蔡?hào)|漢,葛夫夫,陳忠斌

(1. 武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 ,湖北 武漢 430072) (2. 武漢大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,湖北 武漢 430072)

具有人口年齡結(jié)構(gòu)的 Solow-Swan 模型與仿真

蔡?hào)|漢1,葛夫夫1,陳忠斌2

(1. 武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 ,湖北 武漢 430072) (2. 武漢大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,湖北 武漢 430072)

本文中, 我們將人口年齡結(jié)構(gòu)引入經(jīng)典的 Solow-Swan 模型, 探討人口年齡結(jié)構(gòu)變動(dòng)對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的影響.利用比較定理證明當(dāng)人口趨于穩(wěn)定的人口結(jié)構(gòu)時(shí)刻劃模型的微分方程的解是漸近穩(wěn)定的.通過數(shù)值仿真,我們看到經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)在少年撫養(yǎng)下降時(shí)加速,在老年撫養(yǎng)上升時(shí)減緩.在人口轉(zhuǎn)變時(shí)期存在 “人口紅利”,人口老齡化導(dǎo)致的勞動(dòng)力人數(shù)占人口的比重下降會(huì)使經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)減緩甚至下降.

Solow-Swan 模型;微分不等式; 漸近穩(wěn)定性;人口年齡結(jié)構(gòu); 數(shù)值仿真

1引言

近年來,人口年齡結(jié)構(gòu)變動(dòng)對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的影響引起了人口學(xué)家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家的廣泛重視(見文獻(xiàn) [1–4]).Bloom 等人[5?7]作的經(jīng)驗(yàn)分析表明當(dāng)少年撫養(yǎng)比下降而老年撫養(yǎng)比上升之前存在 “人口紅利”.Wei 與 Hao[8]建立一個(gè)計(jì)量模型探討中國(guó)人口年齡結(jié)構(gòu)的變動(dòng)及對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的影響.Blanchard[9]構(gòu)造一個(gè)最優(yōu)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型研究人口年齡結(jié)構(gòu)對(duì)政府赤字的動(dòng)態(tài)影響.Hippolyte[10]給出一個(gè)連續(xù)世代交疊模型探討人口年齡結(jié)構(gòu)對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的影響. 然而, 在文獻(xiàn) [9] 和 [10] 中, 人口結(jié)構(gòu)年齡結(jié)構(gòu)是穩(wěn)定的, 即不隨時(shí)間而變動(dòng). 這與世界絕大多數(shù)國(guó)家的人口年齡結(jié)構(gòu)實(shí)際的變動(dòng)情況是不相符合的.

在經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的文獻(xiàn)中,人口增長(zhǎng)率通常簡(jiǎn)單地假設(shè)為一個(gè)常數(shù)或隨時(shí)間單調(diào)下降的函數(shù)[11?12]. 本文中, 我們將隨時(shí)間變動(dòng)的人口與勞動(dòng)力人數(shù)引入經(jīng)典的 Solow-Swan 模型, 探討人口年齡結(jié)構(gòu)變化導(dǎo)致的人口與勞動(dòng)力人數(shù)變化對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的影響.利用比較定理證明當(dāng)人口與勞動(dòng)力人數(shù)趨于穩(wěn)定時(shí),刻劃模型的微分方程的解是漸近穩(wěn)定的.通過數(shù)值仿真,我們看到經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)在少年撫養(yǎng)下降時(shí)加速,在老年撫養(yǎng)上升時(shí)減緩.在人口轉(zhuǎn)變時(shí)期存在 “人口紅利”,人口老齡化導(dǎo)致的勞動(dòng)力人數(shù)占人口的比重下降會(huì)使經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)減緩甚至下降.

2模型的建立

假定生產(chǎn)函數(shù)為 F(K(t),L(t)), 滿足新古典主義生產(chǎn)函數(shù)的條件, 其中 K(t),L(t) 為 t時(shí)刻的總資本和勞動(dòng)力人數(shù).設(shè)儲(chǔ)蓄率和資本折舊率分別為 s 和 δ,則有

其中 n(t)=PP˙((tt))為人口增長(zhǎng)率.

3比較定理與收斂性

假設(shè)1總?cè)丝诤瘮?shù) N(t) 滿足

假設(shè)2勞動(dòng)力人數(shù)占人口比重 λ(t) 滿足

定義 f(k)=F(k,c), 其中 c 為正常數(shù), 則由經(jīng)典的 Solow-Swan 模型的結(jié)論[11]有如下引理.

引理1微分方程存在惟一的正平衡點(diǎn) k?,其解收斂于 k?,其中 a1,b1為大于零小于 1 的常數(shù).

由假設(shè) 1 和假設(shè) 2,人口增長(zhǎng)率 n(t) 和勞動(dòng)力人口占人口的比重在 [0,∞) 上有界. 記

則由引理 1 和微分不等式[13]得

定理1[比較定理] 設(shè) k1(t),k2(t) 分別為微分方程

與

的解,k(t) 為微分方程 (2.2) 初值為 k0的解,k01≤ k0≤ k02, 則 k1(t) ≤ k(t) ≤ k2(t),t ≥ 0.

