郭今戈

(山西省太原市第五中學,山西 太原 030001)

·問題討論·

非等質量的多星系統(tǒng)及黑洞問題探討

郭今戈

(山西省太原市第五中學,山西 太原 030001)

穩(wěn)定狀態(tài)下的雙星及多星系統(tǒng)的天體運動角速度相同,呈直線型或多邊形分布,這是多星系統(tǒng)保持穩(wěn)定的必要條件,分析多星問題的關鍵在于受力分析,清晰分辨萬有引力半徑與圓周運動的向心力半徑.本文重點分析穩(wěn)定狀態(tài)下非等質量的多星及黑洞的運動問題．

穩(wěn)定狀態(tài)；非等質量；多星問題

1 非等質量的雙星系統(tǒng)

在銀河系中,雙星的數量非常多,研究雙星,對于了解恒星甚至銀河系的形成和演化過程的多樣性有重要的意義．雙星、多星天體之間的相互作用遵循萬有引力定律,運動分析中需使用牛頓第二定律建立方程組求解．

雙星系統(tǒng)中一個星體的萬有引力由另一個星體提供,雙星繞共同的質心運動.它們的向心加速度之比為它們質量的反比．需要關注的是:行星圍繞恒星做勻速圓周運動,或者衛(wèi)星繞行星做圓周運動時,萬有引力作用的距離,剛好是行星(或衛(wèi)星)圓周運動的軌道半徑．但是在雙星系統(tǒng)中的引力作用的距離與雙星運動的軌道半徑是不同的,雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運動時的角速度和周期是一定相同的．它們的線速度之比與其各自運行的軌道半徑之比相同．

圖1 穩(wěn)定狀態(tài)下非等質量雙星系統(tǒng)

例1.質量為m1、m2的兩個星球組成雙星,如圖1所示,它們在相互之間的萬有引力作用下繞兩星球連線上某點O做勻速圓周運動,試分析它們各自運動的周期、半徑、線速度、向心加速度．

雙星系統(tǒng)靠相互間的萬有引力提供向心力,角速度與周期相等,T1=T2.根據萬有引力公式有

則有

m1r1=m2r2,即r1∶r2=m2∶m1.

由v=rω,則

v1∶v2=r1∶r2=m2∶m1.

由a=rω2,則

a1∶a2=r1∶r2=m2∶m1.

解決本題的關鍵知道雙星靠相互間的萬有引力提供向心力,周期相等,角速度相等得出半徑之比、線速度之比、向心加速度之比．

例2.雙星系統(tǒng)由兩顆星體組成,兩星體在相互間萬有引力的作用下,分別圍繞其連線上的某一點做周期相同的勻速圓周運動．研究發(fā)現(xiàn),雙星系統(tǒng)演化過程中,兩星體的總質量、距離和周期均可能發(fā)生變化．若某雙星系統(tǒng)中兩星體做圓周運動的周期為T,經過一段時間演化后,兩星體總質量變?yōu)樵淼膋倍,兩星體之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍,則此時圓周運動的周期如何變化?

設該雙星系統(tǒng)的星體質量分別為m1、m2,軌道半徑為R1、R2,兩星體的總質量為M．由于他們之間距離恒定,因為雙星在空間的繞向一定相同,同時角速度和周期也都相同．由萬有引力提供向心力可知，對m1星體有

對m2星體有

由R1+R2=l,m1+m2=M,聯(lián)立解得

小結:穩(wěn)定狀態(tài)下非等質量的雙星系統(tǒng),其運動的質心是兩星體連線上的一點,可將雙星分割成兩個獨立的星體繞質心旋轉的問題．

2 非等質量三星系統(tǒng)

宇宙中存在一些離其他恒星較遠的,由質量相等的3顆星組成的三星系統(tǒng),忽略其他星體對他們的引力作用．已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本構成形式,如圖2所示．第一種是3顆星體在同一直線上,兩顆星體圍繞中央的星體在同一半徑為R的圓軌道上運行,周期相同,中央星體靜止不動;第二種是三顆星體位于三角形的三個頂點上,并沿等邊三角形的外接圓軌道運行,三顆星體運行周期相同．

圖2 規(guī)則三星系統(tǒng)

例3.由3顆星體構成的系統(tǒng),忽略其他星體對它們的作用,存在著一種運動形式:3顆星體在相互之間的萬有引力作用下,分別位于等邊三角形的3個頂點上,繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內做相同角速度的圓周運動,如圖3(a)所示．若A星體質量為2m,B、C兩星體質量均為m,三角形的邊長為a,試分析A星體所受合力FA,B星體所受合力FB,C星體的軌道半徑RC,3星體做圓周運動的周期T．

圖3 非等質量三星系統(tǒng)

由萬有引力定律,A星體所受B、C星體引力大小為

如圖3(b)所示,則合力大小為

同理,B星體所受A、C星體引力大小為

由圖可知,圓心O在中垂線AD的中點,由對稱性，有

3星體運動周期相同,對C星體:

3 通過雙星運動發(fā)現(xiàn)黑洞

黑洞是近代引力理論所預言的一種特殊天體,探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統(tǒng)的運動規(guī)律．天文學家觀測河外星系大麥哲倫云時,發(fā)現(xiàn)了LMC-3雙星系統(tǒng),它由可見星A和不可見的暗星B構成,兩星視為質點,不考慮其他天體的影響,A、B圍繞兩者連線上的O點做勻速圓周運動,他們之間的距離保持不變,圖示如雙星系統(tǒng),由觀測可得可見星A的速率v和運行周期T．

(1) 可見星A所受暗星B的引力FA可等效為位于O點處質量為m的星體對它的引力,設A和B的質量分別為m1、m2,試求m,用m1、m2表示．

設A、B的圓軌道半徑分別為r1、r2,由題意知A、B角速度相同,設為ω,則有

FA=m1ω2r1,FB=m2ω2r2,FA=FB.

A、B之間距離為r,又r=r1+r2,由上述各式得,

由萬有引力FA=Gm1m2/r2,可得

(2) 試求暗星B的質量m2與可見星A的速率v、運行周期T和質量m1之間的關系．

由牛頓第二定律,有

(1)

(3) 恒星演化到末期,如果其質量大于太陽質量ms的2倍,它將有可能成為黑洞,若可見星A的速率v=2.7×105m/s,運行周期T=4.7π×105s,質量m1=6ms,試估算暗星B有無可能是黑洞(G=6.67×10-11N·m2/kg2,ms=2.0×1030kg).

將m1=6ms,代入式(1)，得

設m2=nms(n>0)

(2)

若使式(2)成立,則n必大于2,即暗星B的質量m2必大于2ms,由此得出,暗星B有可能是黑洞．

4 總結

多星系統(tǒng)各星體運動周期相同,其位置具有對稱性,這是多星系統(tǒng)保持穩(wěn)定的必要條件,受力分析需注意星體之間引力與提供向心力做圓周運動的合力的區(qū)別,需特別關注萬有引力與向心力公式中r的區(qū)別,前者是星體距離,后者是星體運動半徑．黑洞問題借助雙星系統(tǒng)的概念,對不可見的暗星進行估算,從而判斷其是否為黑洞．

1 梁會琴，韓運俠.天體運動四種模型[J].物理教師，2016(1)：82-84.

2 孫鐵斌.天體運動中的“三星”問題[J].物理教師，2009(12)：56-57.

2016-09-18)