“3的倍數(shù)的特征”的教材比較研究

朱軍

【摘 要】“3的倍數(shù)的特征”是一節(jié)探索發(fā)現(xiàn)類的課，學生在探索規(guī)律的過程中，發(fā)展思維，提升能力。本文研究了五個不同版本的教材，就這個知識點的學習年級的安排、學習材料的選擇以及與“2、5的倍數(shù)的特征”的聯(lián)系這幾個角度進行了對比分析。各版本教材的編者對學生學習“3的倍數(shù)的特征”有相似的理解，也有不同的處理。對教材的對比研究，可以使教師更好地理解教材，促進其教學行為的改進。

【關(guān)鍵詞】3的倍數(shù)的特征 教材對比

我國在2001年頒布了《數(shù)學課程標準》（實驗稿），經(jīng)過幾年的實踐下來，課標也進行了修訂，于2011年頒布了新的課標。在這兩個課標的指導下，各教材也進行了相應的調(diào)整?！?的倍數(shù)的特征”在某些教材中，前后是有一些變化的，主要表現(xiàn)為以下幾個方面：年級的安排、材料的選擇及細節(jié)處理、課后拓展的知識或問題的設置。下面筆者來談談具體的變化，以及為什么會有這些變化。

一、學生在哪個年級學習“3的倍數(shù)的特征”比較合適

在不同版本的教材中，對“3的倍數(shù)的特征”這一內(nèi)容的教學時間并不統(tǒng)一，分別安排在四下、五上、五下這三個學期。而兩個課標頒布以后，也有個別版本調(diào)整了學習的年級，具體見下表。

北師大版、青島版、人教版有微調(diào)，變化最大的是蘇教版，原來安排在四下，現(xiàn)在改為五下。多數(shù)教材把這個內(nèi)容安排在五年級學習，這是出于怎樣的考慮？

從知識內(nèi)在邏輯的角度來看，“3的倍數(shù)的特征”為“因數(shù)和倍數(shù)”單元的一個內(nèi)容，既是自然數(shù)知識的深化，又是接下來要學習的分數(shù)單元的重要基礎。

另一方面，從學習者的認知規(guī)律來看，這個內(nèi)容的重點是對一個數(shù)學規(guī)律的探索（北師大版里這個內(nèi)容的標題前加上了“探索活動”幾個字），需要學習者具有一定的數(shù)學學習水平及邏輯分析能力，五年級是學生發(fā)展抽象邏輯思維能力的起步階段，放在這個年級是合適的。

二、各版本教材為學生的探究活動提供了什么學習材料

從學習論的角度看教材，教材的本質(zhì)就是“學生學習的材料”。那么，就這節(jié)課而言，學生怎樣來探究呢？教材會給學生提供怎樣的“學材”，才能引導他們?nèi)グl(fā)現(xiàn)規(guī)律、發(fā)展思維？

我們可以看到，在各版本的教材中，有一個非常受青睞的學習材料——百數(shù)表。但是同樣的“百數(shù)表”，各個版本都是一樣的嗎？仔細研讀，發(fā)現(xiàn)編者們對學生探究能力的理解以及細節(jié)上的處理都有不同之處。

（一）利用數(shù)表，探究發(fā)現(xiàn)

北師大版、青島版、蘇教版的新舊教材中都有“百數(shù)表”的應用，人教版的新教材也加入了這一元素。具體如下。

1）在表中將3的倍數(shù)涂上紅色。

（2）橫著看，前10個3的倍數(shù)，個位分別是哪些數(shù)字？判斷一個數(shù)是不是3的倍數(shù)，只看個位行嗎？

（3）斜著看，你發(fā)現(xiàn)了什么？

人教版舊教材，根據(jù)問題，提供了小組展開討論的場景圖。在圖中，我們看到了3的乘法算式（貌似不需要百數(shù)表），看到了學生的猜測、反駁、驗證，這也可以視為學生如何開展研究、如何參與小組討論的一種示范。