證記

則 G1(k,t) ≤ G(k,t) ≤ G2(k,t). 由微分不等式,定理成立.

定理2微分方程 (2.2) 的解 k(t) 是漸近穩(wěn)定的,且收斂于微分方程的非零平衡點(diǎn).

證對(duì)任意給定的 ∈＞ 0,存在 T,當(dāng) t≥ T 時(shí),

由定理 1,k1(T) ≤ k(T) ≤ k2(T). 設(shè) ?k(t) 微分方程 (2.2) 初值為 k(T) 的解,k∈1(t),k∈2(t) 分別為微分方程

初值 分 別為 k1(T),k2(T) 的 解,k∈1,k∈2分別 為 微分方 程 (3.4),(3.5) 的 正平衡 點(diǎn), 則 k∈1(t) ≤?k(t) ≤ k∈2(t),t ≥ 0,

4數(shù)值仿真

人口轉(zhuǎn)變時(shí)期總出生人口變化的顯著特征為由低出生人口轉(zhuǎn)變到高人口出生,然后下降的過程.當(dāng)高人口出生時(shí)期人口進(jìn)入生育期后會(huì)出現(xiàn)第二次人口生育高峰.因而通?？偝錾丝跀?shù)在呈現(xiàn)出兩次生育高峰后才進(jìn)入一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài). 為此,用分段函數(shù) B(t) 對(duì)人口出生過程進(jìn)行數(shù)值仿真 (表達(dá)式見附錄). 其圖形見圖 1.

為了反映人口存活率隨時(shí)間增長(zhǎng)的過程, 首先給出基準(zhǔn)的人口存活率 L(a)=l(60,a), 即t=60 時(shí)的人口存活率, 其中 a 為年齡.L(a) 的函數(shù)表達(dá)式也由分段光滑函數(shù)給出 (表達(dá)式見附錄),其圖形見圖 2.t 時(shí)刻的人口存活率設(shè)為 l(t,a)=L(a(1 ? h(t)),其中

圖3為不同時(shí)刻的人口存活率.

對(duì)于給定 t 時(shí)刻的總出生人口函數(shù) B(t) 與人口存活率函數(shù) l(t,a) 得出 t 時(shí)刻年齡為 a的人口數(shù)為 p(t,a)=B(t? a)l(t,a). 人口年齡結(jié)構(gòu)圖見圖 4.

對(duì)于上述指定不同時(shí)刻的存活率,人的最大壽命小于 ? =130. 因此 t 時(shí)刻的人口總數(shù)與勞動(dòng)力人數(shù)為

其中 T1=15 為成年年齡,T2=65 為退休年齡. 總?cè)丝谂c人口增長(zhǎng)率隨時(shí)間的變化見圖 5 與圖6.

勞動(dòng)人數(shù) L(t) 與勞動(dòng)人數(shù)占人口的比重 λ(t) 隨時(shí)間的變化見圖 7 與圖 8.記 Y P(t),O P(t) 分別為 t 時(shí)刻的少年人口數(shù)與老年人口數(shù),則

少年人口數(shù)與老年人口數(shù)隨時(shí)間的變化見圖 9 與圖 10.

少年撫養(yǎng)比與老年撫養(yǎng)比分別為

它們隨時(shí)間的變化見圖 11 與圖 12.

生產(chǎn)函數(shù)給定為 Cobb-Douglas 生產(chǎn)函數(shù) AKαL1?α. 經(jīng)濟(jì)的初始資本、儲(chǔ)蓄率、技術(shù)水平、資本份額和資本折舊分別設(shè)定為

則由 (2.1) 和 (2.2) 式分別得到資本與人均資本的隨時(shí)間的增長(zhǎng)過程 (見圖 13 與圖 14).

5結(jié)論

由定理 2,當(dāng)人口年齡結(jié)構(gòu)趨于穩(wěn)定,進(jìn)而人口增長(zhǎng)率與勞動(dòng)人數(shù)占人口比重趨于穩(wěn)定時(shí),經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)最終也趨于穩(wěn)定.而由數(shù)值仿真我們看到人口轉(zhuǎn)變時(shí)期的人口增長(zhǎng)率的變化與人口年齡結(jié)構(gòu)變動(dòng)導(dǎo)致的勞動(dòng)人數(shù)占人口比重的變化使得經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)出現(xiàn)波動(dòng).

比較圖 1、圖 4 與圖 5,我們看到, 隨著總出生人口數(shù)經(jīng)歷一次高峰及后續(xù)的次高峰后,人口總數(shù)的增長(zhǎng)達(dá)到一個(gè)高峰出現(xiàn)下降.圖6顯示的人口增長(zhǎng)率則由加速增長(zhǎng)轉(zhuǎn)變?yōu)榈退僭鲩L(zhǎng),最后出現(xiàn)下降. 但總?cè)丝诘南陆祫t較為緩慢. 這是人口存活率上升的結(jié)果 (見圖 3).

