陳 勇,李 鵬，宋樹平，馬宏忠，施 健

(1.宜興市電力勘察設計研究院,江蘇 宜興 214200；2.黃河小浪底水資源投資有限公司，河南 鄭州 450000；3.河海大學能源與電氣學院，江蘇 南京 211100；4.宜興市供電公司,江蘇 宜興 214206)

五項最小旁瓣窗插值方法電力諧波參數(shù)估計

陳 勇1,李 鵬2，宋樹平3，馬宏忠3，施 健4

(1.宜興市電力勘察設計研究院,江蘇 宜興 214200；2.黃河小浪底水資源投資有限公司，河南 鄭州 450000；3.河海大學能源與電氣學院，江蘇 南京 211100；4.宜興市供電公司,江蘇 宜興 214206)

為解決快速傅里葉變換方法在實際應用中遇到的頻譜泄漏和柵欄效應問題，并提高其測量的準確度，提出了一種加窗插值快速傅里葉變換方法。選用五項最小旁瓣窗對采樣數(shù)據(jù)加權，以抑制由于非同步采樣導致的頻譜泄漏；采用基于多項式擬合的插值方法消除柵欄效應。通過Matlab仿真軟件，在基波頻率波動和噪聲條件下，比較了五項最小旁瓣窗插值方法與既有電力諧波參數(shù)估計方法，有效驗證了五項最小旁瓣窗插值方法的準確性。通過試驗環(huán)境下的電力諧波測量，進一步驗證了五項最小旁瓣窗插值方法的有效性。仿真分析和試驗研究結果表明，五項最小旁瓣窗插值方法有效解決了頻譜泄漏和柵欄效應問題，能夠準確提取包括弱諧波分量在內(nèi)的各次諧波。

能源； 電力； 智能電網(wǎng)； 配電； 諧波； 傅里葉變換； 噪聲

0 引言

當前，由于高壓直流技術的逐漸應用及分布式發(fā)電系統(tǒng)所占發(fā)電比例的不斷增大，配電網(wǎng)諧波污染日益嚴重，這使得諧波參數(shù)不易被估計[1-3]。此外，電網(wǎng)智能化的發(fā)展對諧波參數(shù)估計的實時性、準確性等方面要求更高[4]。因此，諧波參數(shù)估計方法面臨新的挑戰(zhàn)。

快速傅里葉變換(fast Fourier transform，F(xiàn)FT)方法簡單可靠、計算速度快，是當前最為常用的電力諧波參數(shù)估計方法之一[5]。在同步采樣情況下，該方法能夠準確估計各次諧波的幅值、初相位和頻率。然而，由于受到電網(wǎng)頻率波動、間諧波等的影響，同步采樣較難實現(xiàn)[6]。在非同步采樣的情況下，F(xiàn)FT方法會因頻譜泄漏和柵欄效應問題影響測量準確度[7]。對于頻譜泄漏和柵欄效應問題，主要的解決方法是采用基于加窗的頻譜校正法[8-10]。當前，學者們已提出了一些基于加窗的頻譜校正方法，如基于加窗FFT的插值方法[11]、相位差法[12]等。與FFT方法相比，這些改進的FFT方法提高了電力諧波參數(shù)估計的精度，但仍然存在不能有效提取弱諧波分量、不易在嵌入式系統(tǒng)中實現(xiàn)等問題，影響了其實際應用。

電力諧波分析時，組合余弦窗函數(shù)通常被用來對采樣數(shù)據(jù)加權[13]；同時，電網(wǎng)內(nèi)的諧波以奇次諧波為主，偶次諧波的估計結果易受干擾[14]。為了有效提取偶次諧波分量，所用余弦窗函數(shù)需有效抑制偶次諧波附近的奇次諧波產(chǎn)生的頻譜泄漏。因此，本文選用五項最小旁瓣余弦窗(minimize sidelobe cosine windows,MSCW)[15-16]對電力諧波信號的采樣數(shù)據(jù)加權。五項MSCW具有較低的旁瓣峰值電平，僅為-125 dB，故與其他類型余弦窗函數(shù)相比，其抑制相鄰諧波分量之間頻譜泄漏的效果更好。在此基礎上，提出基于五項MSCW的插值多項式擬合法，用于估計電力諧波參數(shù)。該方法無迭代等復雜運算，求解諧波參數(shù)的公式較為簡單，在電網(wǎng)基波頻率波動及噪聲干擾下，均能準確估計包括弱諧波分量在內(nèi)的各次諧波參數(shù)。

1 五項MSCW

(1)

w(n)的窗系數(shù)am滿足歸一化條件：

(2)

