李艷玲，殷新麗，楊 劍（火箭軍工程大學(xué)，西安 710025）

基于核與灰度的區(qū)間灰數(shù)多屬性群決策方法*

李艷玲，殷新麗，楊 劍
（火箭軍工程大學(xué)，西安 710025）

針對(duì)屬性值為區(qū)間灰數(shù)且專(zhuān)家權(quán)重未知、屬性權(quán)重部分已知的不確定多屬性群決策問(wèn)題，提出了一種基于區(qū)間灰數(shù)的核和灰度的決策方法。給出了區(qū)間灰數(shù)的基于核和灰度的簡(jiǎn)化形式，充分利用區(qū)間灰數(shù)的核和灰度的信息建立優(yōu)化模型求得屬性的權(quán)重。在求出屬性權(quán)重的基礎(chǔ)上，運(yùn)用灰色關(guān)聯(lián)方法分別求取各專(zhuān)家的核與灰度距理想方案值的關(guān)聯(lián)系數(shù)，綜合兩者得到專(zhuān)家權(quán)重，最終綜合專(zhuān)家意見(jiàn)并對(duì)方案比較排序得出最優(yōu)結(jié)果。鑒于此，提出一種基于區(qū)間灰數(shù)相對(duì)核與灰度的決策方法。最后以一個(gè)算例驗(yàn)證該方法的有效性和可行性。

區(qū)間灰數(shù)，多屬性群決策，核，灰度

0 引言

由于事物的復(fù)雜性以及人類(lèi)認(rèn)識(shí)的模糊性，不確定多屬性決策問(wèn)題廣泛存在于經(jīng)濟(jì)、管理、軍事和工程等諸多領(lǐng)域。在傳統(tǒng)的決策方法中，決策數(shù)值通常是確定的數(shù)值。與現(xiàn)實(shí)情況相比，具有一定的差別。決策者通常無(wú)法給出效果測(cè)度以及專(zhuān)家權(quán)重、指標(biāo)權(quán)重的具體數(shù)值，給出的是一個(gè)決策區(qū)間范圍，相應(yīng)的決策問(wèn)題具有著不確定性，是傳統(tǒng)的確定性決策所無(wú)法解決的。故對(duì)不確定性多屬性決策具有重要意義。灰色系統(tǒng)理論是鄧聚龍老師創(chuàng)立的用于解決現(xiàn)實(shí)世界中不確定多屬性決策問(wèn)題的一種方法?；覕?shù)尤其是區(qū)間灰數(shù)的運(yùn)算、排序是灰色系統(tǒng)理論基礎(chǔ)，備受專(zhuān)家學(xué)者關(guān)注［1-4］。從現(xiàn)有文獻(xiàn)看，研究灰數(shù)的方法借鑒區(qū)間數(shù)，而區(qū)間數(shù)與區(qū)間灰數(shù)存在差別。文獻(xiàn)［5］研究的是用區(qū)間數(shù)間的比較，并排序，背離了區(qū)間灰數(shù)的本質(zhì)。文獻(xiàn)［6］給出了標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間灰度的比較和運(yùn)算法則，但僅是對(duì)幾種特殊情形進(jìn)行比較。文獻(xiàn)［7］構(gòu)建了基于區(qū)間灰數(shù)相離度的灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)以及關(guān)聯(lián)度，對(duì)決策屬性值為區(qū)間數(shù)且權(quán)重信息部分已知的灰色多屬性群決策問(wèn)題進(jìn)行排序。文獻(xiàn)［8］提出了標(biāo)準(zhǔn)灰數(shù)、灰數(shù)的核和灰度的概念，建立了區(qū)間灰數(shù)的額運(yùn)算公理、運(yùn)算法則以及灰代數(shù)系統(tǒng)。而運(yùn)用此方法去解決專(zhuān)家權(quán)重未知以及指標(biāo)權(quán)重未知情況下的不確定多屬性決策問(wèn)題，則比較少。為此，本文首先引入?yún)^(qū)間灰數(shù)的核與灰度的定義，給出了區(qū)間灰數(shù)的簡(jiǎn)化形式，定義了標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間灰數(shù)，將決策矩陣轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)灰數(shù)的簡(jiǎn)化形式。在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用灰色關(guān)聯(lián)度求取專(zhuān)家們的關(guān)聯(lián)系數(shù)，并求得專(zhuān)家權(quán)重。建立非線(xiàn)性規(guī)劃模型，分別求得基于核與灰度的權(quán)重，由此得出屬性權(quán)重。根據(jù)專(zhuān)家權(quán)重與屬性權(quán)重，可以得出方案的綜合評(píng)價(jià)值，根據(jù)區(qū)間灰數(shù)的相對(duì)核和精度的排序方法，進(jìn)行排序并選擇最優(yōu)方案。

