尹修草,厲珍珠，方曉靜

(華南農(nóng)業(yè)大學 數(shù)學與信息學院，廣州，510642)

南極平均溫度的聚類分析及預(yù)測

尹修草,厲珍珠，方曉靜

(華南農(nóng)業(yè)大學 數(shù)學與信息學院，廣州，510642)

南極是研究全球變暖問題的典型地區(qū)，由于南極所處的緯度以及其特殊的地理風貌、自然氣候，所以研究南極以往的實測資料就顯得尤為重要。本文利用英國南極調(diào)查局網(wǎng)站，得到2000-2015年的實測溫度資料。由于觀測點的溫度可能受不同因素的影響，我們通過聚類分析，把觀測點進行分類。然后建立時間序列模型，對不同類別的觀測點進行溫度變化規(guī)律的探討，得到南極的平均氣溫。最后我們應(yīng)用時間序列分析方法，研究南極地表溫度與時間之間的變化規(guī)律。

聚類分析； 時間序列； ARIMA模型；南極溫度預(yù)測

南極洲是一個極其特殊的地方：它的氣候在地球上是最干燥、多風和寒冷的地方。覆蓋南極洲的冰川平均厚度達2000米，覆蓋面積達到1400萬平方千米。南極洲的氣候以及地理位置決定了那里人際罕至、與世隔絕。直到2007年，科學家都一直認為全球變暖并未影響到南極洲的氣候。

2007年，聯(lián)合國政府間氣候變化專門委員會在其《第四份分析報告》中提到：南極洲是唯一未探察到人類所致溫度變化的大陸[1]。這份報告還得出結(jié)論，南極與北極不同，南極的冰川并未像北極那樣經(jīng)歷驚人的大面積融化。一些數(shù)據(jù)甚至顯示，南極大陸的溫度正在溫和的下降.這份報告成為那些懷疑全球變暖的人的證據(jù)。然而，事實是，科學界對南極洲以前的氣候了解甚少。針對未來的研究，我們需要了解到冰川融化的數(shù)量以及海平面上升速度的快慢。而想要對這些問題做出比較精準的估計，南極洲將是我們主要研究的對象[2]。

南極平均溫度的問題如下：

地球陸地表面平均溫度是氣候變化和全球變暖的一個重要指標。但是，以前的估計，一些如何定義地表溫度的方法也有差別。為簡單起見，我們只考慮南極洲。根據(jù)氣象站溫度計測量的數(shù)據(jù)，建立數(shù)學模型，估算表面平均溫度，并描述南極溫度隨時間變化的情況。

現(xiàn)將上述問題具體分析成如下：

(1)給出一個平均地表溫度的定義模型。

(2)根據(jù)氣象站觀察的數(shù)據(jù)建立一個數(shù)學模型預(yù)測南極洲地表平均溫度，并預(yù)測南極洲的溫度變化。

要定義平均地表溫度，得考慮平均地表溫度受各類因素的影響的輕重程度，各個因素之間的關(guān)系，才能更加準確地給出相關(guān)的定義式子；只有確定了相關(guān)的影響因素并加以結(jié)合，得到的數(shù)學模型才能預(yù)測南極洲的平均地表溫度，根據(jù)預(yù)測得到南極洲溫度隨時間的變化情況。

1 模型的建立

1.1 符 號

符號含義xt時刻的過程值B后移算子

1.2 資料處理以及假設(shè)

根據(jù)英國南極調(diào)查局網(wǎng)站所得數(shù)據(jù)，我們只選用2000-2015年期間，累計資料在180個月以上的42個氣象站的逐月平均溫度。

假設(shè)：(1)南極洲地表的平均溫度不受高空風速的影響；

(2)南極洲地表的平均溫度不受高空風向的影響；

(3)所用的氣象站給的數(shù)據(jù)是準確度非常高的；

(4)南極洲地表的平均溫度是由2000年之后的變化是顯著的，2000年之前的變化不是顯著的；

(5)所選氣象站的具體地理位置是準確無誤的.

1.3 模型一：聚類分析

聚類分析是指一批樣品的很多觀測的指標，按照一定的數(shù)學公式計算一些樣品或一些參數(shù)(指標)的相似程度，把相似的樣品或指標歸為一類，把非相似的歸為一類[3]。聚類分析步驟：

1.3.1 選擇變量

(1)根據(jù)聚類分析的目的選定適當?shù)淖兞?/p>

(2)給出需要分類的變量所具有的特征

(3)保證不同的研究對象所對應(yīng)的值有顯著的差異

(4)變量之間的相關(guān)度不能很高

1.3.2 計算相似性

相似性是指研究對象之間的親疏度，聚類分析是根據(jù)對象之間的親疏程度(相似性)來分類的。用來描述相似性的測度有很多。

1.3.3 聚 類

在選定了聚類的變量，計算出樣品(指標)之間的相似度后，可以寫出一個相似度的矩陣。這主要涉及兩個方面的問題：

(1)如何選擇聚類分析的方法

(2)如何確定類別數(shù)

