Parzen 窗估計(jì)在潛艇目標(biāo)強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)建模的應(yīng)用

孫乃葳，李建辰，萬(wàn)亞民

(1. 中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司第七O五研究所，陜西 西安 710075；2. 水下信息與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710075)

摘 要: 研究潛艇目標(biāo)強(qiáng)度的統(tǒng)計(jì)特性對(duì)水中兵器的仿真和試驗(yàn)分析具有重要意義。本文針對(duì)直方圖統(tǒng)計(jì)模型的精度受區(qū)間劃分影響較大，提出將 Parzen 窗估計(jì)方法用于潛艇目標(biāo)強(qiáng)度的統(tǒng)計(jì)建模，建立潛艇典型舷角下的目標(biāo)強(qiáng)度分布模型，并對(duì)統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行分析。對(duì) Benchmark 潛艇模型進(jìn)行仿真計(jì)算，結(jié)果表明，采用 Parzen 窗估計(jì)法建立的潛艇目標(biāo)強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)模型符合潛艇的物理結(jié)構(gòu)特性，能夠更加準(zhǔn)確和有效地對(duì)潛艇目標(biāo)強(qiáng)度的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行預(yù)報(bào)。

Parzen 窗估計(jì)在潛艇目標(biāo)強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)建模的應(yīng)用

孫乃葳1,2，李建辰1，萬(wàn)亞民1

(1. 中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司第七O五研究所，陜西 西安 710075；2. 水下信息與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710075)

摘 要: 研究潛艇目標(biāo)強(qiáng)度的統(tǒng)計(jì)特性對(duì)水中兵器的仿真和試驗(yàn)分析具有重要意義。本文針對(duì)直方圖統(tǒng)計(jì)模型的精度受區(qū)間劃分影響較大，提出將 Parzen 窗估計(jì)方法用于潛艇目標(biāo)強(qiáng)度的統(tǒng)計(jì)建模，建立潛艇典型舷角下的目標(biāo)強(qiáng)度分布模型，并對(duì)統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行分析。對(duì) Benchmark 潛艇模型進(jìn)行仿真計(jì)算，結(jié)果表明，采用 Parzen 窗估計(jì)法建立的潛艇目標(biāo)強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)模型符合潛艇的物理結(jié)構(gòu)特性，能夠更加準(zhǔn)確和有效地對(duì)潛艇目標(biāo)強(qiáng)度的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行預(yù)報(bào)。

目標(biāo)強(qiáng)度；統(tǒng)計(jì)特性；直方圖；Parzen 窗估計(jì)

0 引 言

潛艇目標(biāo)強(qiáng)度（TS）是水中兵器探測(cè)和目標(biāo)隱身技術(shù)中的一個(gè)基本指標(biāo)，反映了目標(biāo)對(duì)聲波散射的總體情況[1]。由于潛艇目標(biāo)的外形較復(fù)雜，在水中兵器跟蹤并攻擊潛艇過(guò)程中，受潛艇姿態(tài)變化等因素的影響，其散射特性呈現(xiàn)出隨機(jī)不規(guī)律的起伏，計(jì)算目標(biāo)強(qiáng)度很難用嚴(yán)格的和復(fù)雜的公式來(lái)確切表達(dá)[2]。通常的實(shí)驗(yàn)測(cè)量及理論計(jì)算，僅給出了目標(biāo)強(qiáng)度的一個(gè)確定值，無(wú)法描述目標(biāo)強(qiáng)度的隨機(jī)性和起伏性。這樣的模型在實(shí)際工程應(yīng)用和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析過(guò)程中，不僅不能反映目標(biāo)強(qiáng)度的實(shí)際隨機(jī)情況，而且存在較大的誤差。因此，研究目標(biāo)強(qiáng)度的統(tǒng)計(jì)特性對(duì)潛艇目標(biāo)強(qiáng)度的預(yù)報(bào)更具有實(shí)際意義。

