尼爾基水庫(kù)控制流域伽瑪分布地貌瞬時(shí)單位線推導(dǎo)

顏旭光

（嫩江尼爾基水利水電有限責(zé)任公司，黑龍江齊齊哈爾161005）

尼爾基水庫(kù)控制流域伽瑪分布地貌瞬時(shí)單位線推導(dǎo)

顏旭光

（嫩江尼爾基水利水電有限責(zé)任公司，黑龍江齊齊哈爾161005）

本文采用線性特征河長(zhǎng)的概念，結(jié)合流域地貌特征，根據(jù)概念性流域地貌匯流模型的一般理論，以概念性元素“特征河長(zhǎng)河段”模擬各級(jí)河道的匯流作用，建立了基于線性特征河長(zhǎng)河段的伽瑪分布地貌瞬時(shí)單位線模型。推導(dǎo)出了尼爾基水庫(kù)控制的四級(jí)流域瞬時(shí)單位線的表達(dá)式，討論了參數(shù)的約束條件和參數(shù)的推求方法，并分析了模型參數(shù)對(duì)瞬時(shí)單位線的影響。

地貌瞬時(shí)單位線;特征河長(zhǎng)河段;伽瑪分布;尼爾基水庫(kù)

0引言

多年來(lái)，水文計(jì)算都是建立在降雨與徑流觀測(cè)資料分析的基礎(chǔ)上，即使引進(jìn)一些地理因子（如河長(zhǎng)、面積、坡度等），也只是用來(lái)作為建立某種經(jīng)驗(yàn)公式的變量。然而，河流是氣候的產(chǎn)物，河網(wǎng)的特征集中地反映了一個(gè)流域的水文情態(tài)，同時(shí)，水質(zhì)點(diǎn)的匯集與流動(dòng)又受到河網(wǎng)的約束。因此，尋找一種新的途徑來(lái)確定洪水過(guò)程與流域地貌因子之間的必然聯(lián)系，從而將流域地貌信息轉(zhuǎn)化為水文信息，是水文工作一個(gè)大的發(fā)展方向，地貌單位線理論正好解決了此問(wèn)題。

假定一個(gè)單位的凈雨瞬時(shí)地均勻地降在流域上，其每個(gè)雨滴在每個(gè)河段的運(yùn)動(dòng)可用馬爾科夫過(guò)程來(lái)描述，由于這個(gè)假定產(chǎn)生了雨滴在每級(jí)河段上的滯留時(shí)間服從指數(shù)分布，忽略坡面匯流時(shí)間，就能把各級(jí)河流之間的轉(zhuǎn)移概率和初始概率與河網(wǎng)地貌特征聯(lián)系起來(lái)，從而得到雨滴到達(dá)出口斷面的概率密度函數(shù)，即地貌瞬時(shí)單位線（GIUH）。

下文以“特征河長(zhǎng)河段”的響應(yīng)函數(shù)（其形式等價(jià)于統(tǒng)計(jì)學(xué)中的伽瑪分布）作為水質(zhì)點(diǎn)傳播時(shí)間的概率密度函數(shù)，并結(jié)合地貌瞬時(shí)單位線理論以及匯流參數(shù)之間的關(guān)系，從而建立尼爾基水庫(kù)控制的四級(jí)流域的以洪水波的波速和擴(kuò)散系數(shù)為參數(shù)的伽瑪分布地貌瞬時(shí)單位線模型。

1 地貌特征的概念

本文采用Strahler河流分級(jí)體系：河流最上游的點(diǎn)稱(chēng)為河源，而最下游的點(diǎn)稱(chēng)為出口，2條支流相交處稱(chēng)為連接點(diǎn)，從河源開(kāi)始的支流稱(chēng)為一級(jí)支流。2條同級(jí)河流相交形成高一級(jí)河流，當(dāng)2條不同的河流相交時(shí)，其下游河流的級(jí)別等于該2條河流中級(jí)別較高者，一直延續(xù)到流域出口斷面。整個(gè)河系的級(jí)別以最高級(jí)河道的級(jí)別命名，尼爾基水庫(kù)控制流域?qū)偎募?jí)流域。

地貌數(shù)據(jù)按Horton地貌律統(tǒng)計(jì)。

1）河數(shù)率：

式中：Ni——第i級(jí)河流的數(shù)目；RB——分叉率，變化范圍3.0～5.0。

2）河長(zhǎng)率：

3）面積率：

2 概念性元素“特征河長(zhǎng)河段”的響應(yīng)函數(shù)

