黃 進,鄧 皓,汪紀鋒

(1.重慶工業(yè)職業(yè)技術學院,重慶401120;2.重慶大學,重慶400044)

0 引 言

直流直線電機(以下簡稱DCLM)是一種將電能直接轉化為直線運動的機械裝置,在電機內部結構中,沒有任何的轉換元件[1-2],具有結構簡單、噪聲低、速度快、成本低、運行可靠、高效、節(jié)能以及裝配靈活性大等優(yōu)點[3-4],在自動化生產(chǎn)、民航交通、軍事等領域得到了廣泛應用[5-6]。但是DCLM在運動過程中,外界與電機之間有接觸的現(xiàn)象,此時,電機就會產(chǎn)生摩擦力,摩擦力是影響電機控制的一個重要因素。因為電機與外界有摩擦力的存在,所以在低速運動時,DCLM往往不能輸出平穩(wěn)的速度,甚至出現(xiàn)滯滑(stick-slip)現(xiàn)象[7-8]。另外,在DCLM運行速度零點處,其摩擦力不是一個連續(xù)的過程,DCLM在一個時間段內同時做正向或者反向運動時,其在電機正反向的換向點,會出現(xiàn)較大的速度跟蹤誤差,從而降低了系統(tǒng)的跟蹤精度,因此,為了提高DCLM的穩(wěn)態(tài)控制性能,需要對穩(wěn)態(tài)精度進行補償。

近年來,國內外學者針對這一問題進行了大量的研究,目前常用于DCLM的控制器控制技術主要有:兩級濾波滑模觀測器算法[9],模糊神經(jīng)網(wǎng)絡控制算法[10],自抗擾控制算法[11],自適應模糊PID控制算法[12],自適應魯棒控制算法[13]等。為了消除摩擦力對電機性能的影響,有學者提出利用最優(yōu)魯棒控制算法對DCLM進行控制,用以消除控制誤差[14]。還有學者提出,用模糊PID算法對電機進行控制,可以獲得滿意的穩(wěn)態(tài)精度[15]。

顯然,目前的研究都是建立在控制算法上對DCLM進行控制,且所有的算法都有一個共同的特點,幾乎都是智能控制算法,算法計算復雜且滿足不了電機實時控制的要求,而且所有的算法并沒有分析直流直線電機內部結構,只是利用的“黑箱原理”來控制電機,在控制界中稱為“經(jīng)典理論”?；诖?本文提出一種自適應狀態(tài)空間極點配置的算法,用以保證DCLM的穩(wěn)態(tài)精度。該算法是由電機控制系統(tǒng)極點的位置決定,期望把DCLM閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置到理想的位置上,可以得到控制系統(tǒng)良好的穩(wěn)態(tài)性能,這個過程就是,希望配置好的DCLM控制系統(tǒng)的極點達到一個理想的結果。通過自適應狀態(tài)空間極點配置控制器,根據(jù)系統(tǒng)動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能的要求,自動計算得出DCLM狀態(tài)反饋控制律,再由狀態(tài)反饋控制律可以得出DCLM狀態(tài)反饋增益矩陣,得到的狀態(tài)反饋增益矩陣可以達到改善控制系統(tǒng)動態(tài)和靜態(tài)性能的目的。通過本文設計的自適應狀態(tài)空間極點配置控制器,DCLM閉環(huán)控制系統(tǒng)可以根據(jù)實際情況,不斷調整選擇合適的狀態(tài)反饋增益矩陣,使系統(tǒng)可以獲得良好的動態(tài)特性,根據(jù)DCLM控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能要求,自適應狀態(tài)空間極點配置控制器在整個閉環(huán)系統(tǒng)之前加入一個補償增益矩陣,這是為了消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,使得控制系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)態(tài)性能。通過上述方法,可以將DCLM閉環(huán)控制系統(tǒng)的零極點配置到理想的位置上,最終系統(tǒng)獲得更好的動態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性,通過理論推導和MATLAB仿真結果表明,該控制算法可以得到DCLM更加精確的控制方式,且魯棒性更好。