1 基本概念和定義

命題1 對(duì)于區(qū)間灰數(shù)而言，其簡(jiǎn)化形式既包含區(qū)間灰數(shù)上限和下限的信息，又與區(qū)間灰數(shù)一一對(duì)應(yīng)，即區(qū)間灰數(shù)的簡(jiǎn)化形式與原區(qū)間灰數(shù)具有同等的信息量。給定區(qū)間灰數(shù)，按照核和灰度的定義可以分別計(jì)算出核和灰度，即可得區(qū)間灰數(shù)的簡(jiǎn)化形式；反過(guò)來(lái)，當(dāng)簡(jiǎn)化形式已知時(shí)，可以根據(jù)核確定區(qū)間灰數(shù)核的中心位置，同時(shí)根據(jù)灰度計(jì)算出區(qū)間灰數(shù)的測(cè)度，進(jìn)而得到區(qū)間灰數(shù)取值的上限和下限，從而得到區(qū)間灰數(shù)，區(qū)間灰數(shù)與其簡(jiǎn)化形式一一對(duì)應(yīng)［8］。

公理1 兩個(gè)灰度不同的區(qū)間灰數(shù)進(jìn)行和、差、積、商運(yùn)算時(shí)，運(yùn)算結(jié)果的灰度不小于灰度較大的區(qū)間灰數(shù)的灰度［8］。

灰數(shù)的運(yùn)算法則可以推廣到有限個(gè)灰數(shù)進(jìn)行和、差、積、商運(yùn)算的情形。當(dāng)若干個(gè)區(qū)間灰數(shù)進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，首先對(duì)核作相應(yīng)運(yùn)算，然后按照取大準(zhǔn)則得到運(yùn)算結(jié)果的灰度，從而可得運(yùn)算結(jié)果的簡(jiǎn)化形式。區(qū)間灰數(shù)是由區(qū)間灰數(shù)的核和區(qū)間灰數(shù)的灰度兩個(gè)因素決定的，因此，區(qū)間灰數(shù)的比較既要考慮到核也要考慮到灰度。下面給出標(biāo)準(zhǔn)灰數(shù)的相對(duì)核的概念。

當(dāng)區(qū)間灰數(shù)的灰度為零時(shí)，區(qū)間灰數(shù)的比較就轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)之間的比較。

2 基于核和灰度的區(qū)間灰數(shù)多屬性決策模型

2.1 問(wèn)題描述

設(shè)不確定多屬性決策問(wèn)題有m個(gè)決策方案集為S=（s1，s2，…，sm），n個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)組成的屬性值為的C={c1，c2，…，cn}。屬性權(quán)重為w=（w1，w2，…，wn），其中wjL≤wj≤wjU，0≤wjL≤wjU≤1且。決策者在指標(biāo)j下對(duì)方案i的評(píng)價(jià)值為區(qū)間灰數(shù)，其中xijL和 xijU分別為方案si在指標(biāo)cj下的效果樣本值的下限和上限。專(zhuān)家l={1，2，…，k}對(duì)方案集S對(duì)指標(biāo)集C的效果樣本矩陣為（uijl）m×n。