在設計五項MSCW時，為了降低旁瓣，需在其窗函數(shù)頻譜的第一個到第四個旁瓣內(nèi)分別添加相應的零點。根據(jù)此約束條件，并結合式(2)，可推導出五項MSCW的窗系數(shù)。其窗系數(shù)a0～a4依次為0.323 215、0.471 492、0.175 534、0.028 497、0.001 262。

(3)

五項MSCW的幅頻特性可表示為：

(4)

五項MSCW、四項布萊克曼-哈里斯(Blackman-Harris,B-H)窗及五項最小旁瓣平頂(minimum-sidelobe flat-top,MS-FT)窗的幅頻特性曲線如圖1所示。

圖1 窗函數(shù)頻譜特性曲線

從圖1可以看出，五項MSCW的旁瓣峰值電平明顯小于另外兩個窗函數(shù)的旁瓣峰值電平，故其能更有效地抑制相鄰諧波分量之間的干擾。

2 基于五項MSCW的插值多項式擬合方法

(5)

式中：Ak、fk和θk分別為第k次諧波的幅值、頻率及初相位；K為最高諧波次數(shù)；Ts為信號采樣周期。

在時域內(nèi)，用長度為N的五項最小旁瓣窗g(n)對序列x(n)加權，得到xN(n)。然后，對xN(n)進行離散傅里葉變換。假設任意第k次諧波的頻域函數(shù)為：

(6)

式中：G(·)為五項MSCW的頻域函數(shù)，各次諧波的頻率被頻率分辨率F1(F1=1/NTs)歸一化；λk、λq分別為第k次和其他次諧波的歸一化值。另外，式(6)中等號右邊第一項為第k次諧波產(chǎn)生的譜線，第二項和第三項為包括負頻率諧波在內(nèi)的其他頻次諧波對第k次諧波的旁瓣干擾。

在忽略其他次諧波對第k次諧波干擾情況下，式(6)可表示為：

(7)

在非同步采樣條件下，第k次諧波的頻率不是頻率分辨率的整數(shù)倍，故λ-λk≠0。設歸一化頻域軸上，坐標為p和p+1的譜線為第k次諧波峰值點附近最大的兩條譜線，此時第k次諧波的譜線處在這兩條譜線之間。令Δλ=λk-p，則0≤Δλ≤1。設離散頻率點p和p+1處譜線的幅值分別為yp和yp+1。根據(jù)式(7)，yP=|X(p)|，yp+1=|X(p+1)|。

(8)

由式(8)可知，α為ζ的函數(shù)，記α=f(ζ)。則其反函數(shù)為：

ζ=f-1(α)

(9)

將式(3)代入式(9)，并利用多項式擬合方法，求解α與ζ之間的關系表達式。當多項式擬合的最高次數(shù)為5時，可得到：

ζ=-0.184 837α5-0.406 875α3-3.185 121α

(10)

在進行實際電力諧波分析時，α為已知值，因此，根據(jù)式(10)可求得ζ。然后，可分別求得第k次諧波的頻率、幅值和初相位。

fk=(p+ζ+0.5)F1

(11)

(12)

(13)

式中：Fp、Ep分別為歸一化頻率點p處譜線的虛部和實部。

3 仿真分析

以電力系統(tǒng)諧波電壓信號為例，用Matlab軟件對本文所述方法進行了仿真分析。五項MSCW的旁瓣峰值電平低于-58dB，故仿真分析未計及間諧波及初始相位敏感性[17]，只計及基波頻率波動及白噪聲對所提方法的影響。

3.1 基波頻率波動下的諧波參數(shù)估計

仿真分析選用文獻[18]所用電力信號模型，其表達式為：

(14)

式(15)中，諧波幅值和初相位的設置值見表1?；l率在49.5～50.5 Hz之間波動，步長為0.1 Hz；采樣頻率為2 500 Hz。

表1 仿真信號的參數(shù)設置

仿真所用方法包括漢寧窗插值方法[18]、布萊克曼窗插值方法[19]及本文所提方法。其中，漢寧窗插值方法和布萊克曼窗插值方法分析諧波參數(shù)時的采樣點數(shù)為1 024，本文方法插值點數(shù)為512。對于實際電網(wǎng)諧波而言，基波信號的幅值較大，遠大于其他次諧波，故2次諧波受到的頻譜泄漏影響最大。為了驗證本文方法提取信號的能力，以2次諧波為例進行仿真。第2次諧波頻率相對誤差對比如圖2所示。

圖2 第2次諧波頻率相對誤差對比圖

由圖2可以看出，在基波頻率波動下，本文方法估計2次諧波頻率的誤差較小，穩(wěn)定在10-2%數(shù)量級；與基于漢寧窗和布萊克曼窗的插值方法相比，本文方法的2次諧波頻率估計準確度提高了1～2個數(shù)量級。因此，本文方法具有較好的提取信號能力，有效克服了電網(wǎng)頻率波動影響。