1 DCLM的數(shù)學模型

DCLM在實際運行過程中,會受到滑動摩擦力、粘滯摩擦力等外界作用力,將這些外力統(tǒng)一用N表示,并假定外力的大小與速度成正比,比例系數(shù)為C。則簡化后的DCLM的數(shù)學模型框圖如圖1所示。

圖1 直流直線電機簡化數(shù)學模型框圖

圖1 中,KE表示與速度有關的反電動勢系數(shù),即KE=kbBδlN;τL表示線圈回路的電磁時間常數(shù),

低頻段時,忽略線圈電感L常數(shù),傳遞函數(shù)簡化:

式中:km和kE表示電機直線運動的加速度與速度有關的反電動勢系數(shù);R表示線圈回路電阻系數(shù);m表示DCLM動子的總質量;c表示阻力系數(shù);k表示彈簧彈力系數(shù)。

2 自適應狀態(tài)空間極點配置控制器設計

2.1 DCLM的狀態(tài)空間模型

為滿足DCLM實際需求,現(xiàn)將電機內部參數(shù)固定后可以得到DCLM數(shù)學模型的開環(huán)表達式:

DCLM數(shù)學模型轉化為狀態(tài)空間表達式,選取DCLM內部兩種狀態(tài):電機直線運動速度狀態(tài)Ω和電機直線運動加速度狀態(tài)α,以及DCLM的輸入信號狀態(tài)n,作為狀態(tài)空間變量,通過式(3),可以將DCLM化為狀態(tài)空間表達式:

式中:x為2維狀態(tài),即電機直線運動速度和加速度狀態(tài);u為輸入,即電機的輸入信號狀態(tài);y·為電機的輸出,即是電機的位移,A為2×2系統(tǒng)矩陣;B為2×1輸入矩陣;C為1×2輸出矩陣,而耦合矩陣D=0。

2.2自適應狀態(tài)空間極點配置

在DCLM閉環(huán)控制系統(tǒng)中,要求系統(tǒng)響應動作快、動態(tài)過程要平穩(wěn)、跟蹤值要準確等幾個性能要求,這些性能要求都跟DCLM閉環(huán)控制系統(tǒng)極點位置有關。為了讓DCLM有更好的動態(tài)特性,自適應狀態(tài)空間極點配置控制器會根據(jù)系統(tǒng)實際運行情況,不斷調整狀態(tài)反饋控制律,把DCLM系統(tǒng)的閉環(huán)極點配置到理想的位置上,以這組理想的閉環(huán)極點作為系統(tǒng)配置的性能指標,選擇狀態(tài)反饋增益矩陣,可以獲得良好的動態(tài)性能,再根據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,自適應狀態(tài)空間極點配置控制器會選擇合適的補償增益矩陣,放在整個系統(tǒng)之前,可以更好的消除系統(tǒng)靜態(tài)誤差,獲得良好的穩(wěn)態(tài)性能。

DCLM的狀態(tài)空間極點配置定理:對于單輸入連續(xù)時間線性時不變受控系統(tǒng):

系統(tǒng)的m個極點可以完全任意配置的充要條件為(A,B)完全能控。

根據(jù)DCLM的狀態(tài)空間模型,自適應狀態(tài)空間極點配置算法如下:

Step 1:首先要先計算(A,B)矩陣的能控性,如完全能控,則進入下一步,如果不完全能控,則跳到Step 10。

如果(A,B)完全能控,則存在非奇異變換:x=-

Px將式(5)化成能控標準Ⅰ型:

Step 2:計算加入反饋增益矩陣后的反饋增益矩陣控制律。

加入狀態(tài)反饋增益矩陣:m=(m1,m2),那么狀態(tài)反饋控制律:

式中:x為1×2的電機反饋增益矩陣;v為參考輸入,將式(9)代入式(5)中,即可以得到加入反饋增益矩陣的DCLM狀態(tài)空間表達式:

