黃寒冰

摘 要：近年來(lái)，壓縮感知作為一種新型的信息獲取與壓縮框架，被廣泛用于圖像的編解碼。其中分塊壓縮感知作為一種有效的編解碼框架，得到了國(guó)內(nèi)外廣泛的關(guān)注。該框架首先對(duì)圖像進(jìn)行分塊處理，依次對(duì)每個(gè)分塊進(jìn)行采樣和壓縮傳輸。在其解碼端依次對(duì)每個(gè)分塊進(jìn)行重構(gòu)，最后將分塊重組成完整的圖像。這一框架能有效降低編碼的復(fù)雜度，減少內(nèi)存的開(kāi)銷；并使得解碼端圖像重構(gòu)的速度得到顯著提高，保證傳輸?shù)膶?shí)時(shí)性。然而，采用塊處理的方式會(huì)降低圖像的重構(gòu)質(zhì)量。針對(duì)這一問(wèn)題，文章對(duì)其閾值迭代重構(gòu)算法進(jìn)行了研究，采用自適應(yīng)硬閾值方案，保留圖像更多的細(xì)節(jié)信息，從而提高圖像重構(gòu)質(zhì)量，并通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了方案的可行性。

關(guān)鍵詞：分塊壓縮感知；重構(gòu)算法；閾值迭代

Abstract： Recent years， compressed sensing as a novel information acquisition and compression framework has been widely exploited into image compression codec. Whereby， Block Compressed Sensing is considered as an efficient framework having received widespread attention. In the framework， firstly， the image is blocked， and the blocks are sampled and compression transmitted by using the traditional compression sensing mode. The decoder successively reconstructs each blocks， and finally recombines blocks into a complete image. This framework can reduce the complexity of coding and overhead of memory efficiently， and improves the speed of decoding so that the real-time transmission of image is guaranteed. However， the quality of reconstruction would be reduced by the way of block processing. In this paper， we introduce the principle and framework of block compression sensing， and study the corresponding iterative threshold reconstruction algorithm. As a result， the soft threshold scheme is used to preserve more details of image， so as to improve the quality of reconstruction. Finally， the feasibility is verified by simulation results.

Keywords： Block compressed sensing； Reconstruction algorithm； Threshold iteration

1 概述

在傳統(tǒng)數(shù)字圖像系統(tǒng)中，圖像通過(guò)JPEG[1]或JPEG2000[2]圖像編碼器對(duì)數(shù)字圖像進(jìn)行編碼，從而使圖像信號(hào)能夠得到有效的壓縮和存儲(chǔ)。然而，這類編碼器的運(yùn)算復(fù)雜度高，不適合應(yīng)用于低功率、低像素的圖像設(shè)備。

近年來(lái)，一種新型的采樣方案壓縮感知理論被提出。壓縮感知理論[3]中證明，若信號(hào)存在稀疏表示，那么就可以通過(guò)一個(gè)與變換基不相關(guān)的測(cè)量矩陣對(duì)信號(hào)進(jìn)行稀疏采樣，獲得的觀測(cè)信號(hào)就是原信號(hào)的壓縮形式。

但是在實(shí)際應(yīng)用中，若對(duì)圖像進(jìn)行整體的觀測(cè)壓縮，那么在解碼端計(jì)算復(fù)雜度會(huì)隨著圖像尺寸的增大呈幾何倍數(shù)增加，導(dǎo)致解碼速度緩慢。Lu Can[4]受到JPEG分塊結(jié)構(gòu)的啟發(fā)，提出了分塊壓縮感知框架。編碼端不再需要大尺寸的觀測(cè)矩陣，在減小了編碼端的內(nèi)存開(kāi)銷的同時(shí)，提高了處理的實(shí)時(shí)性，同時(shí)對(duì)于解碼端的處理，因?yàn)橛^測(cè)尺寸減少、重構(gòu)復(fù)雜度下降，加快了重構(gòu)速度。

