解永鋒，周文勇，杜大程，陳 益，王傳魁

（北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京，100076）

有限推力機動變軌能力包絡快速計算分析

解永鋒，周文勇，杜大程，陳 益，王傳魁

（北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京，100076）

通過設計加權的組合性能指標函數(shù)，將機動變軌能力包絡計算評估問題轉化為一系列使組合性能指標最優(yōu)的飛行任務規(guī)劃問題求解，并采用求解精度高、收斂速度快的偽譜結點-非線性規(guī)劃方法將存在多個推進-滑行段的最優(yōu)任務規(guī)劃問題離散轉換并快速求解。算例仿真表明，采用該方法可以綜合評估限定推進劑耗量、程序角速率限幅等約束下的機動變軌能力包絡，給出滿足可控性要求的最優(yōu)飛行軌道，進而可以增強小推力長期在軌機動飛行器的多樣化任務適應能力。

機動變軌；能力包絡；任務規(guī)劃；偽譜結點

0 引 言

為滿足空間多樣化任務需求，軌道機動飛行器在軌機動過程通常分為變軌任務規(guī)劃和主動變軌實施兩個階段，在變軌任務規(guī)劃階段，需要根據(jù)飛行器當前飛行軌道以及目標軌道進行變軌策略規(guī)劃，包括對發(fā)動機工作次數(shù)、點火時刻、主動段飛行程序角規(guī)劃；在主動變軌實施階段，需要根據(jù)規(guī)劃方案，進行主動變軌前調姿，然后軌控發(fā)動機按要求工作，實現(xiàn)變軌機動。對于長期在軌采用有限推力的軌道機動飛行器而言，由于攜帶的推進劑有限，必須在綜合評估其剩余機動變軌能力的基礎上，根據(jù)任務目標，制定兼顧機動變軌時間和燃料耗量的變軌策略，以保障軌道機動飛行器的后續(xù)任務執(zhí)行能力。

目前有關空間軌道轉移優(yōu)化的文獻較多[1～4]，但大多是針對固定目標軌道的優(yōu)化算法研究，通常采用簡化的軌道動力學模型，不考慮程序角速率限幅和程序角限制，以燃料消耗最優(yōu)作為性能指標函數(shù)，優(yōu)化得到的飛行軌跡并未考慮工程可實現(xiàn)性，而優(yōu)化算法亦不能用于真實飛行任務規(guī)劃和變軌能力評估層面。本文以最優(yōu)控制理論為基礎，采用偽譜結點-非線性規(guī)劃方法，通過引入偽控制量，將機動變軌能力包絡計算評估問題轉化為一系列使組合性能指標最優(yōu)的機動變軌任務規(guī)劃問題，規(guī)劃得到的飛行軌道程序角平滑且可自動滿足角速率限幅約束，具備工程可實現(xiàn)性。

1 空間軌道動力學描述

1.1 動力學模型

地心發(fā)射慣性坐標系下建立的空間飛行器的三自由度質點運動方程為

式中r,V為慣性位置和速度向量；g(r)為考慮 J2引力項攝動的重力加速度；T為發(fā)動機推力，與飛行器縱軸方向相同；vacT為最大真空推力幅值；η為發(fā)動機節(jié)流閥值，η＞0；spI為發(fā)動機比沖；m為飛行器質量；g0為海平面重力加速度； 1b為單位向量，表示縱軸方向，與俯仰及偏航程序角(,)φ ψ的對應關系為

1.2 飛行約束

機動變軌需滿足的狀態(tài)變量和控制量約束條件為

式中minmax,ηη為節(jié)流閥約束的上、下邊界，若發(fā)動機為固定推力，ηmin=ηmax=1；φmin,φmax,ψmin,ψmax為俯仰、偏航程序角約束的上、下邊界；,為程序角速率

限幅值。

2 偽譜最優(yōu)控制

2.1 最優(yōu)控制問題描述

針對空間軌道規(guī)劃問題的特點，定義最優(yōu)控制問題(B)為：a）尋求狀態(tài)-控制函數(shù)對(x, u)∈RNx×RNu和可能未知的端點時刻τ0和τf；b）以最小化設定的性能指標函數(shù)；c）滿足狀態(tài)-控制變量約束、動態(tài)約束（狀態(tài)方程約束）、軌道約束和端點約束等，表示為