近年來(lái)，上海交通大學(xué)范軍教授團(tuán)隊(duì)針對(duì)目標(biāo)強(qiáng)度測(cè)量結(jié)果是隨方位角變化而快速起伏的隨機(jī)變量，也就是目標(biāo)強(qiáng)度對(duì)方位角非常敏感的情況，將雷達(dá)散射面積（RCS）的概念延伸到水聲領(lǐng)域，提出了聲吶散射面積（SCS）的概念，借鑒雷達(dá)散射截面統(tǒng)計(jì)模型建立面向任意目標(biāo)的聲吶散射截面起伏統(tǒng)計(jì)模型[3]。是國(guó)內(nèi)首次在水聲領(lǐng)域?qū)δ繕?biāo)強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)模型開(kāi)展的研究，彌補(bǔ)了以往目標(biāo)強(qiáng)度預(yù)報(bào)模型是確定性模型的不足，預(yù)報(bào)結(jié)果在一定程度上反映了目標(biāo)強(qiáng)度的隨機(jī)性和起伏性，提高了模型在實(shí)際工程應(yīng)用和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析中的準(zhǔn)確性。

本文采用板塊元法對(duì)潛艇目標(biāo)強(qiáng)度進(jìn)行快速預(yù)報(bào)，將潛艇目標(biāo)強(qiáng)度等效成潛艇表面若干面元散射強(qiáng)度的疊加，進(jìn)而獲得各個(gè)采樣角度下的潛艇目標(biāo)強(qiáng)度，將得到的目標(biāo)強(qiáng)度值作為統(tǒng)計(jì)建模的樣本。針對(duì)直方圖統(tǒng)計(jì)模型精度的受區(qū)間劃分和樣本數(shù)量影響較大的問(wèn)題，本文采用 Parzen 窗估計(jì)法建立基于樣本值的統(tǒng)計(jì)模型，獲得了典型舷角下的目標(biāo)強(qiáng)度分布估計(jì)曲線，并對(duì)潛艇目標(biāo)強(qiáng)度的統(tǒng)計(jì)分布特性進(jìn)行分析，仿真結(jié)果表明，采用 Parzen 窗估計(jì)法建立的潛艇目標(biāo)強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)模型比直方圖模型更加準(zhǔn)確和有效。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 目標(biāo)強(qiáng)度板塊元計(jì)算

采用板塊元法計(jì)算目標(biāo)強(qiáng)度時(shí)，將目標(biāo)表面劃分為 G × H 個(gè)網(wǎng)格，得到一系列面元 Si,j，其中 i = 1，2，…，G，j = 1，2，…，H。將空間中的面元 Si,j轉(zhuǎn)化到 XOY 平面，則面元法線與 Z 軸重合，面元 Si,j的目標(biāo)強(qiáng)度面積為 ISi,j。對(duì)所有面元的散射聲場(chǎng)求和得到目標(biāo)散射聲場(chǎng)的近似值[4]。

用 UG 對(duì)潛艇目標(biāo)進(jìn)行三維幾何建模，利用有限元分析軟件 Ansys 對(duì)潛艇表面進(jìn)行網(wǎng)格劃分。導(dǎo)出節(jié)點(diǎn)和網(wǎng)格信息后，可以采用板塊元法對(duì)目標(biāo)強(qiáng)度進(jìn)行計(jì)算，相關(guān)計(jì)算結(jié)果可作為統(tǒng)計(jì)分析的樣本值。

1.2 直方圖統(tǒng)計(jì)建模

統(tǒng)計(jì)分布密度估計(jì)是根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)而對(duì)其假定的概率函數(shù)進(jìn)行估測(cè)。本文對(duì)目標(biāo)強(qiáng)度采用直觀簡(jiǎn)便的直方圖法進(jìn)行密度估計(jì)。

