)值模擬中，目前技術(shù)比較成熟，應(yīng)用較廣的加密方式主要有可變網(wǎng)格加密和伸縮式網(wǎng)格加密[6-8]。

1.1 可變網(wǎng)格加密

通過(guò)使用可變間距的有限差分網(wǎng)格，使需要加密區(qū)域的網(wǎng)格間距縮小，越遠(yuǎn)離加密區(qū)，網(wǎng)格間距越大(圖1)。和全局加密相比，縮短了運(yùn)行時(shí)間，但要求加密區(qū)每個(gè)方向的網(wǎng)格線(xiàn)都要延伸到母模型的邊界，導(dǎo)致加密區(qū)的外圍也被加密。不僅引入了額外的節(jié)點(diǎn)，導(dǎo)致更長(zhǎng)的運(yùn)行時(shí)間，而且新生成的存在較大縱橫比的網(wǎng)格也會(huì)導(dǎo)致數(shù)值上的誤差。

圖1 可變網(wǎng)格加密(黑色框內(nèi)區(qū)域?yàn)榧用軈^(qū)，黑色框外區(qū)域?yàn)榉羌用軈^(qū))

1.2 伸縮式網(wǎng)格加密

首先對(duì)非加密進(jìn)行模擬，然后將非加密的模擬水位或者流量作為加密區(qū)的邊界條件，對(duì)加密區(qū)進(jìn)行模擬(圖2)。這種方法簡(jiǎn)單、靈活、而且比較容易實(shí)現(xiàn)，但也存在較大的局限性。由于僅存在粗網(wǎng)格到加密區(qū)單方向信息交流，缺少?gòu)募用軈^(qū)到粗網(wǎng)格的信息反饋，所以模型運(yùn)行后，在共享邊界處會(huì)產(chǎn)生顯著的水頭或者流量誤差。這種誤差會(huì)沿著共享邊界逐漸向加密區(qū)的內(nèi)部傳遞，從而影響加密區(qū)的精度，而且誤差傳播的范圍也是未知和多變的。LGR(The shared node Local Grid Refinement)也稱(chēng)通過(guò)迭代耦合共享節(jié)點(diǎn)的局部網(wǎng)格加密，該文中特指Steffen W. Mehl和Mary C. Hill以傳統(tǒng)的伸縮式網(wǎng)格加密技術(shù)為基礎(chǔ)，開(kāi)發(fā)出的基于MODFLOW的程序包[1]。

圖2 伸縮式網(wǎng)格加密(黑色框內(nèi)區(qū)域?yàn)榧用軈^(qū)，黑色框外區(qū)域?yàn)榉羌用軈^(qū))

LGR將模型分為子模型(加密區(qū))和母模型(非加密區(qū))，對(duì)母模型進(jìn)行全區(qū)域求解，得到子模型邊界的水位(圖3)。采用cage-shell插值法對(duì)共享邊界進(jìn)行插值，得到子模型的定水頭邊界。對(duì)子模型進(jìn)行模擬，確定并計(jì)算邊界流量并反饋給母模型。當(dāng)各個(gè)子模型同時(shí)滿(mǎn)足收斂標(biāo)準(zhǔn)時(shí)(迭代次數(shù)大于LGR控制文件設(shè)置的迭代最大值，或者水頭變化小于收斂標(biāo)準(zhǔn)，或者流量變化小于收斂標(biāo)準(zhǔn)時(shí))，開(kāi)始下一個(gè)應(yīng)力期的模擬[1]。

圖3 LGR加密示意圖

由于LGR加密方法需要母模型提供給子模型水頭邊界，而母模型單元格的水頭值取決于該單元格中心節(jié)點(diǎn)處的水頭，為了將該節(jié)點(diǎn)的母模型的水頭值傳遞給子模型，就需要子模型共享邊界處的單元格的節(jié)點(diǎn)與母模型共享邊界處的單元格的節(jié)點(diǎn)在該處重合，這也就是“共享節(jié)點(diǎn)”名稱(chēng)的由來(lái)。這就決定了對(duì)母模型的加密比只能是1∶1，3∶1，5∶1這樣的奇數(shù)，同時(shí)也決定了在水平方向上橫向和縱向的加密比必須相同。在垂直方向加密時(shí)，對(duì)于母模型的不同層，加密比卻可以不相同。

2 模型建立

2.1 水文地質(zhì)概念模型

地下水流場(chǎng)模擬范圍的確定，應(yīng)該以研究區(qū)水文地質(zhì)條件為依據(jù)，同時(shí)還應(yīng)充分考慮地下水系統(tǒng)的完整性和獨(dú)立性。該次工作的范圍為：東至東塢斷裂；西至馬山斷裂；北側(cè)以一系列近EW向隔水?dāng)嗔押蛫W陶系灰?guī)r頂板埋深600m一線(xiàn)為界；南至泰山巖群變質(zhì)巖[11-13]，面積1315km2(圖4)。