人教版新教材，增加了百數(shù)表，而且有非常具體的操作要求：

（1）在表中將3的倍數(shù)涂上紅色。

（2）橫著看，前10個3的倍數(shù)，個位分別是哪些數(shù)字？判斷一個數(shù)是不是3的倍數(shù)，只看個位行嗎？

（3）斜著看，你發(fā)現(xiàn)了什么？

這是眾多版本中，關(guān)于“百數(shù)表”最具體的使用說明書。人教版面對廣大的學生群體，特別要關(guān)注到一些學習能力一般或偏弱的學生，這樣具體明確的要求，可以使這部分學生知道：我要做什么。很多時候課堂中的探究活動形同虛設，就是因為很多學生不知道自己該做什么。

在兩個版本中都看到了小蜜蜂的啟發(fā)。舊版：“把3的倍數(shù)的各位上的數(shù)相加，看看你有什么發(fā)現(xiàn)?！毙掳妫骸叭我庹?guī)讉€3的倍數(shù)，把各位上的數(shù)相加，看看你有什么發(fā)現(xiàn)。”舊版中的話，只是提供了線索，重在得出結(jié)論。而新版加了“任意找?guī)讉€3的倍數(shù)”，那是基于學生已有的初步發(fā)現(xiàn)，再找一些例子繼續(xù)驗證，是一種研究方法的指導。

總體來說，人教版新教材提供了百數(shù)表，用明確、具體的操作語言幫助學生探索規(guī)律，并啟發(fā)學生舉例驗證發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，與舊版相比，學生的探究活動更完善了。

（二）重視思辨，驗證結(jié)論

我們注意到，北師大的新舊版本中有一個共同點：規(guī)律是通過一個較權(quán)威的人說出來的。舊版中由一個戴博士帽的同學（現(xiàn)實班級中的智慧擔當）來啟發(fā)大家：“將每個數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字加起來試試看?！毙掳嬷袆t是白胡子老爺爺來宣布結(jié)論：“你知道嗎？這些數(shù)的各個數(shù)位上數(shù)字之和都是3的倍數(shù)。”小學生從百數(shù)表中去發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)的特征，并不像成人所想的那么容易。先提供百數(shù)表讓學生探究，但是如果學生發(fā)現(xiàn)不了，那就給予啟發(fā)，直接告知也沒有關(guān)系。重要的不是結(jié)論，而是驗證！在新版本中，小姑娘說：“是這樣嗎？我找?guī)讉€數(shù)看看……”這就是在驗證，是需要從小培養(yǎng)的品質(zhì)：即便權(quán)威人士講話，我也要心中存疑，自己試試看！而小男孩則是推廣到更大的數(shù)中去驗證，看三位數(shù)、四位數(shù)（甚至更大的數(shù)）是不是也有這樣的特征。

北師大版教材不看重這個特征是否學生自己發(fā)現(xiàn)的，而更重視學生的思辨（合理嗎）及驗證過程（是這樣嗎）的體驗。

（三）繼承傳統(tǒng)，操作感悟

盡管“百數(shù)表”深受各教材編者的青睞，但是我們也注意到，蘇教版、浙教版借助了傳統(tǒng)的學具，讓學生通過操作來感悟“3的倍數(shù)的特征”。

蘇教版把這個單元的學習從四年級調(diào)整到五年級，新、舊版本中都是用百數(shù)表的，但是，在新版中的百數(shù)表下面有這樣一句話：“從個位上看不出3的倍數(shù)的特征，該怎么辦？”（舊版中問的是：“個位是3，6，9的數(shù)是3的倍數(shù)嗎？”）也就是說，編者明白，僅靠觀察百數(shù)表里3的倍數(shù)，學生仍很難發(fā)現(xiàn)特征。于是，新舊版本中都用上了傳統(tǒng)的學具——計數(shù)器。

蘇教版的新版中在計數(shù)器的環(huán)節(jié)分為三個層次：（1）在計數(shù)器上分別表示出幾個3的倍數(shù)，看看各用了多少個珠子；（2）找?guī)讉€比較大的3的倍數(shù)，在計數(shù)器上表示出來，算一算，每個數(shù)所用的珠子的個數(shù)各是多少；（3）找一些不是3的倍數(shù)，看它各位上的數(shù)的和是不是3的倍數(shù)。前兩個層次的操作可以幫助學生初步發(fā)現(xiàn)：計數(shù)器上的3的倍數(shù)，其珠子的總個數(shù)也是3的倍數(shù)，就是各個數(shù)位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)。第三個層次是找反例，看看不是3的倍數(shù)，是否還有這個規(guī)律呢？蘇教版的這個研究過程比較完整。

