何寧

找準(zhǔn)錯(cuò)因優(yōu)化策略

何寧

2016年中考數(shù)學(xué)命題中，全等三角形、等腰三角形、直角三角形的考查難度（綜合性）有所提升.本文以2016年中考試題為例，談一談同學(xué)們在解答此類問題時(shí)易出錯(cuò)的知識點(diǎn).

一、條件利用不足

例1（2016·南京）如圖1，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，△ABO≌△ADO，下列結(jié)論：

①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC，其中正確結(jié)論的序號是.

圖1

【錯(cuò)解】②③，漏掉①.

【解析】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì).

由△ABO≌△ADO得：

AB=AD，∠AOB=∠AOD=90°，

∠BAC=∠DAC，又AC=AC，

所以△ABC≌△ADC，CB=CD，

所以，①②③正確.

另外此圖中由于AO不一定等于CO，所以④不能選.

解題策略：充分分析已有條件，正面推理不易，可以假設(shè)成立，進(jìn)而反證.

二、常見結(jié)論不熟

例2（2016·蘇州）如圖2，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，點(diǎn)D、E分別在AB、BC上，且BD=BE=4，將△BDE沿DE所在直線折疊得到△B′DE（點(diǎn)B′在四邊形ADEC內(nèi)），連接AB′，則AB′的長為.

圖2

【錯(cuò)因】1.沒有發(fā)現(xiàn)△BDE、△B′DE是等邊三角形；2.誤認(rèn)為△ABC等邊；3.不知道構(gòu)造直角三角形求解.

【解答】解：如圖3，作DF⊥B′E于點(diǎn)F，

圖3

例3（2016·荊州）如圖4，將一張直角三角形ABC紙片沿斜邊AB上的中線CD剪開，得到△ACD，再將△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移開始后點(diǎn)D′未到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，A′C′交CD于E，D′C′交CB于點(diǎn)F，連接EF，當(dāng)四邊形EDD′F為菱形時(shí)，試探究△A′DE的形狀，并判斷△A′DE與△EFC′是否全等，請說明理由.

圖4

【錯(cuò)解】不少同學(xué)理不清條件、結(jié)論，找不到思路，還有一些同學(xué)把結(jié)論當(dāng)作條件用，最后再證題目要求的結(jié)論，這是典型的循環(huán)論證.

【解析】本題考查平移、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識解決問題，屬于中考常考題型.解題過程如下：

當(dāng)四邊形EDD′F為菱形時(shí)，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′.

解題策略：平移翻折出全等，直角中線有一半，線段相等找全等.

三、方法使用不當(dāng)

例4（2016·內(nèi)江）已知等邊三角形的邊長為3，點(diǎn)P為等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到三邊的距離之和為（）.

【錯(cuò)解】D.不少同學(xué)認(rèn)為P為任意一點(diǎn)，應(yīng)該有無數(shù)種情況.

【解析】如圖5，△ABC是等邊三角形，AB= 3，點(diǎn)P是三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別向三邊AB，BC，CA作垂線，垂足依次為D，E，F(xiàn)，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，則BH=，

解題策略：求線段，找勾股；距離變成高，面積來幫忙.

四、類比應(yīng)用不會(huì)

例5（2016·內(nèi)江）問題引入：

（1）如圖①，在△ABC中，點(diǎn)O是∠ABC和∠ACB平分線的交點(diǎn)，若∠A=α，則∠BOC=（用α表示）；如圖②，∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，∠A=α，則∠BOC=（用α表示）.

圖6

類比研究：

（3）BO，CO分別是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分線，它們交于點(diǎn)O，∠CBO=·∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=α，請猜想∠BOC =.

【錯(cuò)解】第（3）題無法解決.原因：（1）（2）題運(yùn)用內(nèi)角和知識解決，第（3）題轉(zhuǎn)換成外角，不少同學(xué)未能靈活轉(zhuǎn)換.

解題策略：三角形內(nèi)角和等于180°，或者三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.大膽使用代數(shù)方法，類比運(yùn)用學(xué)習(xí)過的常見結(jié)論，往往可以輕松得解.

小試身手

1.（2016·西寧）如圖7，已知正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是AB、BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF=45°，將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM.若AE=1，則FM的長為_____.

圖7

2.（2015·菏澤）如圖8，已知∠ABC=90°，D是直線AB上的點(diǎn)，AD=BC.

（1）如圖8，過點(diǎn)A作AF⊥AB，并截取AF= BD，連接DC、DF、CF，判斷△CDF的形狀并證明；

圖8

圖9

（2）如圖9，E是直線BC上一點(diǎn)，且CE= BD，直線AE、CD相交于點(diǎn)P，∠APD的度數(shù)是一個(gè)固定的值嗎？若是，請求出它的度數(shù)；若不是，請說明理由.

3.（2016·西寧）如圖10，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B是x軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為y，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖像大致是（）.

圖10

（作者單位：江蘇省東臺(tái)市唐洋鎮(zhèn)中學(xué)）

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