對(duì)一個(gè)豎直軌道內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)極值問(wèn)題的探究

摘 要：針對(duì)小球沿豎直平面內(nèi)的圓形軌道的變速圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，探究了小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中對(duì)圓周軌道斜向上的彈力在豎直方向的分力存在最大值的位置以及在小球運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中圓形軌道不從地面上跳起的條件.

關(guān)鍵詞：豎直軌道；圓周運(yùn)動(dòng)；極值條件；不跳起

例題 如圖1所示，質(zhì)量為 的立方體物塊放在水平地面上直立的兩塊光滑擋板之間剛好接觸，物塊的內(nèi)部有一半徑為 的豎直光滑圓槽.質(zhì)量為 的小球放在槽底，現(xiàn)給小球一個(gè)初速度 ，在小球做圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中物塊一直靜止在地面上，試求：若小球運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)時(shí)立方體物塊對(duì)地面的壓力剛好為零，則初速度應(yīng)滿足什么條件？當(dāng) （ 為正整數(shù)且1≤ ≤5）時(shí)，對(duì)應(yīng)的初速度分別為多大？

解析 只有小球運(yùn)動(dòng)到水平直徑上方軌道的某位置時(shí)，對(duì)立方體物塊彈力的豎直分力才能豎直向上，使物塊對(duì)地面的壓力減小，如圖2所示.設(shè)小球從最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與圓心連線跟豎直方向的夾角為 時(shí)，速度為 ，受到軌道的彈力為 ，由牛頓第二定律和向心力公式有

（1）

由機(jī)械能守恒定律有

（2）

聯(lián)立方程可得小球?qū)壍赖膹椓Υ笮?/p>

彈力的豎直分力大小為 ，即

（3）

當(dāng)物塊對(duì)地面的壓力剛好為零時(shí)有 ；當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)時(shí) ，則 .由此得

（4）

所以 ， 為正整數(shù)且1≤ ≤5.

探討 雖然理論上算出小球運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)時(shí)物塊對(duì)地面的壓力剛好為零，但在實(shí)際上小球到達(dá)軌道最高點(diǎn)之前，物塊可能已經(jīng)跳起，而題中指明物塊一直靜止在地面上.因此該題結(jié)果不完全正確，需分析小球到達(dá)軌道最高點(diǎn)或在小球到達(dá)最高點(diǎn)之前物塊一直不跳起的條件，下面從多角度進(jìn)行探究.

一、若在小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中物塊始終不離開(kāi)地面，則小球的初速度和二者的質(zhì)量應(yīng)滿足什么條件？

物塊始終不離開(kāi)地面的受力條件是

≤

即 ≤

設(shè) ，由均值不等式可知 有最小值，極值條件為 ，即 .

當(dāng) < 時(shí)， <1，則 ，即小球運(yùn)動(dòng)至與圓心連線跟豎直方向夾角為 時(shí)， 有最小值， ，則 ≤ ，

可得 ≤ . （b）

當(dāng) ≥ 時(shí)， ≥1，由于 ≤1，則當(dāng) 時(shí)，即當(dāng) 時(shí)，亦即小球運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)時(shí)， 有最小值， ，則 ≤ ，

可得 ≤ . （c）

例如，當(dāng) 時(shí)， < ，由 ≤ 得初速度的最大值為 ，物塊剛好不跳起，此時(shí)小球的位置滿足 .又如，當(dāng) 時(shí)， > ，由 ≤ 得初速度的最大值為 ，物塊剛好不跳起，此時(shí)小球的位置在軌道的最高點(diǎn).

二、若在小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中物塊對(duì)地面壓力的最小值剛好為零，則小球的初速度和質(zhì)量滿足什么條件？

物塊對(duì)地面的壓力最小值包括三種情形：若壓力的最小值大于零，則物塊不跳起；若壓力的最小值小于零，則物塊跳起；若壓力的最小值等于零，則物塊剛好不跳起.

對(duì)不等式（b）取等號(hào)，可知在小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中物塊對(duì)地面壓力的最小值剛好為零時(shí)小球初速度滿足的條件為

（5）

物塊剛好不跳起時(shí)小球的位置滿足

（6）

余弦函數(shù) 的最大值為 ，由此式可得質(zhì)量關(guān)系為 ≤ ，這是（5）式成立的前提條件.

對(duì)于特殊情形，當(dāng) 時(shí)，由（6）式得 ，由（5）式得 ，因此當(dāng) 且 時(shí)，在小球運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)時(shí)，物塊對(duì)地面的壓力剛好取最小值且為零，則物塊一直沒(méi)有離開(kāi)地面.

三、若小球運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)時(shí)物塊對(duì)地面壓力最小且一直不跳起，則初速度和質(zhì)量滿足什么條件？

對(duì)不等式（c）取等號(hào)，可知小球運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)時(shí)物塊對(duì)地面的壓力為零的條件是 ，那么此時(shí)物塊對(duì)地面的壓力為零而且物塊一直不跳起的條件是 且 ≥ .由此可知原題的正確答案為： ， 取正整數(shù)且3≤ ≤5.

當(dāng) ≥ 時(shí)，有 ≥ 成立，所以，若小球運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)時(shí)物塊對(duì)地面壓力有最小值，而且物塊一直不跳起，則小球的初速度取值范圍是

≤ ≤ （d）

將式（3）變形為 ，豎直分力 的表達(dá)式是關(guān)于 的一元二次函數(shù) ，由于 <0，則 圖象是開(kāi)口向下的拋物線，有最大值，由對(duì)稱軸坐標(biāo)公式 可知

（7）

這就是小球在初速度一定的情況下，彈力的豎直分力取最大值時(shí)小球與半徑的連線跟豎直線夾角的公式.小球在該位置時(shí)物塊對(duì)地面的壓力取最小值，但不一定為零，或者物塊有可能離開(kāi)地面.

