姚麗莎，程家興

安徽新華學(xué)院 信息系統(tǒng)軟件研究所，合肥 230088

有限元指紋圖像配準(zhǔn)*

姚麗莎+，程家興

安徽新華學(xué)院 信息系統(tǒng)軟件研究所，合肥 230088

針對(duì)指紋圖像中形變復(fù)雜多樣的特點(diǎn)，對(duì)指紋圖像配準(zhǔn)算法進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)目前指紋配準(zhǔn)算法存在復(fù)雜度高，精度低，速度慢，易受指紋形變等影響的缺陷，引入有限元分析理論，提出了有限元指紋圖像配準(zhǔn)算法。該算法將指紋圖像配準(zhǔn)中的復(fù)雜形變轉(zhuǎn)換為有限個(gè)離散形變單元組成的彈性形變，以分叉點(diǎn)、轉(zhuǎn)折點(diǎn)、指紋圖像上兩點(diǎn)的連線所穿越的脊線數(shù)量等特征作為特征指標(biāo)，求出采樣指紋與標(biāo)準(zhǔn)指紋的模糊貼近度，并創(chuàng)造性地以此為相似性測(cè)度，構(gòu)造總體剛度方程，進(jìn)而迭代求解最佳位移，完成指紋圖像配準(zhǔn)。實(shí)驗(yàn)表明，該算法位移量的誤差最小，用時(shí)為8.894 s，其有效降低了算法復(fù)雜度，提高了精度，同時(shí)也有效避免了指紋復(fù)雜多樣的形變等因素對(duì)指紋配準(zhǔn)算法精度的影響。

指紋配準(zhǔn)；有限元；模糊貼近度；指紋特征點(diǎn)

1 引言

在生物特征識(shí)別領(lǐng)域中，指紋識(shí)別技術(shù)[1]發(fā)展迅速。信息技術(shù)的飛速發(fā)展在為自動(dòng)指紋識(shí)別的應(yīng)用開辟廣闊市場(chǎng)的同時(shí)，也對(duì)指紋識(shí)別技術(shù)提出了新的挑戰(zhàn)。指紋匹配[2]的準(zhǔn)確性與效率對(duì)指紋識(shí)別的優(yōu)劣有直接影響，它是指紋識(shí)別的核心內(nèi)容。

然而，在實(shí)際指紋采樣的工作過程中存在著復(fù)雜的形變問題，如采樣手指的角度偏差，指紋粗糙度發(fā)生較大變化，采樣手指壓力不同等都會(huì)造成指紋圖像的形變?；诩?xì)節(jié)點(diǎn)模式的指紋匹配算法在匹配前需找到采樣指紋與庫指紋的形變變換的最優(yōu)解，即指紋配準(zhǔn)。為提高指紋識(shí)別的準(zhǔn)確率，提高指紋匹配的準(zhǔn)確性，就要提高指紋配準(zhǔn)的準(zhǔn)確性。國內(nèi)外許多研究人員在指紋配準(zhǔn)上提出了許多研究成果，如文獻(xiàn)[3]的基于新的細(xì)節(jié)點(diǎn)柱形編碼的指紋匹配算法，文獻(xiàn)[4]的基于細(xì)節(jié)點(diǎn)全局置信度的指紋匹配算法等。還有一些研究在圖像配準(zhǔn)中應(yīng)用力學(xué)上的有限元模型，Schnabel等人將有限元法應(yīng)用于求解基于B樣條精配準(zhǔn)前的初始變換[5]；Xuan等人利用樣條曲線為有限元模型控制局部形變[6]。但這些算法對(duì)配準(zhǔn)精度有所限制，大多只能用于粗配準(zhǔn)，不能解決指紋圖像的復(fù)雜形變問題。