概念性元素“特征河長(zhǎng)河段”是建立在圣維南方程基礎(chǔ)上的，表示蓄泄系數(shù)為k的n個(gè)相等線性水庫(kù)的串聯(lián)，其響應(yīng)函數(shù)h（t）為

式中：Г（n）為伽瑪函數(shù)；exp（.）為指數(shù)函數(shù)。

通過(guò)與概率統(tǒng)計(jì)學(xué)中伽瑪分布的密度函數(shù)形式對(duì)比可知，概念性元素“特征河長(zhǎng)河段”的響應(yīng)函數(shù)與伽瑪分布的密度函數(shù)形式完全相同，用概念性元素“特征河長(zhǎng)河段”的響應(yīng)函數(shù)作為水質(zhì)點(diǎn)傳播時(shí)間的概率密度函數(shù)，不僅具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，而且具有水動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)。

根據(jù)洪水波推移和坦化作用的定義，波速C反映了洪水波的推移作用，擴(kuò)散系數(shù)D反映了洪水波的坦化作用。而文獻(xiàn)[1]中“特征河長(zhǎng)河段”的參數(shù)n，k與河道長(zhǎng)度L及波速C和擴(kuò)散系數(shù)D之間存在如下關(guān)系：

式（2）表明，“特征河長(zhǎng)河段”的參數(shù)n，k均與C，D有關(guān)，說(shuō)明參數(shù)n，k同時(shí)反映了洪水波的推移和坦化作用。

3 模型結(jié)構(gòu)及地貌瞬時(shí)單位線推導(dǎo)

3.1 基本概念

狀態(tài)：水滴在流域上所處的空間位置，指某級(jí)坡面或某級(jí)河流；路徑：由各狀態(tài)按流域匯流的物理順序組成的集合，它表明水滴在流達(dá)出口斷面的過(guò)程中按順序所經(jīng)歷的各種狀態(tài)；狀態(tài)轉(zhuǎn)移：水滴由一個(gè)狀態(tài)向另一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移；狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率：水滴由一個(gè)狀態(tài)向另一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移的可能性大小。

3.2 路徑概率

降落在流域上某處的水滴可取不同的路徑流到流域出口斷面。對(duì)于尼爾基水庫(kù)控制的Ω=4級(jí)的流域水滴可取的路徑為8條，根據(jù)流域匯流的物理過(guò)程，隨機(jī)地降落在流域上的水滴的狀態(tài)轉(zhuǎn)移遵循如下原則：

1）轉(zhuǎn)移出狀態(tài)ri的唯一可能是屬于ri→cj，i=1，2，…，Ω；

2）轉(zhuǎn)移出狀態(tài)ci的唯一可能是屬于ci→cj（j＞i）；

3）由于定義流域出口斷面為收集狀態(tài)，因此轉(zhuǎn)移出狀態(tài)cΩ+1是不可能的。

ri表示i級(jí)河流的坡面狀態(tài)，i=1，2，…，Ω；ci表示i級(jí)河流狀態(tài)，i=1，2，…，Ω；cΩ+1表示流域出口斷面，稱(chēng)為收集狀態(tài)；sj表示水滴所取的第j條路徑，j=1，2，3，4，…。

若某路徑s由狀態(tài)x1，x2，…，xk按流域匯流的物理順序集合而成，記做s=＜x1，x2，…，xk＞，則由于狀態(tài)之間相互獨(dú)立，故路徑概率如下：

其中，x1，x2，…，xk∈｛r1，r2，…，ra，c1，c2，…，ca+1｝

式中：φi——水滴處于初始狀態(tài)的概率，簡(jiǎn)稱(chēng)初始概率；pxk-1xk——水滴從狀態(tài)xk-1轉(zhuǎn)移到狀態(tài)xk的轉(zhuǎn)移概率，k=2，3，4，…，Ω。

3.3 模型結(jié)構(gòu)及公式推導(dǎo)

圖1 四級(jí)流域匯流模型結(jié)構(gòu)圖

式中初始概率φi，轉(zhuǎn)移概率Pij均可以寫(xiě)成Horton地貌律理論中河長(zhǎng)比RL、河流分叉比RB、面積比RA的函數(shù)，即

3.4 模型參數(shù)估計(jì)

1）目標(biāo)函數(shù)