1.3.4 聚類結(jié)果的解釋和證實

對聚類分析的結(jié)果進行說明是對各個類別的特征的準確的刻畫，給每類確定一個適合的名稱。這一步可以利用描述性的統(tǒng)計量來分析，一般是通過計算各類在聚類變量上的均值，通過對均值比較，來解釋各類差別的原因。

1.3.5 對南極各站點進行聚類分析

在南極，各地溫度變化的特征差異性較大，為了對南極以及鄰近地區(qū)的溫度變化的空間分布有客觀的區(qū)域劃分，我們根據(jù)各站點的溫度、經(jīng)緯度以及氣象站的高度進行標準化的聚類分析。

根據(jù)分類的原理和現(xiàn)有數(shù)據(jù)，我們運用SPSS軟件對所選的氣象站點進行分類。分類結(jié)果見下表：

表1 聚類分析觀測點Table 1 The observation point of cluster analysis

由上表可知，選取的氣象站可分為4大類進行分析，建立模型和預(yù)測。

1.4 模型二：時間序列模型

時間序列所需要的模型實際上就是隨機模型，觀測到的時間序列就被看作是隨機過程所生成的時間序列無窮總體的一個樣本實現(xiàn)。時間序列的變量內(nèi)部的機理一般也不是很清楚，因此一般用的分析方法是擬合分析法。

常用的時間序列隨機模型有：求和自回歸滑動平均模型(AutoRegressiveInterated MovingAverage,縮寫ARIMA)、季節(jié)模型、傳遞函數(shù)模型和干預(yù)模型。本文主要用到ARIMA模型、季節(jié)模型和傳遞函數(shù)模型。在分別介紹它們之前，先簡單介紹自回歸模型(AR)和滑動平均模型(MA)，它們是ARIMA模型的特殊形式[4]。

AR模型定義：

AR(p)模型有三個限制條件：

1：?p≠0這個條件，確保了模型的最高階數(shù)為p。

3：Exsεt=0,?s

MA模型的定義：

使用MA(q)模型需要滿足兩個限制條件：

1：θq≠0這個限制條件，確保模型的最高階數(shù)為p。

ARMA(p,d,q)的模型稱為求和自回歸移動平均模型，結(jié)構(gòu)如下：

(1)

之所以命名為求和自回歸移動平均模型是因為d階差分分后序列表示為：

ARMA(p,q)模型的一般表示方法為：

Φ(B)(1-B)dxt=Θ(B)εt

(2)

上式和ARMA模型一樣，也可以用隨機擾動項的線性函數(shù)表示：

xt=εt+Ψ1εt-1+Ψ2εt-2+…+Ψ(B)εt

此式中的值滿足如下遞推公式：

式中：

那么

xt+l=(εt+l+Ψ1εt+l-1+…+Ψl-1εt+1)+(Ψlεt+Ψl+1εt-1+…)

由于εt+l,εt+l-1的不可獲得性，所以xt+l的估計值只能為真實值與預(yù)報值之間的均方誤差：

所以在均方誤差最小原則下，l期預(yù)報值為：

l期預(yù)報誤差為：

et(l)=εt+l+Ψ1εt+l-1+…+Ψl-1εt-1

真實值等于預(yù)報值加上預(yù)報誤差

l期預(yù)報誤差的方差為：

由式(2)容易看出，ARIMA模型的本質(zhì)是差分與和ARMA模型的組合。這個組合的關(guān)系意義重大。這表明任何非平穩(wěn)序列若能通過適當階數(shù)的差分從而得到差分后的平穩(wěn)，則就能對差分后序列進行ARMA模型擬合。而ARMA模型的分析方法已經(jīng)成熟，這說明差分平穩(wěn)序列的分析也將是簡單、便捷以及普遍的。

1.5 數(shù)據(jù)分析

在掌握了ARMA模型的建模方法之后，嘗試使用ARIMA模型對觀察序列建模是比較簡單的事情。它遵循如下操作流程如下：

圖1 時間序列模型建模步驟流程Fig.1 Modeling step flow of time series model

1.5.1 第一類站點的時間序列模型

利用以上圖過程，通過SPSS對第一類站點的溫度進行分析結(jié)果如下：

圖2 第一類站點的溫度波動Fig.2 The temperature fluctuation of the first kind of site

由上圖看出聚類分析表中第一類站點的溫度波動程度較大，但是呈現(xiàn)出上下均衡變化，有可能存在季節(jié)因素的影響所以我們做波形分解得到數(shù)據(jù)如下：

圖3 波動序列圖Fig.3 Fluctuation sequence diagram

季節(jié)性因素波動序列圖顯然是圍繞一個值上下波動的，因此猜測受季節(jié)性影響。

從以下SAF序列圖，季節(jié)的溫度變化序列圖，可見季節(jié)對原始數(shù)據(jù)的序列圖造成了波動影響：

圖4 季節(jié)的溫度變化序列圖Fig.4 Temperature variation of the seasons sequence diagram

所以我們需要通過SPSS排除了季節(jié)和隨機干擾后，對原始數(shù)據(jù)做自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)分析，得到用SPSS建立ARIMA(1,0,2)(1,0,0)用SPSS做出擬合模型以及擬合圖像結(jié)果如下：