目前指紋配準(zhǔn)算法存在復(fù)雜度高，精度低，速度慢，易受指紋形變等影響的缺陷，為解決指紋圖像復(fù)雜形變問題，本文引入有限元分析理論，提出了一種新的基于有限元分析理論的指紋圖像配準(zhǔn)算法。首先將配準(zhǔn)圖像進(jìn)行有限次離散化的劃分，并將指紋圖像配準(zhǔn)中的復(fù)雜形變轉(zhuǎn)換為有限個(gè)離散形變單元組成的彈性形變，以提高指紋配準(zhǔn)算法的精度和速度。為解決現(xiàn)有基本有限元算法對(duì)剛體位移不敏感，精度具有局限性的缺陷，求解配準(zhǔn)過程中有限元的能量函數(shù)時(shí)，創(chuàng)造性地以分叉點(diǎn)、轉(zhuǎn)折點(diǎn)、指紋圖像上兩點(diǎn)的連線所穿越的脊線數(shù)量等特征作為特征指標(biāo)，求出采樣指紋與標(biāo)準(zhǔn)指紋的模糊貼近度。采用采樣指紋與標(biāo)準(zhǔn)指紋的模糊貼近度測(cè)度為驅(qū)動(dòng)，構(gòu)造總體剛度方程，提高圖像配準(zhǔn)的精度。該算法可有效削弱因指紋平移、旋轉(zhuǎn)、手指壓力不均等因素造成的對(duì)指紋配準(zhǔn)準(zhǔn)確度的影響。

2 有限元配準(zhǔn)

有限元理論是“先化整為零，再集零為整”。最終解看成是由有限個(gè)有限單元的近似解組成，然后根據(jù)有限個(gè)單元近似解推導(dǎo)求解總的最終解。這樣復(fù)雜問題就轉(zhuǎn)換為若干個(gè)簡(jiǎn)單問題，能適應(yīng)各種復(fù)雜問題的求解。

指紋圖像具有復(fù)雜形變問題[7]，配準(zhǔn)過程可以歸結(jié)為某個(gè)量的極值問題[8]。指紋圖像的有限元配準(zhǔn)就是將復(fù)雜的形變體轉(zhuǎn)化為較為簡(jiǎn)單的離散的有限個(gè)形變單元，以此為基本單位，依據(jù)圖像的能量函數(shù)，對(duì)整個(gè)圖像的形變進(jìn)行計(jì)算。

有限元法求解復(fù)雜問題的基本思路可概括為3個(gè)步驟，即對(duì)彈性體進(jìn)行結(jié)構(gòu)離散化、單元分析和整體分析，如圖1所示。

對(duì)兩幅待配準(zhǔn)的指紋圖像A、B在配準(zhǔn)中進(jìn)行單元?jiǎng)澐?，選取像素點(diǎn)的位移u為待定位移函數(shù)，在所有可能滿足位移邊界條件的位移中，搜索可以滿足平衡條件的位移，使總勢(shì)能E成為極小值，此位移即為平衡條件下近似解[9]。以位移u為例，該能量泛函可以用泰勒展開式表達(dá)：

Fig.1 Analytical procedure using finite element method圖1 有限元法分析步驟

其中，ε為應(yīng)變；σ為應(yīng)力；?為用于能量計(jì)算的梯度算子；2(I1-I2)?I1u表示彈性形變；(I1-I2)2表示剛體的位移。高階導(dǎo)數(shù)不一定滿足一致連續(xù)性，因此通常只考慮彈性形變項(xiàng)而省略位移項(xiàng)，這樣便將圖像配準(zhǔn)問題轉(zhuǎn)化為求解位移解u的有限元問題。

3 模糊貼近度

指紋紋線的端點(diǎn)（末稍點(diǎn)）和分叉點(diǎn)被視為指紋的主要特征點(diǎn)[10-11]，如圖2所示。指紋圖像特征點(diǎn)的絕對(duì)位置可能會(huì)隨著指紋圖像的平移、旋轉(zhuǎn)或局部形變發(fā)生很大變化，然而兩個(gè)特征點(diǎn)的連線所穿越的脊線數(shù)目及特征點(diǎn)構(gòu)成的多邊形的邊和角則不會(huì)發(fā)生較大改變，這是衡量指紋圖像匹配程度的重要特征指標(biāo)[12-13]。

Fig.2 Endpoint and cross point of fingerprint image圖2 指紋圖像的端點(diǎn)和叉點(diǎn)圖

指紋中心點(diǎn)也是指紋圖像的主要特征點(diǎn)，指紋線在此點(diǎn)處匯聚，形成收斂，如圖3所示。以指紋中心點(diǎn)為參考點(diǎn)，可確定各特征點(diǎn)的位置，具體方法是：