Step 3:計算加入反饋增益矩陣的DCLM閉環(huán)傳遞函數(shù)。

DCLM在實際運用過程中,不同的環(huán)境,不同的地方,對電機控制性能要求不一樣,所要求的性能指標也不一樣,這時,要根據(jù)自適應狀態(tài)空間極點配置控制器,來選擇不同的狀態(tài)反饋增益矩陣。加入反饋增益矩陣后的DCLM傳遞函數(shù):

通過式(11)可以得到閉環(huán)特征多項式:

根據(jù)DCLM的控制場合的需要,要求不同的性能指標,本文的DCLM要求在保證穩(wěn)態(tài)精度指標kv=5,ess≤0.8的前提下,保證動態(tài)期望指標δp≤8.5%,ts≤2,所確定的期望電機閉環(huán)系統(tǒng)的特征值:λ1*=-2+j2.46,λ2*=-2-j2.46,可以得出所期望的閉環(huán)特征多項式:

Step 5:將希望得到的閉環(huán)控制系統(tǒng)特性多項式D*f(s)與加入狀態(tài)反饋增益矩陣的閉環(huán)特征多項式Dm0(s)進行比較,得出反饋增益矩陣系數(shù)。

由式(12)與式(13)比較可以得到,電機反饋增益矩陣的值:,那么可以得到DCLM反饋增益矩陣。

Step 6:計算Step 1中的能控規(guī)范形變換矩陣p,并求其逆矩陣,在計算能控標準型反饋增益矩陣

Step 7:自適應調節(jié)器計算增益矩陣K*。

因為電機數(shù)學模型為Ⅰ型系統(tǒng),要求系統(tǒng)的位置誤差,即電機輸出位移的穩(wěn)態(tài)誤差esp=0。由系統(tǒng)誤差的定義esp=lsi→m0sE(s)=lsi→m0s(R(s)-Y(s))=lsi→m0s(R(s)-KGm(s)R(s))=0,可以求得系統(tǒng)的增益矩陣K*。

Step 8:根據(jù)自適應調節(jié)器計算出的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差調試增益矩陣K*,并從新確定系統(tǒng)的反饋增益陣m。

根據(jù)DCLM數(shù)學模型,在工程實際中,將電機的開環(huán)放大系數(shù)k1取值到等效補償裝置K*,并將補償裝置放在整個DCLM閉環(huán)系統(tǒng)之前,用以減小誤差,同時滿足系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能要求,并返回Step 1從新進行極點配置。

Step 9:確定等效補償裝置K*的取值范圍,返回Step 7從新計算增益矩陣K*,直到獲得滿意控制效果。

Step 10:停止計算。

以上步驟,即為DCLM保證穩(wěn)態(tài)精度的自適應狀態(tài)空間極點配置算法。該算法的提出,既克服了DCLM運動過程中摩擦力的影響,又能在DCLM運行過程中,得到良好的動態(tài)和靜態(tài)特性。所以,應從整個閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間極點配置去解決電機的穩(wěn)態(tài)精度,自適應狀態(tài)空間極點配置系統(tǒng)的結構圖如圖2所示。

圖2 自適應狀態(tài)反饋極點配置結構圖

由圖2可知,整個系統(tǒng)由狀態(tài)反饋極點配置控制器、自適應調節(jié)器,DCLM以及等效補償裝置K*4部分組成,通過DCLM狀態(tài)變量實測值,本文選取直線電機運動速度和加速度為狀態(tài)變量,以及電機的位移誤差實測值,即穩(wěn)態(tài)誤差,反饋給自適應調節(jié)器,由自適應調節(jié)器不斷地調節(jié)狀態(tài)反饋極點配置控制器以及等效補償裝置K*,即狀態(tài)反饋極點配置,直至自適應控制穩(wěn)態(tài)誤差趨于零,電機輸出獲得滿意的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。

3 仿真實例

為了證明本算法具有更好的控制性能和穩(wěn)態(tài)性能,分別將DCLM應用兩種信號進行仿真。

選取DCLM的主要參數(shù)如表1所示。

表1 DCLM主要參數(shù)

那么得出簡化后的DCLM數(shù)學模型由式(3)給出,狀態(tài)空間模型由式(4)給出。要求DCLM給定輸入為r(t)=10+t,在保證靜態(tài)指標ess≤0.8前提下,要求動態(tài)期望指標:δp≤8.5%,ts≤2。