直方圖是將整個(gè)數(shù)據(jù)空間劃分為格網(wǎng)單元，認(rèn)為數(shù)據(jù)均勻分布的假設(shè)在每個(gè)單元內(nèi)成立[5]。首先定義以下信息：一個(gè)樣本數(shù)據(jù)集 D；數(shù)據(jù)集 D 中所有數(shù)據(jù)項(xiàng)的數(shù)目 N；數(shù)據(jù)覆蓋范圍 C。

利用直方圖法對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，通常步驟如下：

1）將樣本數(shù)據(jù)值覆蓋的數(shù)據(jù)區(qū)間 C 分成幾個(gè)等子區(qū)間。

2）對(duì)樣本集 D 內(nèi)的 N 個(gè)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行從小到大的排序，按照順序依次判斷樣本數(shù)據(jù)值落到這個(gè)相應(yīng)的子區(qū)間，這個(gè)子區(qū)間的高度就相應(yīng)的加一個(gè)單位的高度。

3）將各個(gè)子區(qū)間的高度進(jìn)行歸一化，建立直方圖的概率統(tǒng)計(jì)模型。

采用以上方法，可以利用樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造出基于直方圖的概率密度函數(shù)。

1.3 Parzen 窗估計(jì)原理

直方圖估計(jì)的密度函數(shù)不平滑，且密度函數(shù)受子區(qū)間寬度影響很大。資料表明，核密度估計(jì)（Kernel density estimate）可有效解決該問(wèn)題。核密度估計(jì)屬于一種非參數(shù)的估計(jì)方式：對(duì)某一已知的密度函數(shù)，在觀測(cè)點(diǎn)上平均化，以期得到一條光滑的估計(jì)曲線。

假設(shè)樣本數(shù)據(jù)值在 D 維空間服從一個(gè)未知的概率密度函數(shù)，則其在區(qū)域 R 內(nèi)的概率為：

假設(shè) N 個(gè)樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)有 K 個(gè)落入了區(qū)域 R，那么就應(yīng)該服從二項(xiàng)分布：

由概率知識(shí)可知，在樣本數(shù) N 足夠大時(shí)，K ≈ N × P。其中，若假設(shè)區(qū)域 R 足夠小時(shí)，P ≈ p（x）× V，V為區(qū)域 R 的空間。將兩式結(jié)合可得：

根據(jù)該式來(lái)估算密度函數(shù) p（x）有以下 2 種方法：

1）K 不變，通過(guò)決定區(qū)域 V 的大小來(lái)估算密度函數(shù)。

2）V 不變，通過(guò)決定 K 的大小來(lái)估算密度函數(shù)。

本文假定區(qū)域 R 不變，即 V 不變，可得估計(jì)的密度函數(shù)為[6]：

式中：V = hD；D 為數(shù)據(jù)維數(shù)；h 為區(qū)域 V 的超立方體的棱長(zhǎng)，此處 k 取最優(yōu)窗函數(shù)，其寬度為樣本數(shù)據(jù)范圍的 100 等分。本文選取正態(tài)分布窗函數(shù)作為最優(yōu)窗函數(shù)，考慮均值為 0，方差為 1 的一位正態(tài)分布，則該窗函數(shù)的表達(dá)式如下：

該密度函數(shù)估計(jì)方法稱為 Parzen 窗估計(jì)法，該方法的實(shí)質(zhì)是用正態(tài)分布窗函數(shù)代替樣本值來(lái)估計(jì)整體的概率密度分布，其原理如圖 3 所示。

2 建模與仿真計(jì)算

建立國(guó)際通用標(biāo)準(zhǔn)的 Benchmark 潛艇（以下簡(jiǎn)稱潛艇）三維模型，艇長(zhǎng) 62 m，艇身圍殼直徑 7.5 m。將潛艇表面劃三角形面元，面元尺寸為 Δ，設(shè)置仿真條件滿足 Δ/λ ≤ 0.533，其中 λ 為入射波波長(zhǎng)，以控制計(jì)算結(jié)果在一定誤差范圍[7]。用板塊元法對(duì) benchmark 潛艇 0°～180° 范圍內(nèi)每隔 0.5° 的目標(biāo)強(qiáng)度進(jìn)行計(jì)算。圖 4 為潛艇的水平方位目標(biāo)強(qiáng)度曲線。