浙教版是選用數(shù)字卡片來組成三位數(shù)，主要分這樣幾個層次：（1）用1、2、3組成三位數(shù)，發(fā)現(xiàn)所組成的6個三位數(shù)都可以被3整除。（2）把2換成4，發(fā)現(xiàn)用1、3、4所組成的6個三位數(shù)都不可以被3整除；（3）把2換成5，發(fā)現(xiàn)用1、3、5組成的三位數(shù)都能被3整除。學生會發(fā)現(xiàn)：能不能被3整除，與個位上是幾無關(guān)，與選了哪幾個數(shù)有關(guān)。能被3整除的數(shù)，所選的數(shù)字之和也能被3整除。

三、各版本教材如何處理“3的倍數(shù)的特征”與“2，5的倍數(shù)的特征”間的關(guān)系

“3的倍數(shù)的特征”與“2，5的倍數(shù)的特征”之間的關(guān)系比較特殊，一方面，它們都是研究某個數(shù)的倍數(shù)的特征，背后有著相同的原理；另一方面，這兩個知識的結(jié)論及規(guī)律發(fā)現(xiàn)的難易程度都不同。小學生通過觀察百數(shù)表，容易發(fā)現(xiàn)“2，5的倍數(shù)的特征”（英國的課標就把這個知識滲透到小學一、二年級）?！?的倍數(shù)的特征”就不能通過觀察個位上的數(shù)來判斷，而且學生還很容易受到負遷移。

那么，如何處理這兩個知識點的關(guān)系？有些版本的教材回避了聯(lián)系，獨立學習“3的倍數(shù)的特征”。而北師大版與青島版都比較重視這兩者的聯(lián)系。

（一）復習舊知識，引入新問題

北師大版特別重視復習引入，在新舊兩個版本中，都有所體現(xiàn)。

舊版中，“我們研究了2，5的倍數(shù)的特征，那么3的倍數(shù)有什么特征呢？”這是一般教師上課時會用的開場白，但學生會怎么回答？舊版教材中并沒有體現(xiàn)。

新版中，仍然沿用了原來的問題，但多了三句學生的對話。為什么要加這幾句話？這是經(jīng)過實踐后的結(jié)果，這幾句話反映了多數(shù)學生當時的真實表現(xiàn)。教材特別加了這幾句話，目的是希望教師在上課時能重視學生的猜測，他們會受到上節(jié)課的影響，以為判斷“3的倍數(shù)”也要看個位，個位上是3，6，9的數(shù)是3的倍數(shù)。但這是不是壞事呢？顯然，錯誤的猜測可以帶給學生思辨的機會，“所有個位上是3，6，9的數(shù)都是3的倍數(shù)嗎？”“個位上不是3，6，9的數(shù)會不會是3的倍數(shù)呢？”

這樣，“猜測”環(huán)節(jié)不應只是走過場，而是成為探究活動的預熱，因為猜測過程本身就是一個思辨的過程。

（二）兩個知識點，合成一節(jié)課

青島版教材把這兩個知識整合成一節(jié)課。在舊版中，在百數(shù)表中分別用三種顏色標出2，5，3的倍數(shù)進行觀察；在新版中，2，5的倍數(shù)的特征仍然用百數(shù)表研究，但3的倍數(shù)的特征卻用計數(shù)器來研究。我們可以想象，學生用三種顏色標出2，5，3的倍數(shù)，他們看到的是一張信息量過大的數(shù)表，規(guī)律顯得模糊，更不容易被發(fā)現(xiàn)。

新版教材中，對話比舊版多。由主題情境圖提出問題：“三人可以完成一組疊羅漢表演，疊羅漢表演可以選派多少人參加？”（順便說一下，由具體情境引入的只有青島版）

那用不用百數(shù)表呢？從對話中可以看出，學生可以用百數(shù)表研究，但能不能從中得出結(jié)論呢？不一定。更大的可能是學生發(fā)現(xiàn)：“個位上的數(shù)沒有什么規(guī)律?！?/p>