圖4 地下水流場(chǎng)模擬范圍

研究區(qū)含水系統(tǒng)主要包括第四系孔隙含水層和裂隙巖溶含水層。在該次模型中，將研究區(qū)分為3層，概化為非均質(zhì)各向異性的承壓三維非穩(wěn)定流[14-17]。

第一層為潛水含水層，該目的層主要為第四系全新統(tǒng)及上更新統(tǒng)地層，含水層巖性為中粗砂、砂礫石層，概化為二維流；第二層為越流層，為潛水含水層底板以下的粘土層，石炭、二疊系等弱透水層，只考慮垂向一維流；第三層為承壓水含水層，該目的層是寒武系和奧陶系地層，根據(jù)鉆孔資料，灰?guī)r埋藏深度，確定模型研究深度為600m左右。

2.2 地下水流數(shù)值模型

對(duì)于上述非均質(zhì)各向同性、空間三維結(jié)構(gòu)、非穩(wěn)定地下水流系統(tǒng)，可用如下方程的定解問(wèn)題來(lái)描述：

式中：Kx，Ky，Kz為x，y，z方向滲透系數(shù)(m/d)；h—水位標(biāo)高(m)；W—含水層的源匯項(xiàng)(1/d)；S—含水介質(zhì)的貯水率(1/m)；h0—初始水位(m)；Γ2—二類(lèi)邊界；Kn—邊界面法線(xiàn)方向的滲透系數(shù)(m/d)；n—Γ2邊界的外法線(xiàn)方向；q(x,y,z,t)—二類(lèi)邊界上已知流量函數(shù)，流入為正，流出為負(fù)；隔水邊界為0(m/d)；Ω為滲流區(qū)域。

通過(guò)分析研究區(qū)的地質(zhì)條件和水文地質(zhì)條件，對(duì)各種源匯項(xiàng)資料進(jìn)行數(shù)據(jù)分類(lèi)整理，利用GMS 10軟件建立趵突泉泉域地下水?dāng)?shù)值模型。研究區(qū)剖分為400m×400m的網(wǎng)格，3層，125行，125列。

模擬期為2012年10月1日至2014年9月30日，其中2012年10月1日至2013年9月30日為模型的識(shí)別期，2013年10月1日至2014年9月30日為模型的驗(yàn)證期，以5天作為一個(gè)應(yīng)力期，每個(gè)應(yīng)力期內(nèi)包括若干時(shí)間步長(zhǎng)，時(shí)間步長(zhǎng)根據(jù)模擬計(jì)算量設(shè)定，嚴(yán)格控制每次迭代的誤差。

2.3 模型的識(shí)別和驗(yàn)證

以2012年10月1日流場(chǎng)作為模型的初始流場(chǎng)，模擬期間源匯項(xiàng)根據(jù)實(shí)際搜集的資料，按照GMS要求的格式進(jìn)行輸入，經(jīng)過(guò)參數(shù)的調(diào)整，得到趵突泉、黑虎泉以及濟(jì)南西郊的幾個(gè)典型承壓水觀測(cè)井的水位過(guò)程擬合線(xiàn)(圖5)?？梢钥闯?，該模型可以很好的反映趵突泉泉域的泉水以及西郊的地下水流場(chǎng)變化趨勢(shì)，模型與實(shí)際情況具有良好的吻合性，符合研究區(qū)水文地質(zhì)條件，所建模型合理可行[18-20]。

圖5 典型水位觀測(cè)孔擬合圖

3 模型嵌套的應(yīng)用

該次模型嵌套范圍選擇濟(jì)南市西郊，該區(qū)域地下水長(zhǎng)期觀測(cè)數(shù)據(jù)充足，研究程度高，便于對(duì)加密區(qū)內(nèi)、外的實(shí)施效果進(jìn)行評(píng)估，而且隨著濟(jì)南市“地表水轉(zhuǎn)換地下水工程”的實(shí)施，未來(lái)通過(guò)地下水流數(shù)值模型來(lái)評(píng)估補(bǔ)源工程對(duì)西郊水位的影響也顯得尤為重要。

通常認(rèn)為全局網(wǎng)格加密后各個(gè)節(jié)點(diǎn)的水位為“真值”，為了對(duì)比的需要，在原有粗網(wǎng)格剖分的基礎(chǔ)上，對(duì)模型進(jìn)行全局加密和局部加密，其中全局加密和局部加密的加密比為5∶1，局部網(wǎng)格加密范圍始于第1層、第41行、第9列，止于第3層、第52行、第20列(表1)。