并且滿足：

式中x為狀態(tài)變量，x∈RNx；xL,xU分別為狀態(tài)變量約束的上、下界；u為控制變量，u∈RNu；uL,uU分別為控制變量約束的上、下界；E為終端性能指標，；F，f為性能指標函數(shù)，函數(shù)中的拉格朗日項、狀態(tài)方程右端項為，；h為狀態(tài)-控制混合軌道約束，；hL,hU分別為軌道約束的上、下邊界；e為端點約束，；uL,uU分別為端點約束的上、下邊界。

2.2 偽譜最優(yōu)控制問題轉化

為達到節(jié)省燃料的目的，機動變軌可能以推進-滑行-推進的模式進行，對于這類多階段并存在狀態(tài)量、控制量不連續(xù)的最優(yōu)控制問題，可采用偽譜結點法[5]進行處理，將最優(yōu)控制問題轉換為非線性規(guī)劃問題，并利用成熟的非線性規(guī)劃方法求解。

不失一般性，以兩階段最優(yōu)控制問題為例，每一階段的問題形式與2.1節(jié)問題()B相同。定義τe是中間時間點（偽譜結點），兩段時間子區(qū)間分別為，則最優(yōu)控制問題可以離散轉化為

以及事件時間點 τ0,τe,τf，以滿足如下約束：

式中N1, N2為計算節(jié)點數(shù)；為(Ni+1)×(Ni+1)維微分矩陣，為N階拉格朗日插值多項式，并最小化性能指標為

關于偽譜結點法的詳細介紹可參考文獻[5]，在此不再詳述。

2.3 光滑控制生成

為保證控制量-俯仰及偏航程序角變化平滑，引入程序角的變化率作為偽控制量，而原控制量作為新的狀態(tài)變量，擴展后的狀態(tài)方程為

2.4 性能指標

若要衡量變軌機動對軌道面的改變能力，則可定義軌道傾角及升交點赤經(jīng)的加權組合作為性能指標函數(shù)即：

式中w為權重因子，w∈[0,1]；if,?f分別為主動變軌段終端軌道傾角及升交點赤經(jīng)。并限定發(fā)動機最大工作時間以表征所允許的最大推進劑耗量。軌道傾角及升交點赤經(jīng)同時調整的能力包絡計算可以轉化為求解給定終端飛行約束和路徑約束，并采用考慮J2引力項攝動的軌道動力學方程，以最優(yōu)化上述組合性能指標的最優(yōu)控制問題。

對于終端軌道固定的機動變軌任務，為使燃料消耗最優(yōu)，可采用如下性能指標函數(shù)：

3 算例分析

3.1 異面機動軌道規(guī)劃

假設在軌機動飛行器初始質量1 860 kg、主發(fā)動機推力2 000 N、比沖為290.5 s，推進劑加注量700 kg，飛行器初始及終端軌道約束見表1。俯仰及偏航程序角限幅值取1.5（°）/s。以燃料消耗最優(yōu)作為性能指標，分別基于偽譜最優(yōu)控制方法規(guī)劃一次變軌和兩次變軌模式的飛行軌道。

表1 機動變軌段端點約束

3.1.1 一次變軌模式

圖1 俯仰程序角及其變化率

圖2 偏航程序角及其變化率

飛行軌道參數(shù)變化曲線如圖3所示。

圖3 軌道傾角及升交點赤經(jīng)

由圖3可以看出，一次變軌同時調整俯仰及偏航程序角，可以達到所要求的多終端約束，進入目標橢圓軌道。通過對圖 3的分析可知，由于所需修正的升交點赤經(jīng)較大且軌道傾角修正量很小，而主發(fā)動機點火時刻軌道緯度幅角約為40.82°，由軌道攝動理論可知，對升交點赤經(jīng)修正的同時必然會不可避免地造成軌道傾角的改變，為達到所要求的目標修正量，必須在提升近地點高度的同時，拉大當前軌道傾角與目標值的偏差，然后再實現(xiàn)軌道傾角與赤經(jīng)的同時修正，這也是造成推進劑耗量較大的主要原因。

3.1.2 兩次變軌模式

采用前面所述偽譜結點法，將兩次主動段工作時間及滑行時間作為優(yōu)化變量，在兩次主動段之間加入滑行段，其中第1主動段主要用于改變半長軸和偏心率，將軌道拉起，然后經(jīng)過一段時間的滑行，待緯度幅角滿足要求后，發(fā)動機再次工作，對軌道面進行修正。采用兩次變軌模式，可顯著減小推進劑耗量，主發(fā)動機兩次工作時間之和為340.5 s，推進劑消耗239.1 kg。