正因為從百數(shù)表中不一定能得出結(jié)論，所以新版教材才補充了計數(shù)器，將教師直接的啟發(fā)改為了任務布置：“找?guī)讉€3的倍數(shù)用計數(shù)器表示出來，看看各用了幾個珠子，你有什么發(fā)現(xiàn)？”讓學生關(guān)注“用了幾個珠子”，就是引向“各數(shù)位上的數(shù)之和”。

接下來就有兩個問題：

1.學生能不能關(guān)注到：“計數(shù)器上的3的倍數(shù)，所用的珠子的總個數(shù)也是3的倍數(shù)?！?/p>

2.學生能不能歸納出：“珠子總個數(shù)”就是“各個數(shù)位上數(shù)的和”。

如果學生在研究中順利地完成這兩個問題，那結(jié)論的得出就水到渠成了，即“各個數(shù)位的數(shù)字的和是3的倍數(shù)”。新版并沒有滿足于得出結(jié)論，反過來逆命題成立不成立呢？“各個數(shù)位的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)是不是3的倍數(shù)呢？”然后“再找一些3的倍數(shù)來驗證一下”。顯然，新版本展示了一個完整的探究過程。

2011年版《課標》與2001年《課標》最大的不同，是變“二基”為“四基”，補充了“基本數(shù)學思想”“基本數(shù)學活動經(jīng)驗”。探究的一般步驟：提問→猜想→舉例→結(jié)論→驗證，這就是一種“基本數(shù)學活動”，并且為今后的學習積累經(jīng)驗。從數(shù)學基本思想的角度來看，學生體驗了由特殊到一般的不完全歸納的過程，這是一種基本的、重要的思想方法。

四、教材比較對教學的啟示

我們從北師大版、青島版、人教版、蘇教版中看到，編者在修改教材時把探究活動放到了首位，但同時又尊重了學生的認知規(guī)律，沒有超越學生的能力。因此，我們在教學中也要注意以下幾點。

（一）充分展開探究活動

對“3的倍數(shù)的特征”一課教學中，學生對基本知識（各位數(shù)字的和是3的倍數(shù)）、基本技能（迅速判斷一個數(shù)是否3的倍數(shù)等）的掌握固然重要，但這節(jié)課的價值更在于基本數(shù)學思想、基本數(shù)學活動的體驗。課堂上學生大膽猜測，即便錯了也有價值，因為發(fā)現(xiàn)問題并能及時質(zhì)疑，可以促進學生思辨能力的提升；在過程中小心求證，每個學生都要在活動中有事可做，教材提供了“百數(shù)表”，學生在百數(shù)表中圈出3的倍數(shù)，有序觀察（橫著看、斜著看），在這個過程中也許有同學會發(fā)現(xiàn)規(guī)律。如果發(fā)現(xiàn)不了，也沒有關(guān)系，一種方式是教師直接提供暗示，讓學生通過例證，確認結(jié)論；另一種方式是教師提供學具，如計數(shù)器、數(shù)字卡片等，引導學生展開二次研究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。但教師要注意，不要讓學生滿足于此，還要他們再找些大數(shù)或反例來驗證，讓整個探究活動得以充分展開。

（二）尊重學生認知起點

教師尊重學生的認知起點，其實就是承認學生的認知差異。

其一，要充分認識到學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的困難性。盡管教材的編者想了很多辦法，但是不可否認的是，若沒有提前學習，學生真的不容易發(fā)現(xiàn)“3的倍數(shù)的特征”。教師一定要從這部分學生的實際水平出發(fā)，不可提出過高的要求，但又要促使這些學生經(jīng)歷整個探究過程，發(fā)展思維能力。

其二，要看到部分學生已經(jīng)知道特征的現(xiàn)實。

筆者對使用浙教版教材的學生做過一個小測試，被測學生為四下年級，正好學習了“2，5的倍數(shù)的特征”，馬上要學習“3的倍數(shù)的特征”。被測的60名學生，有25人知道3的倍數(shù)的特征，約占總?cè)藬?shù)的40%。

教師在設計教案時，如何使這兩部分學生在各自的基礎上都有所收獲，是需要進一步思考的問題。

參考文獻：

[1]折延東，周超，黃燦燦.論教材的本質(zhì)及其重建[J].課程·教材·教法，2016，（6）.

[2]曹一鳴.十三國數(shù)學課程標準評介（小學、初中卷）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

（浙江省杭州崇文實驗學校 310016）