由圖 4 可知，潛艇目標(biāo)強(qiáng)度對(duì)水平方位角敏感，具有明顯的離散性且起伏劇烈；潛艇中部的平均目標(biāo)強(qiáng)度值最大，在首部和尾部附近的平均目標(biāo)強(qiáng)度較小，符合潛艇目標(biāo)強(qiáng)度經(jīng)典蝶形圖分布特征。針對(duì)各個(gè)舷角目標(biāo)強(qiáng)度的起伏特性，下面首先采用直方圖法建立典型舷角下的目標(biāo)強(qiáng)度分布模型。

2.1 典型舷角下的直方圖統(tǒng)計(jì)建模

考慮魚(yú)雷攻擊潛艇時(shí)主動(dòng)聲吶的實(shí)際工作頻帶，以某頻率下 88°～92° 范圍的目標(biāo)強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果作為艇中部目標(biāo)強(qiáng)度值，以 0.01° 間隔采樣計(jì)算，得到 401 組數(shù)據(jù)，在此基礎(chǔ)上建立概率密度直方圖的統(tǒng)計(jì)模型，其中 d（單位 dB）為直方圖區(qū)間劃分寬度，仿真結(jié)果如圖 5～圖 7 所示。

由圖可知，直方圖區(qū)間寬度的大小影響密度函數(shù)估計(jì)的性能。區(qū)間寬度為 4 時(shí)，得到的目標(biāo)強(qiáng)度的密度函數(shù)估計(jì)不夠精確，區(qū)間寬度為 1 時(shí)，直方圖法得到的密度函數(shù)相對(duì)精確，也比較平滑。隨著區(qū)間寬度的減小，直方圖表示的模型會(huì)更加精確，但直方圖在某些地方可能會(huì)出現(xiàn)幅值變化不連續(xù)甚至概率密度函數(shù)為 0 的情況，不符合潛艇目標(biāo)強(qiáng)度概率連續(xù)變化的分布特性。為此，下文采用 Parzen 窗估計(jì)法對(duì)潛艇目標(biāo)強(qiáng)度進(jìn)行建模研究，首先對(duì) Parzen 窗估計(jì)法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

2.2 Parzen窗估計(jì)法有效性驗(yàn)證

下面對(duì) Parzen 窗估計(jì)方法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。以正態(tài)分布為例，進(jìn)行仿真，說(shuō)明該方法的有效性。仿真條件設(shè)置如下，生成 1 000 個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，從中分別隨機(jī)抽取個(gè)數(shù)為 N = 20，100，500 的數(shù)作為樣本。分別采用頻率直方圖和 Paezrn 窗估計(jì)法對(duì)3 個(gè)不同樣本數(shù)的樣本建立概率密度分布模型，并與正態(tài)分布密度函數(shù)進(jìn)行對(duì)比，仿真結(jié)果如圖 8～圖 10所示。

通過(guò)以上示例的仿真結(jié)果可知，當(dāng)樣本數(shù)較小時(shí)，直方圖不能反映真實(shí)的密度分布特征，隨著樣本數(shù)的增加，頻率直方圖逐漸接近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。但Parzen 窗估計(jì)法可在樣本數(shù)較小的時(shí)候較好地反映隨機(jī)抽取的樣本數(shù)據(jù)分布特征以及真實(shí)概率密度分布特征，并不受區(qū)間長(zhǎng)度的影響。當(dāng)樣本數(shù)趨于無(wú)窮大時(shí)，頻率直方圖法與 Parzen 窗估計(jì)法的結(jié)果與實(shí)際密度分布函數(shù)趨于一致[8]。