此外，在仿真分析過程中，本文方法所用數(shù)據(jù)的長度僅為漢寧窗和布萊克曼窗插值方法的一半，因此減少了諧波參數(shù)估計過程的計算工作量。

3.2 噪聲下的諧波參數(shù)估計

實際的電力系統(tǒng)信號都含有一定的噪聲，像風電場等場合的電流和電壓信號中的噪聲干擾尤其嚴重，因此，有必要研究諧波參數(shù)估計方法的抗噪能力。

將均值為零的白噪聲疊加到式(14)的信號中，使信噪比(signal noise ratio，SNR)從10 dB增大到100 dB，步長為10 dB。此條件下，式(14)信號設置的參數(shù)及諧波參數(shù)估計方法不變，重復3.1節(jié)的試驗，多次測量諧波參數(shù)并對這些測量值相加取平均值，然后，計算各次諧波參數(shù)估計值的相對誤差。限于篇幅，僅列出了第4次諧波幅值的相對誤差，如圖3所示。

圖3 第4次諧波幅值相對誤差對比圖

由圖3可知，當SNR<50 dB時，漢寧窗、布萊克曼窗插值及本文方法諧波參數(shù)估計的結果受到的噪聲影響都較大；當SNR≥50 dB，隨著SNR的增大，三種方法的諧波分析準確度都得到提高，但本文方法的諧波參數(shù)估計精度要高于另兩種方法。因此，上述仿真分析驗證了本文方法在噪聲下的諧波分析能力。

4 試驗研究

諧波信號由北京博電S40A提供。S40A的電壓和電流幅值準確度為0.2%，頻率準確度為0.001 Hz，初相位準確度為±0.2°。信號采集系統(tǒng)為IOTECH 781278-01，其A/D位數(shù)為24 bits,采樣速率最高可達105.4 kS/s。數(shù)字處理系統(tǒng)(digital signal processing,DSP)處理器為TI浮點TMS320C6748，主頻為456 MHz。試驗中，為了滿足實時電力諧波分析需要，TMS320C6748的主頻設置為300 MHz。

表2給出了漢寧窗與本文方法的測量結果，以百分比相對誤差形式給出。試驗中，采樣頻率為5 000 Hz，文獻方法諧波分析時的數(shù)據(jù)長度為1 500，本文方法所用數(shù)據(jù)長度為1 024。

根據(jù)表2的測量結果可知，本文方法的測量精度高于漢寧窗插值方法，尤其是偶次諧波分量的檢測精度。此外，試驗中本文方法所用采樣數(shù)據(jù)點數(shù)少于漢寧窗插值方法，故本文方法計算量小，更易于實現(xiàn)。

表2 諧波電流幅值測量結果

5 結束語

本文提出了一種基于五項MSCW窗的插值FFT方法，用于非同步采樣下的電力系統(tǒng)諧波參數(shù)估計。理論分析、仿真及現(xiàn)場測試結果表明：①五項MSCW窗具有極小的旁瓣峰值電平，能夠有效抑制臨近諧波信號的干擾，較適用于電力系統(tǒng)諧波分析；②基于五項MSCW的插值多項式諧波參數(shù)估計精度高，在基波頻率波動及存在噪聲的情況下均能準確估計諧波參數(shù)，此外，所述方法無需求解高階方程，同時能夠明顯縮短諧波參數(shù)估計時的數(shù)據(jù)長度，減少了計算工作量；③該方法對硬件無要求，易于在嵌入式系統(tǒng)中實現(xiàn)。

[1] KUMAR D,ZARE F.Harmonic analysis of grid connected power electronic system in low voltage distribution networks [J].IEEE Journal of Emerging and Selected Topics in Power Electronics,2016,4(1):70-79.

[2] 劉闖，潘岱棟，蔡國偉，等，適合低壓配電網(wǎng)分布式發(fā)電的抗諧波干擾型增強鎖相環(huán)路技術[J].電工技術學報，2016，31(10):185-192.

[3] 林海雪.電能質(zhì)量的完善化及其展望[J].中國電機工程學報，2014,34(29):5073-5079.

[4] BARCHI G,MACII D,PETRI D.Synchrophasor estimations accuracy:a comparative analysis[J].IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement,2013,62(5):963-973.

[5] WEN H,TENG Z S,GUO S Y.Triangular self-convolution window with desirable sidelobe behaviors for harmonic analysis of power system[J].IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement,2010,59(3):543-552.

