探索橢圓周長(zhǎng)和橢球表面積的近似初等公式

四川省西昌市第一中學(xué)(615000)

周園鈔●

探索橢圓周長(zhǎng)和橢球表面積的近似初等公式

四川省西昌市第一中學(xué)(615000)

周園鈔●

以信息技術(shù)、多媒體為手段，用初等數(shù)學(xué)方法探索橢圓周長(zhǎng)和橢球表面積的近似初等公式.

函數(shù);極限;橢圓周長(zhǎng);橢球表面積.

橢圓周長(zhǎng)和橢球表面積的計(jì)算，由于其積分式的原函數(shù)不是初等函數(shù)，因而在中學(xué)數(shù)學(xué)中成了一塊盲區(qū).

本文以信息技術(shù)、多媒體為手段，應(yīng)用初等數(shù)學(xué)的研究方法，推導(dǎo)、檢驗(yàn)和應(yīng)用橢圓周長(zhǎng)和橢球表面積的近似初等公式.

一、橢圓周長(zhǎng)近似初等公式的推導(dǎo)

根據(jù)微積分基本定理，通過(guò)定積分運(yùn)算得到橢圓面積公式：S橢圓=π·ab……(1)

在(2)式中，我們?cè)O(shè)：

三、橢球表面積初等公式的類(lèi)推

橢球的體積可以由定積分求出，其公式為：

式中a,b,c分別為橢球的三個(gè)半軸長(zhǎng).

于是，用待定系數(shù)法，可設(shè)橢球表面積為(x，y為待定系數(shù))：

又，當(dāng)a,b,c三者趨近相等時(shí)，橢球表面積為一個(gè)球的表面積，即4πa2.

令a=b=c=1

得：S=4π，

故4π=6π(9+3x)/(9+3y).

解得：y=(3x+3)/2.

這個(gè)對(duì)稱、美麗的橢球表面積初等公式，與橢圓周長(zhǎng)一樣簡(jiǎn)便好記：a,b,c齊次對(duì)稱，且當(dāng)a,b,c之一，例如c→0時(shí)，橢球表面積S→2πab；當(dāng)c→b→a時(shí)，S→4πa2.為驗(yàn)證其精度，現(xiàn)用旋轉(zhuǎn)橢球體的表面積的精確值加以對(duì)比：

表1 旋轉(zhuǎn)橢球表面積分布表

表1雖然是用旋轉(zhuǎn)橢球的表面積驗(yàn)證公式(5)，但由于公式(5)關(guān)于三半軸長(zhǎng)完全對(duì)稱，由排序不等式和橢球表面積的有關(guān)知識(shí)可知，任意三軸橢球表面積的誤差低于表中相應(yīng)位置的誤差.

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