2.2 指標(biāo)權(quán)重確定

由下面的規(guī)劃模型M1可以求得基于核的權(quán)重。

由下面的規(guī)劃模型M2可以求得基于灰度的權(quán)重。

設(shè)由規(guī)劃模型M1求得的基于核的權(quán)重向量為w'=（w'1，w'2，…，w'n），由規(guī)劃模型M2求得的基于灰度的權(quán)重向量為w''=（w''1，w''2，…，w''n），則綜合權(quán)重為w=（w1，w2，…，wn），其中wj=βwj'+（1-β）wj''（0＜β＜1），則專(zhuān)家l的方案集的綜合屬性值為。

2.3 專(zhuān)家權(quán)重確定

由2.2節(jié)求出的綜合屬性權(quán)重wj，利用以下方式集結(jié)方案綜合核與半徑:

通過(guò)計(jì)算第l個(gè)決策者給出的屬性值與核正理想方案的灰關(guān)聯(lián)系數(shù)，得到?jīng)Q策者權(quán)重。第l個(gè)決策者給出的屬性值與核正理想方案屬性值之間的灰關(guān)聯(lián)系數(shù)為

故第l個(gè)決策者綜合關(guān)聯(lián)系數(shù)為:

將決策者權(quán)重代入屬性權(quán)重計(jì)算公式，重新計(jì)算綜合屬性權(quán)重wjl，最后，計(jì)算方案的綜合核評(píng)價(jià)值為

運(yùn)用相應(yīng)的排序方法進(jìn)行比較和判斷。

3 算例分析

為了說(shuō)明本文提出的模型及排序方法的有效性。下面給出一個(gè)實(shí)際例子。某國(guó)家國(guó)防部擬發(fā)展一種導(dǎo)彈武器裝備，研制部門(mén)提供了4種新型導(dǎo)彈。該國(guó)防部派出的專(zhuān)家組對(duì)4種導(dǎo)彈的戰(zhàn)術(shù)技術(shù)指標(biāo)進(jìn)行了詳細(xì)考察，考察表如下，問(wèn)應(yīng)選擇哪一種導(dǎo)彈性能最佳。

針對(duì)4種型號(hào)B=（B1，B2，B3，B4）的導(dǎo)彈，導(dǎo)彈屬性選取主要有:命中精度、彈頭載荷、機(jī)動(dòng)性能、價(jià)格以及可靠性、可維修性。

以下矩陣列表示表示導(dǎo)彈的屬性值，矩陣行分別表示4位專(zhuān)家。Bij（l）表示在第l位專(zhuān)家對(duì)i型導(dǎo)彈第j個(gè)屬性值的區(qū)間灰數(shù)。

第1步:根據(jù)調(diào)查所對(duì)應(yīng)的各能力指數(shù)，可建立評(píng)價(jià)值樣本矩陣如下:

轉(zhuǎn)換為基于核和灰度的決策矩陣為:

第2步:且屬性值范圍為:

由規(guī)劃模型M1求得的基于核的權(quán)重向量為:

由規(guī)劃模型M2求得的基于灰度的權(quán)重向量為:

取β=0.5，得到屬性值的綜合權(quán)重為:

第3步:由第1步得到的屬性權(quán)重加權(quán)得到每位專(zhuān)家對(duì)各個(gè)方案的綜合屬性值為:

故得到核正理想方案為:

專(zhuān)家與核正理想的關(guān)聯(lián)系數(shù)為:

專(zhuān)家與灰度正理想的關(guān)聯(lián)系數(shù)為:

即專(zhuān)家權(quán)重為:

第4步:綜合專(zhuān)家意見(jiàn)可得B1，B2，B3，B4方案核的綜合結(jié)果為:（0.525 1，0.516 7，0.498 8，0.494 1）。