通過本文算法自適應狀態(tài)空間極點配置在線計算,可以計算出DCLM控制系統(tǒng)的等效補償裝置K*=10.3,反饋增益矩陣m=[5,2]時可以獲得控制系統(tǒng)更好的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。自適應狀態(tài)空間極點配置算法的MATLAB/Simulink仿真圖如圖3所示。

圖3 自適應狀態(tài)空間極點配置算法的MATLAB/Simulink仿真圖

在t=0時,對DCLM輸入指定位移信號,記錄其直線電機時間由0～6 s之間,位移0～60 mm之間的變化過程;在t=10 s時,對DCLM輸入位移階躍信號,記錄其直線電機時間由10～40 s之間,位移0～100 mm之間的變化過程,可以得到對每種信號運用不加任何控制算法、加入傳統(tǒng)狀態(tài)空間極點配置算法、以及本文給出的自適應狀態(tài)空間極點配置控制算法,分別進行仿真,得出DCLM在自適應狀態(tài)空間極點配置算法下的動態(tài)過渡過程、穩(wěn)態(tài)精度及速度跟隨能力,其系統(tǒng)的響應曲線如圖4所示。

圖4 DCLM階躍響應曲線圖

從圖4中可以看出,在t=10 s,設定DCLM位移為100 mm的階躍信號中,記錄其直線電機時間由10～40 s之間,位移0～100 mm之間的變化過程,通過曲線可以得出,不加任何控制器的系統(tǒng),不能保證DCLM的動態(tài)特性;在加入傳統(tǒng)狀態(tài)空間極點配置算法的系統(tǒng)中,雖然可以保證DCLM的動態(tài)性能,但是不能保證其靜態(tài)特性,具有較大的誤差;而本文提出的保證穩(wěn)態(tài)精度的自適應狀態(tài)空間極點配置算法具有上升時間短,超調量小,過渡過程時間短,可以獲得更好的動態(tài)性能,同時也保證了DCLM的穩(wěn)態(tài)精度,可以獲得的更好的靜態(tài)特性。圖5為DCLM速度控制的仿真曲線,在t=0時,設定DCLM位移為100 mm的速度信號,記錄其直線電機時間由0～6 s之間,位移0～60 mm之間的變化過程。通過曲線可以得出,DCLM傳統(tǒng)狀態(tài)空間極點配置控制器在每一個時刻,都不能達到標準位移點,不能完全跟隨控制系統(tǒng)的速度,存在一定的速度響應誤差,且誤差比不加任何控制器時的原系統(tǒng)誤差偏大。而保證穩(wěn)態(tài)精度的自適應狀態(tài)空間極點配置算法,在剛開始時刻,出現(xiàn)微小誤差,但在0～3 s時,逐漸縮小誤差,并在t≥4 s的每一個時刻,能夠達到標準位移點,系統(tǒng)能夠完全跟隨標準速度響應曲線,消除了速度響應誤差,并且同時保證了控制系統(tǒng)的動態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)性能,所以保證穩(wěn)態(tài)精度的自適應狀態(tài)空間極點配置算法具有更好的控制性能。

圖5 DCLM速度響應曲線圖

4 結 語

本文設計了一種保證穩(wěn)態(tài)精度的自適應狀態(tài)空間極點配置控制算法并把它應用于DCLM的控制中。給出了自適應狀態(tài)空間極點配置控制DCLM保證穩(wěn)態(tài)精度的控制方案,根據(jù)DCLM的狀態(tài)變量以及電機位移穩(wěn)態(tài)誤差,反饋給自適應調節(jié)器,自適應調節(jié)器不斷地調節(jié)狀態(tài)反饋極點配置控制器以及等效補償裝置,直到調整到電機位移誤差趨于零。通過仿真結果表明:DCLM采用本文設計的自適應狀態(tài)空間極點配置算法可以獲得更好的動態(tài)特性和靜態(tài)性能,提高了系統(tǒng)的控制品質,增強了系統(tǒng)的魯棒性。

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