[6] RELJIN I S,RELJIN B D,PAPIC V D.Extremely flat-top windows for harmonic analysis[J].IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement,2007,56(3):1025-1041.

[7] ZENG B,Teng Z S.Parameter estimation of power system signals based on cosine self-convolution window with desirable side-lobe behaviors [J].IEEE Transactions on Power Delivery,2011,26(1):250-257.

[8] ORALLO C M,CARUGATI I.Harmonics measurement with a modulated sliding discrete fourier transform algorithm[J].IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement,2014,63(4):781-793.

[9] 肖先勇,王楠,劉亞梅.基于多項式逼近的單峰譜線插值算法在間諧波分析中的應用[J].電網(wǎng)技術，2008，32(18):57-61.

[10]熊杰鋒，王柏林，孫艷.加過零檢測的電力諧波加窗算法[J].自動化儀表，2009，30(12):9-11.

[11]宋樹平，馬宏忠，徐剛，等.五項最大旁瓣速率窗插值電力諧波分析[J].電力系統(tǒng)自動化，2015，39(22):83-88.

[12]許珉，張文強，王兆強，等.基于加窗遞推DFT算法的快速相位差校正法研究[J].電力系統(tǒng)保護與控制，2010，38(14):1-4.

[13]潘文，錢俞壽，周鶚.基于加窗插值FFT的電力諧波測量理論(I)窗函數(shù)研究[J].電工技術學報，1994(1):50-54.

[14]ZENG B,ZHOU Y B,TENG Z S,et al.A novel approach for harmonic parameters estimation under nonstationary situations [J].International Journal of Electrical Power and Energy Systems,2012(44):930-937.

[15]NUTTALL A.Some windows with very good sidelobe behavior [J].IEEE Transactions on Acoustics,Speech,and Signal Processing,1981,29 (1):84-91.

[16]ALBRECHT H H.A family of cosine-sum windows for high-resolution measurements [J].IEEE International Conference on Acoustics，Speech，and Signal Processing,2001:3081-3084.

[17]馬宏忠，宋樹平，鞠平.基于加窗離散傅里葉算法的諧波分析初始相位敏感性研究[J].電力系統(tǒng)自動化，2014,38(12):88-93.

[18]張伏生，耿中行，葛耀中．電力系統(tǒng)諧波分析的高準確度 FFT 算法[J]．中國電機工程學報，1999，19(3)：63-66．

[19]WU J,ZHAO W.A simple interpolation algorithm for measuring multi-frequency signal based on DFT [J].Measurement,2009,42(2):322-327.

Interpolation Method of 5-Term Minimum Sidelobe Window for Parameter Estimation of Power Harmonics

CHEN Yong1,LI Peng2,SONG Shuping3,MA Hongzhong3,SHI Jian4

(1.Yixing Electric Power Survey and Design Institute,Yixing 214200,China;2.The Yellow River Xiaolangdi Resources Investment Limited Company,Zhengzhou 450000,China;3.College of Energy and Electrical Engineering,Hohai University,Nanjing 211100,China;4.Yixing Power Supply Company,Yixing 214206,China)

To overcome the problems of spectral leakage and fence effect in application of the fast Fourier transform (FFT) method and to improve the accuracy of the harmonic measurement,a windowed interpolation FFT method is proposed.The 5-term minimize sidelobe window is adopted for weighting the sampling data to suppress spectral leakage caused by asynchronous sampling;then,the interpolation algorithm based on polynomial fitting is employed to eliminate fence effect.Through Matlab simulation software,under the conditions of fundamental frequency fluctuation and noises,the 5-term minimum sidelobe window interpolation method and existed power harmonic parameter estimation method are compared;the accuracy of the method proposed is effectively verified.Through the electric power harmonic measurement under test environment,the effectiveness of the method proposed is verified in further.The results of simulation analysis and experimental research indicate that the interpolation method proposed effectively overcome the problems of spectral leakage and fence effect,it precisely extracts all the harmonics,including the weak components.

Energy； Electric power； Smart grid; Power distribution； Harmonic; Fourier transform； Noise

國家自然科學基金資助項目(51577050)、國家電網(wǎng)無錫供電公司科技基金資助項目(5210301503RQ)

陳勇(1975—)，男，碩士，高級工程師，主要從事電力系統(tǒng)自動化、電能計量方向的研究。E-mail:liusuifeng2000@163.com。 宋樹平(通信作者)，男，在讀博士研究生，主要從事電力諧波分析、電力系統(tǒng)故障診斷方向的研究。E-mail:ssp17@126.com。

TH86;TP202+.2

A

10.16086/j.cnki.issn1000-0380.201704011

修改稿收到日期：2017-01-17