由實(shí)測(cè)雨洪資料優(yōu)選參數(shù)時(shí)，可以以實(shí)測(cè)洪水過(guò)程線上各離散點(diǎn)的計(jì)算值Qi，計(jì)與實(shí)測(cè)值Qi，實(shí)之間的離差平方和最小為目標(biāo)函數(shù)，即

式中：n為此次洪水計(jì)算時(shí)段數(shù)。

2）約束條件

①參數(shù)C為流域內(nèi)河流洪水波的平均流速，C值非負(fù)；對(duì)于給定流域，河道洪水波波速C一般為1.5倍的斷面平均流速（u）。因此，波速C滿(mǎn)足下列約束條件：

式中：umax為流域出口斷面平均流速的最大值。

②參數(shù)D，根據(jù)其物理概念，D應(yīng)該為正值。“特征河長(zhǎng)河段”參數(shù)n大于1，根據(jù)式（15），當(dāng)ni＞1時(shí)，D＜CLi/2（i=1，2，…，Ω），由此得到參數(shù)D的約束條件為

3）求解方法

由式（16）、（17）和（18）構(gòu)成了有約束極小值問(wèn)題，可通過(guò)內(nèi)罰函數(shù)法轉(zhuǎn)化為無(wú)約束極小值問(wèn)題來(lái)求解。

3.5 模型參數(shù)對(duì)模型影響

1）參數(shù)n和k既反映了洪水波的推移特性、洪水波的坦化特性（均與C和D有關(guān)）。但nk只與流速C有關(guān)，反映了洪水波的推移特性；n2k只與擴(kuò)散系數(shù)D有關(guān)，反映了洪水波的坦化特性。

2）當(dāng)L，C為定值時(shí)，相應(yīng)線性水庫(kù)的調(diào)蓄能力隨之而減弱。

3）當(dāng)C，D為定值時(shí)，瞬時(shí)單位線的洪峰流量將減小。

4）當(dāng)L4，D為定值時(shí)，峰現(xiàn)時(shí)間將滯后，洪峰流量將減小。

5）當(dāng)L4，C為定值時(shí)，洪峰流量將減小，峰現(xiàn)時(shí)間不變。

4 結(jié)語(yǔ)

本文以概念性元素“特征河長(zhǎng)河段”模擬各級(jí)河道的匯流作用，應(yīng)用地貌單位線理論推導(dǎo)出了尼爾基水庫(kù)控制的四級(jí)流域的伽瑪分布地貌瞬時(shí)單位線，具有明確的物理基礎(chǔ)，參數(shù)少，易于求解，對(duì)今后尼爾基水庫(kù)控制流域匯流特性的分析研究具有重要的意義，對(duì)流域產(chǎn)匯流模型的建立有重要的理論價(jià)值，同時(shí)也是尼爾基水庫(kù)水文預(yù)報(bào)研究的一個(gè)重要方向。

地貌氣候瞬時(shí)單位線理論發(fā)展至今，其理論基礎(chǔ)已經(jīng)得到了認(rèn)可，但仍有一些問(wèn)題需要進(jìn)一步的研究，如水質(zhì)點(diǎn)滯留時(shí)間概率密度函數(shù)的合理表達(dá)與求解、參數(shù)的合理定量等問(wèn)題。這些問(wèn)題的解決不僅僅依賴(lài)于水文學(xué)理論的發(fā)展，還與計(jì)算機(jī)技術(shù)的應(yīng)用和發(fā)展有著很大的關(guān)系，快捷準(zhǔn)確地獲取地貌信息會(huì)使基于地貌瞬時(shí)單位線理論的匯流模型更加準(zhǔn)確、應(yīng)用范圍更廣。

［1］芮孝芳.水文學(xué)原理［M］.北京：中國(guó)水利水電出版社，2004.

［2］莊一令鳥(niǎo)，林三益.水文預(yù)報(bào)［M］.北京：水利電力出版社，1984.

［3］陸桂華.確定性方法推求地貌單位線［J］.河海大學(xué)學(xué)報(bào)，1990（6）：79-84.

［4］葛守西.洪水預(yù)報(bào)新模型,新技術(shù)的研究運(yùn)用［J］.長(zhǎng)江志季刊，2000（3）：26-39.

［5］陳志明.流域地貌瞬時(shí)單位線法剖析［J］.水電能源科學(xué)，1993（02）.

［6］張正康，趙綏忠.流域地貌瞬時(shí)單位線計(jì)算洪水探討［J］.浙江水利科技，1988（4）：11-17.

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