Fig.3 Information map of fingerprint feature points圖3 指紋特征點(diǎn)信息圖

（1）若最內(nèi)層隆起線是一條直線，則確定隆起線的上端點(diǎn)為中心點(diǎn)；

（2）若最內(nèi)層隆起線的上凸部分出現(xiàn)分叉，則確定分叉為中心點(diǎn)；

（3）若隆起線存在多條，則確定最左邊的隆起線的上端點(diǎn)為中心點(diǎn)。

在確定指紋中心點(diǎn)后，以與中心點(diǎn)距離大于D (0＜D≤10)且最近的4個(gè)點(diǎn)（M,N,P,Q）為其特征點(diǎn)，連接這4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成四邊形MNPQ，如圖4所示。

Fig.4 Apolygon consisting of fingerprint feature points圖4 指紋特征點(diǎn)多邊形

指紋特征點(diǎn)組成的四邊形MNPQ中4個(gè)點(diǎn)間的距離可分別由式（2）～式（6）求得：

四邊形MNPQ中的兩個(gè)夾角a與b的值由式（7）、式（8）求得：

衡量指紋匹配程度的重要指標(biāo)為兩點(diǎn)連線所穿越的脊線數(shù)量。因?yàn)橹讣y圖像上兩點(diǎn)連線所穿越的脊線數(shù)量不會(huì)隨著指紋圖像發(fā)生平移、旋轉(zhuǎn)、縮放等形變而發(fā)生變化。依據(jù)參考文獻(xiàn)[14]所給出的方法計(jì)算MN和NP連線所穿越的脊線數(shù)量Imn和Inp。

設(shè)論域U={X1,X2,…,Xn}[15]有n個(gè)模糊子集 ω1, ω2,…,ωn，構(gòu)成了標(biāo)準(zhǔn)指紋庫。B為采樣指紋，σ(ωi,B)表示B與ωi(i=1,2,…,n)的模糊貼近度。若σ(ωm,B)= max{σ(ω1,B),σ(ω2,B),…,σ(ωn,B)}，則B最貼近 ωm，B應(yīng)歸于ωm。用模糊貼近度σ(ω,B)作為指紋圖像配準(zhǔn)的測(cè)度函數(shù)，其應(yīng)滿足如下條件：

（1）σ(ω,ω)=1；

（2）σ(ω,B)=σ(B,ω)；

（3）σ(?,U)=0,其中?為空集；

（4）由ω?B?C可得σ(ω,C)≤σ(ω,B)∧σ(B,C)，其中C為模糊集[16]。

由此推導(dǎo)出模糊貼近度公式為：

本文利用特征點(diǎn)構(gòu)成的多邊形的邊、角及兩個(gè)點(diǎn)的連線所穿越的脊線數(shù)目為特征指標(biāo)求兩幅圖像的模糊貼近度，以此為測(cè)度函數(shù)，進(jìn)而不斷迭代，從而求解最佳位移解。

4 有限元指紋圖像配準(zhǔn)算法

4.1 總體剛度方程構(gòu)造

式（1）通過泰勒公式展開后，由于高階導(dǎo)數(shù)不一定滿足一致連續(xù)，通常省略位移項(xiàng)，而只考慮彈性形變項(xiàng)，但是省略剛體位移項(xiàng)，常會(huì)帶來在配準(zhǔn)過程中，對(duì)較大位移和旋轉(zhuǎn)等剛性變換不夠敏感的問題，進(jìn)而影響指紋圖像配準(zhǔn)的準(zhǔn)確性。為此本文將模糊貼近度用于有限元理論中對(duì)指紋圖像進(jìn)行配準(zhǔn)。

總體剛度方程的構(gòu)造是整個(gè)配準(zhǔn)過程的關(guān)鍵。彈性形變后，內(nèi)部各點(diǎn)發(fā)生位移。在有限元分析理論中，將整體離散化，用一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)來描述單元內(nèi)每個(gè)點(diǎn)的位移，稱為位移函數(shù)。因?yàn)槎囗?xiàng)式便于計(jì)算而且能逼近任何復(fù)雜函數(shù)，所以一般用系數(shù)多項(xiàng)式來表示二維平面問題的位移函數(shù)。如圖5所示，以三角單元位移Δ為例，其3個(gè)節(jié)點(diǎn)編碼依逆時(shí)針方向進(jìn)行，依次為i、j、k。單元的每個(gè)節(jié)點(diǎn)在平面問題中具有兩個(gè)自由度。

Fig.5 Three nodes of triangular element圖5 三角單元3節(jié)點(diǎn)