表1 不同網(wǎng)格剖分對(duì)比

對(duì)于地下水流數(shù)值模型，400m×400m的網(wǎng)格剖分，很難精確地刻畫(huà)西郊附近的水位變化；而80m×80m的網(wǎng)格剖分，受計(jì)算機(jī)處理能力和GMS軟件自身的限制，390625個(gè)單元格的剖分很難實(shí)行，而后期的數(shù)據(jù)輸入和調(diào)參將更加困難。LGR網(wǎng)格單元數(shù)即為活動(dòng)單元格數(shù)，不會(huì)造成單元格的“浪費(fèi)”。加密區(qū)范圍如圖6所示，圖7～圖9為子模型、母模型以及整體運(yùn)行結(jié)果圖。

圖6 加密區(qū)范圍

圖7 子模型運(yùn)行結(jié)果

圖8 母模型運(yùn)行結(jié)果

圖9 整體運(yùn)行結(jié)果及長(zhǎng)觀孔位置圖

從圖7、圖8可以看出，LGR運(yùn)行時(shí)，子模型、母模型各自獨(dú)自運(yùn)行，兩者通過(guò)共享邊界進(jìn)行水位和流量的數(shù)據(jù)交換。圖9可以看出，子模型、母模型在共享邊界處的水位連續(xù)性較好。

通過(guò)加密區(qū)內(nèi)3個(gè)長(zhǎng)觀孔J65，J4，J3，非加密區(qū)3個(gè)長(zhǎng)觀孔CX59，DY1，KD1粗網(wǎng)格和局部加密各個(gè)應(yīng)力的水位與“真值”的對(duì)比，求取水位平均絕對(duì)誤差，對(duì)比情況如圖10、圖11所示?？梢钥闯?，同粗網(wǎng)格相比，采用LGR后，加密區(qū)內(nèi)、外的水位模型精度都得到了提高，但無(wú)法達(dá)到全局加密的精度。加密區(qū)內(nèi)J65，J4，J3的平均絕對(duì)誤差分別降低了20.77%，19.54%，15.79%；非加密區(qū)3個(gè)長(zhǎng)觀孔CX59，DY1，KD1的平均絕對(duì)誤差分別降低了14.95%，14.86%，14.72%。

圖10 加密區(qū)內(nèi)長(zhǎng)觀孔誤差對(duì)比

圖11 非加密區(qū)內(nèi)長(zhǎng)觀孔誤差對(duì)比

利用4核3.2GHz，RAM為8G的計(jì)算機(jī)分別運(yùn)行粗網(wǎng)格、全局加密、局部網(wǎng)格加密的模型，得出各自的運(yùn)行時(shí)間以及運(yùn)算前、后所占磁盤(pán)空間，對(duì)比結(jié)果如表2所示。可以看出：同粗網(wǎng)格相比，在運(yùn)行時(shí)間上，全局加密時(shí)間增加了30.02倍，而LGR僅增加了2.32倍；運(yùn)算前所占的磁盤(pán)空間，全局加密時(shí)間增加了5.18倍，而LGR僅增加了1.11倍；運(yùn)算后所占的磁盤(pán)空間，全局加密時(shí)間增加了21.98倍，而LGR僅增加了1.36倍。

表2 不同網(wǎng)格剖分運(yùn)行結(jié)果對(duì)比

全局加密時(shí)，單層的單元格數(shù)達(dá)到近40000個(gè)，受計(jì)算機(jī)運(yùn)算能力和GMS軟件自身的限制，已經(jīng)很難對(duì)網(wǎng)格的剖分、數(shù)據(jù)的輸入、文件的保存等進(jìn)行操作，在實(shí)際工作中也多次出現(xiàn)軟件的卡死、電腦重啟等現(xiàn)象。隨著模型模擬范圍的擴(kuò)大、層數(shù)的增加、網(wǎng)格尺寸的減小，這種情況將更加明顯；相比較而言，LGR僅需要較少的運(yùn)行時(shí)間、較低的磁盤(pán)空間占用就可以提高加密區(qū)和非加密區(qū)的模擬結(jié)果，并達(dá)到接近全局加密的精度。

4 結(jié)論

(1)在地下水?dāng)?shù)值模型中，經(jīng)常需要對(duì)某一重點(diǎn)區(qū)進(jìn)行更細(xì)的網(wǎng)格剖分，來(lái)精確的刻畫(huà)該區(qū)域的水頭變化，污染運(yùn)移等情況。全局網(wǎng)格加密工作量較大，不僅延長(zhǎng)了模型的運(yùn)行時(shí)間，更細(xì)的網(wǎng)格剖分可能出現(xiàn)某些網(wǎng)格的疏干或者溢出等問(wèn)題；對(duì)重點(diǎn)區(qū)進(jìn)行重新建模，需要重新對(duì)模型進(jìn)行識(shí)別驗(yàn)證較困難。模型嵌套技術(shù)僅需對(duì)原有模型進(jìn)行較小的修改，而并不需要重新進(jìn)行網(wǎng)格剖分，就可以達(dá)到網(wǎng)格加密的目的。