2.3 Parzen 窗估計(jì)法建模與計(jì)算

下面采用核密度估計(jì)方法，對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)，在此基礎(chǔ)上對(duì)估計(jì)密度函數(shù)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律和參數(shù)進(jìn)行研究，給出其概率密度分布（PDF）和累積概率分布（CDF）。

分別建立區(qū)間寬度為 2 的直方圖分布模型和窗函數(shù)估計(jì)模型，如圖 11～圖 14 所示。

1）潛艇中部的平均目標(biāo)強(qiáng)度最大，其次是 30° 舷角處的平均目標(biāo)強(qiáng)度，均高于艇首和艇尾的平均目標(biāo)強(qiáng)度，各個(gè)典型舷角下的目標(biāo)強(qiáng)度分布具有連續(xù)性，仿真結(jié)果符合潛艇目標(biāo)強(qiáng)度經(jīng)典的蝶形圖分布規(guī)律。

2）潛艇在各個(gè)舷角的目標(biāo)強(qiáng)度值均具有明顯的起伏且在不同入射角度下的目標(biāo)強(qiáng)度的密度分布特征各不一樣，其中潛艇中部的目標(biāo)強(qiáng)度分布較集中，首部和尾部目標(biāo)強(qiáng)度分布范圍較分散，符合目標(biāo)曲率半徑大小對(duì)目標(biāo)強(qiáng)度變化的影響規(guī)律。

3）采用 Parzen 窗估計(jì)法建立的潛艇目標(biāo)強(qiáng)度分布模型較平滑和連續(xù)，便于提取統(tǒng)計(jì)參數(shù)，可直觀有效地用于潛艇目標(biāo)強(qiáng)度的統(tǒng)計(jì)分析。

3 結(jié) 語(yǔ)

本文應(yīng)用板塊元法，通過(guò)合理的網(wǎng)格劃分計(jì)算得到各個(gè)典型舷角下潛艇目標(biāo)強(qiáng)度的樣本值，采用 Parzen 窗估計(jì)法對(duì)目標(biāo)強(qiáng)度密度函數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并對(duì)各典型舷角下的潛艇目標(biāo)強(qiáng)度的統(tǒng)計(jì)分布特性進(jìn)行分析。板塊元計(jì)算結(jié)果符合潛艇目標(biāo)強(qiáng)度經(jīng)典蝶形圖分布特征。仿真結(jié)果表明，對(duì)目標(biāo)強(qiáng)度樣本值采用 Parzen 窗估計(jì)法建立的分布模型比直方圖法更加準(zhǔn)確有效，可以更好地反映潛艇目標(biāo)強(qiáng)度的統(tǒng)計(jì)分布特征。

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Application of parzen window estimation in submarine target strength statistics modeling

SUN Nai-wei1,2, LI Jian-chen1, WAN Ya-min1
(1. The 705 Research Institute of CSIC, Xi′an 710075, China; 2. Science and Technology on Underwater Information and Control Laboratory, Xi′an 710075, China)

The statistics characteristics research of submarine target strength (TS) have important value to the simulation and experiment analysis of underwater weapon. Aimed at the problem that histogram statistics model precision is quite affected by area partition, Parzen window estimation method is used for submarine TS statistics modeling in this paper. Submarine TS distribution model in typical bow bearing is built and the statistics characteristics is analyzed. Benchmark submarine is used for simulation, the simulation results show that submarine TS statistics model by Parzen window estimation measures up to submarine physical structure property and it can forecast submarine TS statistics characteristics more accurately and more effectively.

target strength；statistics characteristics；histogram；parzen window estimation

U674.941；TB566

A

1672 - 7619(2017)02 - 0132 - 05

10.3404/j.issn.1672 - 7619.2017.02.026

2016 - 07 - 22；

2016 - 08 - 12

孫乃葳(1993 - )，男，碩士研究生，研究方向?yàn)樗斜鳌?/p>