經(jīng)過推導(dǎo)，位移函數(shù)表達(dá)式為：

其中，Ni表示插值函數(shù)，反映單元的位移變化形態(tài)，故稱形函數(shù)。

下標(biāo)i、j、k輪換，表示三角形單元的3個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中系數(shù)ai、bi、ci的取值用克萊姆法則求得：

S表示三角形的面積，其計(jì)算公式為：

Δ=Nue為位移函數(shù)矩陣，其中ue是單元節(jié)點(diǎn)位移列陣，如式（14）所示：

單元節(jié)點(diǎn)位移與單元體內(nèi)應(yīng)變及應(yīng)力的關(guān)系可以根據(jù)廣義胡克定律、彈性體幾何方程式ε=LΔ（L為變換矩陣）、式（10）得到：

式（15）中，B是幾何矩陣，其大小為B=LN；ε表示應(yīng)變矩陣；ζ表示應(yīng)力矩陣；D表示彈性矩陣。有如下關(guān)系：

式（16）中，E為楊氏模量（Young’s modulus），其大小表示固體材料抗形變的能量；v為泊松比；ζx、ζy、τxy為應(yīng)力矩陣ζ的應(yīng)力分量；εx、εy、γxy為應(yīng)變矩陣ε的應(yīng)變分量。

將上述單元體各分量組合：

對(duì)于二維有限元，等效能量梯度與每個(gè)等效節(jié)點(diǎn)力 f(fix,fiy)成正比，故有：

其中，U是總體位移陣列；K是總體剛度矩陣；R是全部外力的等效節(jié)點(diǎn)力陣列；α是正系數(shù)；?m表示相似性測(cè)度的梯度。本文將模糊貼近度作為測(cè)度，即這里m為模糊貼近度，因此有：

其中，σ(A,B)為標(biāo)準(zhǔn)圖像A與采樣圖像B單元體模糊貼近度。這里以單元體內(nèi)局部中心點(diǎn)來確定特征點(diǎn)，以特征點(diǎn)構(gòu)成的多邊形的邊、角及兩個(gè)點(diǎn)的連線所穿越的脊線數(shù)目為特征指標(biāo)求標(biāo)準(zhǔn)圖像A與采樣圖像B的單元體模糊貼近度。

該算法以有限元模擬形變模型，既考慮了圖像的物理形變，又融入了圖像的模糊貼近度為度量。

各個(gè)單元體勢(shì)能的總和為結(jié)構(gòu)體總的勢(shì)能，在離散化的情況下有：

4.2 算法步驟

本文利用有限元分析理論將指紋配準(zhǔn)問題的復(fù)雜形變轉(zhuǎn)換為有限個(gè)離散形變單元組成的彈性形變問題，使用模糊貼近度為相似性測(cè)度，構(gòu)造總體剛度方程，進(jìn)而不斷迭代求解最佳位移。

在確立有限元材質(zhì)并設(shè)置屬性參數(shù)的基礎(chǔ)上，首先，對(duì)采樣指紋圖像進(jìn)行插值，依據(jù)當(dāng)前測(cè)度函數(shù)求解位移的初始值；然后，以模糊貼近度為測(cè)度不斷迭代求解新的位移解，當(dāng)兩次求得的位移解的差值小于某一特定極小值時(shí)迭代結(jié)束，此時(shí)的位移解即為最終值。圖6所示為本文配準(zhǔn)算法流程圖。

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

實(shí)驗(yàn)分別采用文獻(xiàn)[3]基于新的細(xì)節(jié)點(diǎn)柱形編碼的指紋匹配算法、文獻(xiàn)[4]基于細(xì)節(jié)點(diǎn)全局置信度的指紋匹配算法和本文算法進(jìn)行比較。

Fig.6 Flow chart of registration algorithm in this paper圖6 本文配準(zhǔn)算法流程圖

實(shí)驗(yàn)1選取標(biāo)準(zhǔn)指紋圖像如圖7（a）和采樣指紋圖像如圖7（b）進(jìn)行指紋圖像配準(zhǔn)，3種算法的配準(zhǔn)結(jié)果分別如圖7（c）、（d）、（e）所示。