由式（7）可知，若 ，則當(dāng)小球到達(dá)軌道最高點(diǎn)時(shí)物塊對(duì)地面的壓力剛好最??；對(duì)于初速度取值范圍 ≤ < ，小球做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)之前的某個(gè)位置滿足 時(shí)物塊對(duì)地面的壓力最??；若 > ，則當(dāng)小球到達(dá)軌道最高點(diǎn)時(shí)物塊對(duì)地面的壓力最小，不一定為零.而物塊是否離開(kāi)地面，取決于二者的質(zhì)量之比.

上述推論涉及到4個(gè)初速度的關(guān)系式，其含義各不相同，可簡(jiǎn)要?dú)w納如下：

1. ，是小球剛好能做圓周運(yùn)動(dòng)的條件，這是初速度的最小值；在此情況下物塊剛好不跳起的條件是 ，始終不跳起的條件是 ≥ .由 可知彈力的極值位置在 .

2. ，是小球運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)時(shí)物塊對(duì)地面的壓力剛好達(dá)到最小值的條件；物塊一直不跳起的條件是 ≥ .

3. （ ≤ ），是小球運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)之前時(shí)物塊對(duì)地面壓力的最小值剛好為零的條件，這是初速度的最大值，則物塊一直不跳起的條件是 ≤ （ ≤ ）.

4. （ ≥ ），是小球運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)時(shí)物塊對(duì)地面的壓力剛好為零的條件，這是小球初速度的最大值，則物塊一直不跳起的條件是 ≤ （ ≥ ）.

總之，當(dāng)初速度一定時(shí)，物塊是否跳起與二者的質(zhì)量有關(guān).對(duì)于 ≤ ≤ ，極值位置公式為 ；對(duì)于 ≥ ，極值位置在軌道的最高點(diǎn).當(dāng)質(zhì)量一定時(shí)，物塊是否跳起與小球的初速度有關(guān).對(duì)于 ≤ ，極值位置公式為 ，若 ，則物塊剛好不跳起；對(duì)于 ≥ ，極值位置在圓軌道的最高點(diǎn)，若 ，則物塊剛好不跳起.

原題新解 小球運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)時(shí)物塊對(duì)地面的壓力為零的條件是 ，而小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中到達(dá)軌道的最高點(diǎn)時(shí)物塊對(duì)地面壓力取最小值的條件是 ≥ ，由于物塊一直不跳起，則小球到軌道最高點(diǎn)時(shí)物塊對(duì)地面的壓力達(dá)到最小值而且為零，因此初速度同時(shí)滿足這兩式，由 ≥ 得 ≥ .這是小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中對(duì)軌道的豎直壓力在軌道最高點(diǎn)時(shí)取最小值而且為零的質(zhì)量條件.所以原題正確答案為： 且 ≥ ，即為： ， 取正整數(shù)且3≤ ≤5.可得具體數(shù)值為：若 ，則 ；若 ，則 ；若 ，則 .

拓展應(yīng)用 若 或 ，則物塊對(duì)地面壓力的最小值各是多少？不跳起的條件為何？

解析 由于 < ，因此小球在到達(dá)軌道最高點(diǎn)之前時(shí)物塊對(duì)地面的壓力有最小值，可將 代入（7）式得出極值條件 .由（3）式可知 ，則物塊對(duì)地面的壓力最小值為 ，可知物塊剛好不跳起的條件是 ，那么物塊不跳起的條件是 ≥ .也可利用式（5）求物塊不跳起的條件.

由于 > ，因此小球運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)時(shí)物塊對(duì)地面壓力有最小值，此時(shí) ，代入（3）式得 ，則物塊對(duì)地面壓力的最小值為 .可知物塊不跳起的條件是 ≥ .也可利用不等式（d）求物塊不跳起的條件.

對(duì)于以上各問(wèn)題，解答思路的共同點(diǎn)是首先利用牛頓第二定律、向心力公式和機(jī)械能守恒定律推導(dǎo)出彈力在豎直方向的分力大小的關(guān)系式（3），然后在此基礎(chǔ)上利用不同的已知條件或不等式結(jié)論進(jìn)行求解.

總之，在解題時(shí)要全面考慮小球的初速度、極值位置以及二者的質(zhì)量關(guān)系，還要注意題中各種關(guān)鍵詞（如對(duì)地面壓力的最小值、壓力為零、壓力的最小值剛好為零；物塊不跳起、物塊剛好不跳起、物塊一直不跳起等）的含義.而有關(guān)物塊不跳起的條件包括兩方面，即速度條件和質(zhì)量條件，還要考慮到極值位置.

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作者簡(jiǎn)介：鄭金（1966年—），男，遼寧省朝陽(yáng)市凌源市，大學(xué)本科，理學(xué)學(xué)士，高級(jí)講師，中國(guó)物理學(xué)會(huì)終身會(huì)員，《物理通報(bào)》第九屆編委（2013～2016年）。自2000年以來(lái)，在多種報(bào)刊雜志發(fā)表有關(guān)物理和數(shù)學(xué)方面的教育科研論文380余篇。參編教輔圖書(shū)2冊(cè)：《高考物理1.5輪》（2016年1月）和《手把手教你解高中物理題》（2016年5月）。

工作單位：遼寧省凌源市職教中心

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