隨著高人口出生時(shí)期人口進(jìn)入勞動(dòng)年齡人口,勞動(dòng)年齡人數(shù)呈現(xiàn)快速上升的情況,但勞動(dòng)年齡人口的下降顯著地先于人口總數(shù)的下降,下降的幅度也大于總?cè)丝诘南陆?這是由于生存率上升導(dǎo)致的人口老齡化產(chǎn)生的結(jié)果.相應(yīng)地,高人口出生時(shí)期的人口進(jìn)入勞動(dòng)年齡人口,少年撫養(yǎng)比下降,勞動(dòng)力人數(shù)占總?cè)丝诒戎乜焖偕仙?經(jīng)濟(jì)出現(xiàn)了一個(gè) “人口紅利”時(shí)期.隨著高出生人口進(jìn)入老年,這一比重開始下降,最后漸近地趨于穩(wěn)定 (見圖 8).

對(duì)應(yīng)于人口出生高峰與跟隨其后的次高峰,少年人口數(shù)也出現(xiàn)高峰和次高峰,其后少年人口數(shù)下降并趨于一個(gè)穩(wěn)定的水平 (見圖 9). 少年撫養(yǎng)比呈現(xiàn)出類似的形態(tài) (見圖 11). 老年人口的迅速上升則是高出生時(shí)期的人口進(jìn)入老年時(shí)開始的，隨著人口存活率的上升,老年人口總數(shù)快速上升,最后穩(wěn)定在一個(gè)較高的水平 (見圖 10). 老年撫養(yǎng)比在經(jīng)歷了一短暫的下降后也呈現(xiàn)出類似的形態(tài) (見圖 12).

通過數(shù)值仿真我們看到,人口年齡結(jié)構(gòu)的變化與存活率的上升對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)有著本質(zhì)的影響.在經(jīng)典的 Solow-Swan 模型中, 人均資本隨著人口增長(zhǎng)率下降是上升的. 其原因在于模型中將經(jīng)濟(jì)中所有人口當(dāng)作勞動(dòng)力考慮的,沒有區(qū)分勞動(dòng)年齡人口及他們占總?cè)丝诘谋戎氐膯栴}.而將人口年齡結(jié)構(gòu)的變化及存活率上升導(dǎo)致勞動(dòng)年齡人口數(shù)和他們占總?cè)丝诘谋戎氐淖儎?dòng)引入經(jīng)典的 Solow-Swan 模型后, 情況則發(fā)生了本質(zhì)的改變. 在 “人口紅利” 時(shí)期, 總資本和人均資本都迅速上升,伴隨著總出生人口、勞動(dòng)年齡人口占總?cè)丝诒戎氐牟▌?dòng)變化,人均資本也出現(xiàn)波動(dòng)的變化,并在人口老齡化嚴(yán)重的時(shí)期出現(xiàn)下降 (見圖 14).

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[13]Hartman P.Ordinary diff erential equations[M].New York:John Wiley&Sons,1964.

附錄

函數(shù) B(t) 的表達(dá)式為

其中 t0= ?20,t1=46.8,t2=77.6,t3=101.7,t4=153.0,

函數(shù) L(a)=l(60,a) 的表達(dá)式為 L(a)=0,a ＜ 0,L(a)=Li(a),ai≤ a ＜ ai+1,i= 0,1,2,3,L(a)=0,t4≤ t ＜ +∞, 其中 a0=0.0,a1=50.0,a2=75.0,a3=90.0,a4=105.0,

THE SOLOW-SWAN MODEL WITH AGE STRUCTURE CHANGING AND SIMULATION

CAI Dong-han1,GE Fu-fu1,CHEN Zhong-bin2
(1.School of Mathematics and Statistics,Wuhan University,Wuhan 430072,China) (2.School of Economics and Management,Wuhan University,Wuhan 430072,China)

In this paper,the age structure is integrated into the classical Solow-Swan model to inquire the aff ection of demographic changes on the economic growth.It is proved that solution of the model is asymptotical stable when the age structure tends a steady state and the economic grows to a stable state after age structure change ended.By numerical simulation,we show that the economic growth is speeded up by the decline of the young dependency and slowed down by the increasing of old dependency.And there exists demographic dividend in the period of demographic transition.With population aging and the labor force population accounts for the proportion of the total population decreasing,the economic growth slows and even declines.

Solow-Swan model;diff erentialinequality;asymptoticalstability;age structure; numerical simulation

tion:91B62;34A40;34D05

4A40;34D05

O19

A

0255-7797(2017)02-0419-08

2014-12-12 接收日期:2015-04-07

國(guó)家自然科學(xué)基金資助 (71271158).

蔡?hào)|漢 (1960–), 男, 湖南東安,教授, 主要研究方向: 數(shù)理經(jīng)濟(jì).