在實(shí)驗(yàn)過程中記錄不同迭代次數(shù)下位移量x、y以及旋轉(zhuǎn)角度θ的變化情況，如圖8（a）、（b）、（c）所示。這里位移量x、y以及旋轉(zhuǎn)角度θ的標(biāo)準(zhǔn)值為100、100、58。實(shí)驗(yàn)用標(biāo)準(zhǔn)指紋圖像與配準(zhǔn)后的指紋圖像的均方根R來作為評(píng)價(jià)參數(shù)，比較3種算法在不同迭代次數(shù)下的變化情況，如圖8（d）所示。

式中，n表示圖像大小；Tr(x)表示配準(zhǔn)結(jié)果；Tq(x)表示標(biāo)準(zhǔn)圖像。R越小表示兩幅圖像的差異越小。

實(shí)驗(yàn)1表明本文算法與文獻(xiàn)[3]、[4]算法的比較結(jié)果：從圖8（a）、（b）、（c）可以看出，在不同迭代次數(shù)下，本文算法對(duì)形變更為敏感，均更接近于實(shí)際位移量，配準(zhǔn)效果更優(yōu)；從圖8（d）可以看出，誤配率明顯降低，在精度上有顯著提升。

實(shí)驗(yàn)2選取標(biāo)準(zhǔn)指紋圖像如圖9（a）和采樣質(zhì)量較差存在復(fù)雜形變的指紋圖像如圖9（b）進(jìn)行指紋圖像配準(zhǔn)，3種配準(zhǔn)算法的配準(zhǔn)結(jié)果分別如圖9（c）、（d）、（e）所示。

在實(shí)驗(yàn)過程中記錄不同迭代次數(shù)下位移量x、y以及旋轉(zhuǎn)角度θ的變化情況，如圖10（a）、（b）、（c）所示。這里位移量x、y以及旋轉(zhuǎn)角度θ的標(biāo)準(zhǔn)值為10、10、14。3種算法的均方根在不同迭代次數(shù)下的變化情況如圖10（d）所示。

實(shí)驗(yàn)2采用了質(zhì)量較差存在復(fù)雜形變的采樣圖像，結(jié)果表明本文算法與文獻(xiàn)[3]、[4]算法相比，亦取得良好的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，有效避免了指紋復(fù)雜多樣的形變等因素對(duì)指紋配準(zhǔn)算法精度的影響。

實(shí)驗(yàn)3為了進(jìn)一步驗(yàn)證算法的有效性，實(shí)驗(yàn)選取10對(duì)不同的指紋圖像分別用3種算法進(jìn)行圖像配準(zhǔn)。以Δxˉ、Δyˉ、Δθˉ、Tˉ即水平位移量、垂直位移量、旋轉(zhuǎn)偏移量誤差的平均值及算法平均執(zhí)行時(shí)間為依據(jù)來比較以上3種配準(zhǔn)算法，結(jié)果如表1所示。

Table 1 Parameter results of different registration algorithms表1 不同配準(zhǔn)算法的參數(shù)結(jié)果

Fig.7 Registration results of experiment 1圖7 實(shí)驗(yàn)1配準(zhǔn)結(jié)果圖

Fig.8 Parametric variation of experiment 1圖8 實(shí)驗(yàn)1參數(shù)變化情況圖

Fig.9 Registration results of experiment 2圖9 實(shí)驗(yàn)2配準(zhǔn)結(jié)果圖

本文算法將指紋圖像配準(zhǔn)中的復(fù)雜形變轉(zhuǎn)換為有限個(gè)離散形變單元組成的彈性形變，提高指紋配準(zhǔn)算法的精度和速度。為解決現(xiàn)有基本有限元算法對(duì)剛體位移不敏感，精度具有局限性的缺陷，以分叉點(diǎn)、轉(zhuǎn)折點(diǎn)、指紋圖像上兩點(diǎn)的連線所穿越的脊線數(shù)量等特征作為特征指標(biāo)，求解配準(zhǔn)過程中有限元的能量函數(shù)，并采用采樣指紋與標(biāo)準(zhǔn)指紋的模糊貼近度測(cè)度為驅(qū)動(dòng)，構(gòu)造總體剛度方程，提高圖像配準(zhǔn)的精度。本文算法可有效削弱因指紋平移、旋轉(zhuǎn)、手指壓力不均等因素造成對(duì)指紋配準(zhǔn)準(zhǔn)確度的影響。從表1可以看出，從水平位移量、垂直位移量、旋轉(zhuǎn)偏移量誤差的平均值上可見本文算法優(yōu)于其他兩種算法。從算法平均執(zhí)行時(shí)間可見，本文算法的效率優(yōu)于其他兩種算法。