(2)LGR比伸縮式網(wǎng)格加密的模擬精度更高，同可變間距的網(wǎng)格加密相比計(jì)算方式更加靈活、效率更高。

(3)LGR提高了加密區(qū)、非加密區(qū)的水位模擬精度，加密區(qū)內(nèi)平均絕對(duì)誤差降低了約19%，非加密區(qū)平均絕對(duì)誤差降低了約14%。

(4)同全局加密相比，LGR運(yùn)行時(shí)間上縮短了92.27%，運(yùn)算前所占磁盤(pán)空間減少了78.63%，運(yùn)算后所占磁盤(pán)空間減少了93.80%。LGR在提高加密區(qū)和非加密區(qū)模擬精度的同時(shí)，可以大大縮減模型運(yùn)行時(shí)間和較小磁盤(pán)空間占用。

(5)由于LGR主要用于詳細(xì)刻畫(huà)短距離內(nèi)水力梯度突變區(qū)域和地層突變區(qū)域。濟(jì)南西郊加密區(qū)水力梯度較小，因此對(duì)于提高加密區(qū)的模擬精度上效果不太明顯；但其運(yùn)行時(shí)間短、磁盤(pán)空間占用低的特點(diǎn)卻得到很好的體現(xiàn)。趵突泉泉域巖溶發(fā)育，地質(zhì)構(gòu)造復(fù)雜，隨著濟(jì)南市地表水轉(zhuǎn)化地下水工程的建設(shè)，LGR可以應(yīng)用于對(duì)斷裂、補(bǔ)源河流、回灌井等的精確刻畫(huà)，更好的為社會(huì)、工程服務(wù)。

致謝：該項(xiàng)目得到濟(jì)南市市政公用事業(yè)局《海綿城市地下水補(bǔ)給水模型研究》課題、山東地礦重大科技攻關(guān)項(xiàng)目(2012-045)的經(jīng)費(fèi)資助，在此一并表示感謝。

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Application of Local Grid Refinement Technique in Numerical Model of Baotu Spring Area in Jinan City

QI Huan，QIN Pinrui，ZHAO Zhenhua， DING Guantao

(Shandong Geo-engineering Exploration Institute，Shandong Jinan 250014，China)

In the numerical model of groundwater, it is often necessary to refine areas of some important areast. The model nesting technique only needs to modify the original model with little modification, and does not need to re-meshing. Previous studies have tended to focus on the theory of cryptography, but lack of practical application in groundwater numerical simulation. Based on the analysis of hydrogeological conditions of the Baotu Spring area in Jinan city, a numerical model of groundwater flow is established by using the groundwater numerical simulation software GMS10.0. By using more flexible and efficient sharing nodes of local grid refinement (LGR) , the key areas of western Jinan city have been refined. Comparing with the results of refined and global refinement, it is showed that LGR improves the accuracy of water level simulation in the refined and unrefined areas. LGR reduced the average absolute error of simulated water level in refined and unrefined areas by 19% and 14%, respectively. Compared with the global refinement, the running time of LGR has been reduced by 92.27% before and after operation. The disk space is reduced by 78.63% and 93.80% respectively. LGR can greatly reduce the running time of the model and disk space occupancy, and improve the simulation precision of refinement area and unrefinement area. With the construction of projects of groundwater transformation into groundwater in Jinan city, LGR can be applied to portray the fault, artificial recharge river and recharge wells precisely and server for the community, engineering better.

Local grid refinement(LGR); GMS; numerical model; Baotu Spring; Jinan city

2016-11-28；

2017-01-05；編輯：曹麗麗 基金項(xiàng)目：山東地礦重大科技攻關(guān)項(xiàng)目2012-045，項(xiàng)目名稱(chēng)：濟(jì)南市市政公用事業(yè)局《海綿城市地下水補(bǔ)給水模型研究》課題 作者簡(jiǎn)介：齊歡(1986—)，男，河北邢臺(tái)人，助理工程師，主要從事水工環(huán)地質(zhì)工作；E-mail：943314446@qq.com

P208

B

齊歡，秦品瑞，趙振華，等.模型嵌套技術(shù)在濟(jì)南趵突泉泉域數(shù)值模型中的應(yīng)用[J].山東國(guó)土資源，2017,33(4)：52-58.QI Huan,QIN Pinrui，ZHAO Zhenhua，etc.Application of Local Grid Refinement Technique in Numerical Model of Baotu Spring Area in Jinan City[J].Shandong Land and Resources, 2017,33(4)：52-58.