2 壓縮感知概述

壓縮感知原理：

壓縮感知是近年來(lái)被提出的新型信號(hào)采樣理論，該理論的兩大特點(diǎn)是不受限于奈奎斯特采樣速率，以及在采樣的同時(shí)，對(duì)信號(hào)進(jìn)行壓縮。在2004年，Donoho、tao[3]等人證明了，只要一個(gè)信號(hào)在某個(gè)變換域中存在稀疏表示，那么就可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行降維采樣，而采樣得到的信號(hào)包含原始信號(hào)的全部信息。

假設(shè)有一個(gè) 維信號(hào)x∈RN×1，若x是稀疏的，不同于傳統(tǒng)的采樣，壓縮感知理論對(duì)信號(hào)進(jìn)行線性測(cè)量：

y=？椎x （1）

這里y∈RM×1，？椎稱為測(cè)量矩陣，維度為M×N。

然而通過(guò)壓縮感知得到的信號(hào)y是M維的，已知測(cè)量矩陣是M×N維的，如果希望通過(guò)求解線性方程對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)是不可能的。但是由于這里的？茲是K稀疏的，即可以將原問(wèn)題的求解轉(zhuǎn)換為求解x在字典？追的最稀疏表示，即：

3 分塊壓縮感知

3.1 編碼端結(jié)構(gòu)

考慮有一幅Lr×Lc的圖像，其像素為N=Lr×Lc。在分塊CS中，圖像被分為B×B的塊，令xi代表第i個(gè)塊的向量表示，CS的采樣輸出可以表示為：

這里的？椎B為一個(gè)mB×B2的矩陣，mB=■，M為測(cè)量數(shù)。為了滿足RIP條件，這里？椎B為正交化的i.i.d高斯隨機(jī)矩陣。對(duì)整幅圖像而言，原式（1）的？椎等價(jià)于如下的塊對(duì)角化矩陣：

由此可知，若對(duì)？椎B的采樣率進(jìn)行調(diào)整，就能夠改變整體系統(tǒng)的采樣率，這為硬件設(shè)計(jì)提供了便利。同時(shí)，不同塊大小的也會(huì)給圖像重構(gòu)帶來(lái)不同的影響。若塊過(guò)小，雖然可以減少重構(gòu)的復(fù)雜度、加快重構(gòu)速度，但同樣也降低了質(zhì)量。

3.2 解碼端結(jié)構(gòu)

在文獻(xiàn)[4]中指出，分塊壓縮感知的重構(gòu)效果之所以隨著塊尺寸減小而下降，是因?yàn)殡S著分塊的數(shù)量變多，重構(gòu)的塊效應(yīng)的影響也就越大。所以該文獻(xiàn)提出了基于分塊壓縮感知的迭代硬閾值重構(gòu)方案，在提高運(yùn)算速度的前提下，消除塊效應(yīng)，提高圖像的重構(gòu)質(zhì)量。

第一步是對(duì)每次迭代得到重構(gòu)圖像去塊效應(yīng)，這里采用維納濾波進(jìn)行平滑處理。第二步是將上一步得到圖像進(jìn)行域變換，通過(guò)硬閾值操作保留最大的K個(gè)系數(shù)，其余設(shè)為零，再進(jìn)行反變換恢復(fù)圖像，這樣做的意義是去除重構(gòu)帶來(lái)的高斯噪聲。

3.3 算法改進(jìn)

上述算法忽略了由于硬閾值操作丟失了部分的細(xì)節(jié)信息，導(dǎo)致了圖像質(zhì)量的下降。通過(guò)改進(jìn)現(xiàn)有的閾值操作，提高了圖像的重構(gòu)質(zhì)量。

對(duì)閾值處理的改進(jìn)：

自適應(yīng)硬閾值方案[5]與硬閾值方案最大的區(qū)別在于，自適應(yīng)硬閾值則是通過(guò)設(shè)定一個(gè)門限值。若系數(shù)大于該門限值則保留，反之舍棄。通過(guò)該方案的優(yōu)勢(shì)在于，該門限值的設(shè)定是參考了全體的系數(shù)，能夠根據(jù)系數(shù)的分布情況，保留能量占多數(shù)的系數(shù)。對(duì)于能量分散的圖像保留的系數(shù)將增加，對(duì)于能量集中的圖像保留的系數(shù)也會(huì)相應(yīng)減少。以下是自適應(yīng)硬閾值的函數(shù)表示：