即第一個(gè)方案最好。

4 結(jié)論

對(duì)于專(zhuān)家權(quán)重未知、屬性權(quán)重信息部分已知且決策信息為區(qū)間灰數(shù)的不確定性多屬性決策問(wèn)題，以灰色系統(tǒng)理論的思想和方法為基礎(chǔ)，充分利用區(qū)間灰數(shù)的核和灰度的信息建立優(yōu)化模型求屬性的權(quán)重，在求出屬性權(quán)重的基礎(chǔ)上，運(yùn)用灰色關(guān)聯(lián)方法分別求取基于核與灰度的關(guān)聯(lián)系數(shù)，綜合得到專(zhuān)家權(quán)重，則可得到方案集的專(zhuān)家意見(jiàn)的綜合值，比較各個(gè)方案的綜合值，比較并排序。基于核和灰度的區(qū)間灰數(shù)的決策模型充分發(fā)揮核與灰度兩個(gè)方面，簡(jiǎn)潔合理，考慮了區(qū)間灰數(shù)的特征，使得決策結(jié)果更為科學(xué)合理。

［1］JIANG C，HAN X，LIU G R.A nonlinear interval number programming method for uncertain optimization problems［J］. European J of Operational Research，2008，188（1）:1-13.

［2］方志耕，劉思峰，陸芳，等.區(qū)間灰數(shù)表征與算法改進(jìn)及其GM（1，1）模型應(yīng)用研究［J］.中國(guó)工程科學(xué)，2005，7（2）: 57-61.

［3］XU Z S.Dependent uncertain ordered weighted aggregation operators［J］.Information Fusion，2008，9（2）:310-316.

［4］謝乃明，劉思峰.考慮概率分布的灰數(shù)排序方法［J］.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2009，29（4）:169-175.

［5］XU Z S.Dependent uncertain ordered weighted aggregation operators［J］.Information Fusion，2008，9（2）:310-316.

［6］方志耕，劉思峰，陸芳，等.區(qū)間灰數(shù)表征與算法改進(jìn)及其GM（1，1）模型應(yīng)用研究［J］.中國(guó)工程科學(xué)，2005，7（2）: 57-61.

［7］陳孝新，劉思峰.一種部分權(quán)重信息的灰色多屬性群決策方法［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2009，31（4）:843—846.

［8］劉思峰，方志耕，謝乃明.基于核和灰度的區(qū)間灰數(shù)運(yùn)算法則［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2010，32（2）:313-316.

［9］閆書(shū)麗，劉思峰，朱建軍，等.基于相對(duì)核和精確度的灰數(shù)排序方法［J］.控制與決策，2014，29（2）:315-319.

Multi-attribute Group Decision Making Model Based on Kernel and Degree of Greyness of Interval Grey Numbers

LI Yan-ling，YIN Xin-li，YANG Jian
（Rocket Force University of Engineering，Xi’an 710025，China）

In view of the multi-objective group decision problem that the attribute values are interval grey numbers and the weights of experts unknown，the attribute weights partially known，the multi-objective decision-making method based on the kernel and the degree of greyness of the interval grey numbers is proposed.Simplified formation of Interval grey Numbers is given based on kernel and degree of greyness.The optimization model based on the kernel and the degree of greyness of the interval grey numbers is set up and the attribute weights can be solved.The schemes are aggregates with attribute weights.To calculate the grey correlation coefficient separately ofthe kernel and the degree of greyness of the interval grey numbers and combine both of them，then the weights of experts can be obtained.Aggregate the expert opinion and compare the scores of schemes，the best scheme can be chosen.Based on this，a kind of Multi-attribute decision making model is put forward.Based on the kernel and the degree of greyness of the interval grey numbers.Finally，a numerical example to verify the feasibility and effectiveness of the method.

interval grey numbers，Multi-attribute group decision making，the kernel，the degree of greyness

C934

A

1002-0640（2017）03-0017-04

2016-01-12

2016-02-14

國(guó)家自然科學(xué)基金青年基金資助項(xiàng)目（61501471）

李艷玲（1972- ），女，陜西西安人，教授，博士后。研究方向：決策支持。