Fig.10 Parametric variation of experiment 2圖10 實(shí)驗(yàn)2參數(shù)變化情況圖

6 結(jié)束語

本文采用有限元和模糊貼近度對(duì)指紋圖像進(jìn)行配準(zhǔn)。有限元模型能夠逼近指紋圖像總的精確形變，在有限單元內(nèi)創(chuàng)造性地采用模糊貼近度為能量函數(shù)，對(duì)剛體位移變化更敏感。實(shí)驗(yàn)表明，本文算法水平位移量、垂直位移量、旋轉(zhuǎn)偏移量誤差的平均值分別為3.084 721 mm、3.897 214 mm、2.651 432°，較其他兩種算法誤差最?。凰惴ㄆ骄鶊?zhí)行時(shí)間為8.894 s，用時(shí)最少。本文算法提高了精度，降低了復(fù)雜度，并且實(shí)驗(yàn)2表明本文算法有效避免了指紋圖像復(fù)雜形變問題對(duì)配準(zhǔn)精度的影響。

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YAO Lisha was born in 1986.She received the M.S.degree from Anhui University in 2011.Now she is a lecturer at Anhui Xinhua University.Her research interests include image processing,pattern recognition and artificial intelligence,etc.

姚麗莎（1986—），女，安徽合肥人，2011年于安徽大學(xué)獲得碩士學(xué)位，現(xiàn)為安徽新華學(xué)院講師，主要研究領(lǐng)域?yàn)閳D像處理，模式識(shí)別，人工智能等。主持兩項(xiàng)安徽省高校自然科學(xué)重點(diǎn)研究項(xiàng)目。

CHENG Jiaxing was born in 1946.He received the Ph.D.degree from University of South Australia in 1997.Now he is a professor and Ph.D.supervisor at Anhui Xinhua University.His research interests include intelligent computing, pattern recognition and bio-informatics,etc.

程家興（1946—），男，安徽合肥人，1997年于澳大利亞南澳大學(xué)獲得博士學(xué)位，現(xiàn)為安徽新華學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師，主要研究領(lǐng)域?yàn)橹悄苡?jì)算，模式識(shí)別，生物信息學(xué)等。發(fā)表學(xué)術(shù)論文100余篇，主持2項(xiàng)國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目，1項(xiàng)教育部?jī)?yōu)秀留學(xué)回國人員基金項(xiàng)目。

Fingerprint Registration Based on Finite Element*

YAO Lisha+,CHENG Jiaxing
Institute of Information Systems Software,Anhui Xinhua University,Hefei 230088,China
+Corresponding author:E-mail:jsjyaolisha@163.com

Fingerprint registration algorithm is studied for the complexity and variety of fingerprint deformation.Because the existing fingerprint registration algorithms have the defects of high complexity,low precision,slow speed and easy to be affected by fingerprint deformation,this paper introduces finite element analysis theory,and proposes a fingerprint registration algorithm based on finite element.In this algorithm,discrete finite element is used as basic unit to simulate the deformation of whole elastomer for complex deformation in fingerprint images.It takes the turning point,bifurcation point,the number of ridge lines between two points in fingerprint images and so on as the features. The fuzzy similarity is creatively proposed as metric for solving the overall stiffness equation to complete fingerprint registration.The experimental results show that the error of displacement of the proposed algorithm is the smallest and the time is 8.894 seconds,it lowers the complexity,and also improves the precision.At the same time,it can avoid the influence of the complexity and variety of fingerprint deformation on the accuracy of the fingerprint registration algorithm.

fingerprint registration;finite element;fuzzy similarity;fingerprint feature points

10.3778/j.issn.1673-9418.1602033

A

TP391.41

*The Natural Science Research Project of Anhui Colleges and Universities under Grant No.KJ2015A309(安徽省高校自然科學(xué)重點(diǎn)研究項(xiàng)目).

Received 2016-02,Accepted 2016-06.

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版:2016-06-02,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20160602.1144.004.html

YAO Lisha,CHENG Jiaxing.Fingerprint registration based on finite element.Journal of Frontiers of Computer Science and Technology,2017,11(4)：643-651.