這里的？子（i）代表第i次迭代閾值函數(shù)的門限值，其計(jì)算公式如式（6）：

這里的？姿是控制收斂速度的常數(shù)因子，K代表變換系數(shù)的個(gè)數(shù)，而？滓（i）在文獻(xiàn)中指出是通過(guò)中值估計(jì)得到的：

改進(jìn)之后的重構(gòu)算法如表1所示：

4 仿真結(jié)果

為了評(píng)估上述壓縮感知重構(gòu)方案，采用matlab搭建平臺(tái)進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

這里采用離散傅立葉基作為變換域的基，首先比較在0.3采樣率的情況下，對(duì)lenna圖的恢復(fù)。由于lenna圖存在大量的細(xì)節(jié)信息，采用自適應(yīng)硬閾值可以保留更多的細(xì)節(jié)信息，可以直觀地體現(xiàn)出其優(yōu)勢(shì)。

圖1（a）為自適應(yīng)硬閾值重構(gòu)lenna部分圖像，圖1（b）為硬閾值重構(gòu)lenna部分圖像，從帽子的細(xì)節(jié)可以看出，自適應(yīng)硬閾值的表現(xiàn)力更強(qiáng)，還原度更高，而硬閾值重構(gòu)的圖像在羽毛部分存在大量的模糊。所以從視覺(jué)的角度考慮，自適應(yīng)硬閾值更符合人的觀察習(xí)慣。

從仿真曲線來(lái)看，不論是高采樣率還是低采樣率，自適應(yīng)硬閾值方案的重構(gòu)質(zhì)量都高于硬閾值方案。尤其是在低采樣率的情況下，自適應(yīng)硬閾值方案能夠保留更多的細(xì)節(jié)信息，使其重構(gòu)質(zhì)量得到明顯的提升。

最后，為了驗(yàn)證方案的普適性，加入更多的圖像對(duì)兩種閾值方案進(jìn)行比較。

從最后的仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，在多數(shù)情況下，自適應(yīng)硬閾值的重構(gòu)質(zhì)量都優(yōu)于硬閾值。尤其是在低采樣率的情況下，自適應(yīng)硬閾值的優(yōu)勢(shì)更加明顯。由此可以得出結(jié)論，自適應(yīng)硬閾值方案更加適合分塊壓縮感知的重構(gòu)框架。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文主要介紹了分塊壓縮感知框架，討論了該框架應(yīng)用于圖像壓縮的優(yōu)缺點(diǎn)以及如何去除塊效應(yīng)帶來(lái)的重構(gòu)噪聲，并對(duì)重構(gòu)算法中的閾值函數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)。最后，通過(guò)與硬閾值函數(shù)的對(duì)比，發(fā)現(xiàn)自適應(yīng)硬閾值算法適合更多場(chǎng)景的重構(gòu)。雖然壓縮感知圖像編解碼的效率依然不及傳統(tǒng)的圖像編解碼框架，但相信在未來(lái)，基于壓縮感知的低編碼復(fù)雜度的圖像或視頻框架將得到廣泛的應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)

[1]Digital Compression and Coding of Continuous-tone Still Image-Part 1：Requirements and guidelines ISO/IEC 10918-1， JPEG Coding Standard，1991.

[2]Information Technology-JPEG 2000 Image Coding System-Part 1： Core Coding System ISO/IEC 15444-1， 2000.

[3]D. L. Donoho， "Compressed sensing，" IEEE Trans. Inform.Theory， vol. 52， pp. 1289-1306， July 2006.

[4]L. Gan， "Block compressed sensing of natural images，" in Proceedings of the International Conference on Digital Signal Processing， Cardiff， UK， July 2007， pp. 403-406.

[5]D. L. Donoho， "De-noising by soft-thresholding，" IEEE Transactions on Information Theory， vol. 41， no. 3， pp. 613-627， May 1995.