兩次變軌段的飛行程序角見圖4、圖5，與一次變軌模式相比，程序角變化范圍較小，更易于控制實現(xiàn)。

圖4 第1主動段飛行程序角

圖5 第2主動段飛行程序角

與之對應的軌道傾角及升交點赤經(jīng)變化見圖6、圖7，與一次變軌模式相比，軌道傾角變化幅角較小，且升交點赤經(jīng)逐步向目標值靠近，不會出現(xiàn)先增大再減小的情況。

圖6 軌道傾角

圖7 升交點赤經(jīng)

3.2 軌道修正能力包絡

采用2.4節(jié)定義的性能指標函數(shù)，采用的初始及終端約束見表 2，計算經(jīng)過一次機動變軌進入155 km× 200 km 的橢圓軌道，并同時調整軌道傾角及升交點赤經(jīng)能力包絡。

表2 機動變軌段端點約束

因推進劑加注量為700 kg，考慮主發(fā)動機最大允許工作時間tbmax在200～800 s之間變化，計算得到的異面變軌機動能力包絡曲線如圖8所示。不同線形表示不同的允許主發(fā)動機工作時間，所組成的閉合區(qū)域表示可以達到的軌道機動量，且所需主發(fā)動機工作時間不超過tbmax，由圖8可見所能實現(xiàn)的軌道可機動區(qū)域隨 tbmax的減小而縮小；在軌道傾角改變量|iΔ|較小的情況下，主發(fā)動機工作時間（推進劑耗量）隨升交點赤經(jīng)改變量|?Δ|的增大而快速增大。圖中A點表示表 1所列的主發(fā)動機點火時刻目標軌道與飛行器的軌道傾角及升交點赤經(jīng)之差，靠近tbmax=600 s閉合區(qū)域邊界線，在tbmax=700 s閉合區(qū)域內，與優(yōu)化計算得到的變軌時間相吻合。

圖8 異面變軌能力包絡

4 結 論

采用基于偽譜最優(yōu)控制的軌道規(guī)劃策略，可以快速評估限定推進劑耗量、程序角速率限幅等多重約束下的機動變軌能力包絡，并給出滿足工程可控性要求的一次或多次變軌最優(yōu)飛行軌道，進而增強有限推力長期在軌軌道機動飛行器的多樣化任務適應能力。

[1]Yue X, Yang Y, Geng Z. Indirect optimization for finite-thrust time-optimal orbital maneuver[J]. Journal of Guidance Control and Dynamics, 2010, 33(2): 628-634.

[2]王常虹, 曲耀斌, 陸智俊, 等. 航天器有限推力軌道轉移的軌跡優(yōu)化方法[J]. 西南交通大學學報, 2013, 48(2): 390-394.

[3]鄭昌, 文趙偉. 基于進化計算的軌道轉移時間-能量優(yōu)化方法[J]. 計算機工程與設計, 2008, 29(3): 735-737.

[4]劉峰. 有限推力軌道轉移優(yōu)化方法與應用研究[D]. 長沙: 國防科技大學, 2009.

[5]Ross I M, Fahroo F. Discrete verification of necessary conditions for switched nonlinear optimal control systems[C]. Boston: Massachusetts, 2004.

Rapid Computation and Analysis of Finite Thrust Maneuver Capability

Xie Yong-feng, Zhou Wen-yong, Du Da-cheng, Chen Yi, Wang Chuan-kui
(Beijing Institute of Astronautical Systems Engineering, Beijing, 100076)

Evaluating of maneuver capability envelope is transformed into a serial optimal flight mission planning problems through designing weighted combined cost functions, and the optimal mission planning problem that includes multi-thrust-coast phases can be transformed and solved rapidly by high precision pseudospectral knotting- nonlinear programming method. Numerical simulation shows that this method can generate controllable optimal flight trajectories while evaluating the integrated maneuver capability under various constraints including fuel consume and control angle rate limit, which will enhance the mission adaptability of finite thrust long-term in orbit maneuver vehicles.

Orbit maneuver; Capability envelop; Mission planning; Pseudospectral knotting

V412.4

A

1004-7182(2017)01-0014-04

10.7654/j.issn.1004-7182.20170104

2015-09-16；

2015-11-17

解永鋒（1984-），男，博士，工程師，主要研究方向為飛行器動力學控制