表2 第一類站點SPSS時間序列擬合結(jié)果Table 2 The fitting results of spss time series of the first kind of site

根據(jù)上表我們可得第一類站點的擬合模型為：

Yt=235.154+0.662Yt-1+0.827-0.38εt-1-0.092εt-2

由以上擬合模型得到的擬合曲線與原曲線的圖形如下：

圖5 擬合曲線與原曲線的對比Fig.5 Comparison of fitting curve and original curve

擬合曲線以及擬合值上下限區(qū)間圖像如下：

圖6 擬合曲線以及擬合值上下限區(qū)間Fig.6 Fitting curves and the upper and lower bounds of the fitted values

所以我們由SPSS軟件得到的擬合數(shù)據(jù)，根據(jù)擬合數(shù)據(jù)預(yù)測第一類站點的溫度如下。

下面對2016年進行預(yù)測值如下(年平均溫度：6.094158)。

表3 第一類站點2016年溫度預(yù)測值Table 3 The temperature prediction of the first kind of site in 2016

根據(jù)以上步驟并且通過SPSS進行分析分別得到其他三類站點的模型和溫度預(yù)測值如下;

1.5.2 第二類站點模型以及溫度預(yù)測值

Yt=0.972Xt+0.827-0.028εt+44.061

對2016年進行預(yù)測值如下(年平均溫度：-6.03656)。

表4 第二類站點2016年溫度預(yù)測值Table 4 The temperature prediction of the Secondkind of site in 2016

1.5.3 第三類站點的模型和數(shù)據(jù)

Yt=0.963Xt+6.535+0.987εt-1+0.094

對2016年進行預(yù)測值如下(年平均溫度：-17.7387)。

表5 第三類站點2016年溫度預(yù)測值Table 5 The temperature prediction of the thirdkind of site in 2016

1.5.4 第四類站點的模型以及溫度預(yù)測

Yt=-1000.239+0.078Yt-1+0.927Xt-0.538εt-1-0.265εt-2+15.729

對2016年進行預(yù)測值如下(年平均溫度：-43.5851)。

表6 第四類站點2016年溫度預(yù)測值Table 6 The temperature prediction of the fourth kind of site in 2016

以上所用模型經(jīng)自相關(guān)性檢驗建模成功。

2 總 結(jié)

該模型將聚類分析與時間序列相結(jié)合分別對南極的地表溫度進行分區(qū)域討論和擬合，從以上結(jié)論可以看出擬合出來的溫度與實際溫度波動序列圖極為接近，所以該模型是有效。并且用時間序列可以較為精確的預(yù)測短期內(nèi)溫度的變化值，將南極地表溫度分為四個區(qū)域來討論，排除了緯度以及觀測點的高度對地表溫度所造成的客觀影響，同時時間序列模型中加入了季節(jié)性因素的，以及隨機波動性因素的影響，使得預(yù)測值更為精確。從以上模型可以看出全球變暖對南極地表溫度是有季節(jié)性的影響的，如果就全年平均溫度而言，全球變暖對南極地表溫度的變化影響也是波動性的。該模型是聚類分析以及時間序列，SPSS的有效結(jié)合。

[1]IPCC.氣候變化 2007：聯(lián)合國政府間氣候變化專門委員會第四次評估報告[EB/OL]:[2007-04-23].http://www.ipcc.ch.

[2]Metzler,R Klafter J.The random walk’s guide to anomalous diffusion:a fractional dynamics approach[J].Phys.Rep.2000,339(1):1-77.

[3]Saichev A I,Zaslavsky G M.Fractional kinetic equations:solutions and applications[J].Chaos,1997, 7(4):753-764.

[4]Rossilihin Y,Shitikova M.Applications of fractional calculus to dynamic problems of linear and nonlinear hereditary mechanics of solids[J].Applied Mechanics Reviews,1997,50:15-67.

[5]Metzler R,Klafter J.Boundary value problems for fractional diffusion equations[J].Physical A:Stat.Mech.Appl.2000,278(1-2):107-125.

Cluster analysis and prediction for the average temperature in Antarctica

YIN Xiucao,LI Zhenzhu,FANG Xiaojing

(College of Mathematics and Information,South China Agricultural University,Guangzhou 510642,China)

Antarctica is a sensitive area of global change,because of the special geographic location of the Antarctic and unique natural environment.Analysis of the data observed in the Antarctic also has a very important significance.We get the 2000-2015 measured temperature data from the British Antarctic survey site.Because the observation point temperature may be affected by the impact of different factors,we use cluster analysis and then classify the observation points.Then we establish the time series model to search the temperature variations of observation points for different categories,to get the Antarctica’s average temperature.At last,we use time series analysis method to study the Antarctic surface temperature and time variations.

cluster analysis;time series;the modeling of ARIMA;the temperature prediction of Antarctica

1672-7010(2017)01-0016-07

2016-08-10

國家自然科學基金資助項目(61672356)

尹修草(1985-)，湖南邵陽人，講師，博士生，從事微分方程數(shù)值解研究，E-mail:tanzhen2856@163.com

O414.2 < class="emphasis_bold">文獻標志碼：A

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