潘 迅，泮斌峰，唐 碩

(1. 西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安710072；2. 航天飛行動力學(xué)技術(shù)重點實驗室，西安 710072)

求解中途飛越燃料最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道的同倫方法

潘 迅1,2，泮斌峰1,2，唐 碩1

(1. 西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安710072；2. 航天飛行動力學(xué)技術(shù)重點實驗室，西安 710072)

提出一種新的同倫方法，用于求解深空探測中對其他天體進(jìn)行中途飛越的小推力燃料最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道，克服由于其存在內(nèi)點約束及不連續(xù)Bang-Bang控制所導(dǎo)致的數(shù)值優(yōu)化方法的求解困難。該同倫方法將同倫參數(shù)同時嵌入到性能指標(biāo)和內(nèi)點約束方程中，將容易求解的無內(nèi)點約束且控制量連續(xù)變化的最優(yōu)控制問題作為初始問題，求解一系列同倫參數(shù)遞增所對應(yīng)的同倫迭代子問題，直到得到原問題的解。該方法能夠有效地解決中途飛越所導(dǎo)致的優(yōu)化變量增加、求解難度增大等難題，能夠快速、穩(wěn)定地求解考慮中途飛越的小推力燃料最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道。最后，以地球到火星交會并中途飛越小行星和地球到木星交會并中途飛越火星兩個任務(wù)為例進(jìn)行數(shù)值仿真驗證該同倫方法在求解中途飛越的燃料最優(yōu)問題中的有效性和優(yōu)越性。

中途飛越；最優(yōu)控制；燃料最優(yōu)；小推力；同倫方法；深空探測

0 引 言

深空探測是21世紀(jì)航天領(lǐng)域的一大熱點。從經(jīng)濟(jì)性角度出發(fā)，多任務(wù)、多目標(biāo)深空探測能夠在節(jié)省經(jīng)費(fèi)的同時獲得更多的科學(xué)回報。與單目標(biāo)探測的航天任務(wù)相比，多目標(biāo)探測任務(wù)對轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計提出了新的要求。

對天體的探測方式包括飛越、交會或撞擊目標(biāo)天體。對于多目標(biāo)探測任務(wù)，對其中部分天體進(jìn)行飛越是較為合理的探測方式。文獻(xiàn)[1]對脈沖推進(jìn)的航天任務(wù)，提出基于牛頓算法的多次中途飛越任務(wù)的轉(zhuǎn)移軌道優(yōu)化方法，利用該方法能使Galileo探測器完成多達(dá)11次中途飛越，從而對多個目標(biāo)天體進(jìn)行探測；文獻(xiàn)[2]分析Deep Space探測器對Hartley完成兩次飛越后，通過對剩余燃料進(jìn)行合理規(guī)劃，對小行星2002 GT進(jìn)行飛越的任務(wù)設(shè)計；文獻(xiàn)[3]研究航天器通過脈沖推進(jìn)對火星進(jìn)行飛越，然后跟隨火星運(yùn)行半圈，最后通過脈沖飛越火星返回地球。我國的嫦娥2號任務(wù)在完成對月探測后，也對小行星進(jìn)行了飛越探測。文獻(xiàn)[4]針對嫦娥二號從日地系L2點Lissajous軌道到Toutatis飛越的轉(zhuǎn)移軌道進(jìn)行設(shè)計研究；文獻(xiàn)[5]研究嫦娥二號在實現(xiàn)對4179小行星飛越之后，利用剩余燃料選取小行星1997XF11和2005VS作為飛越探測目標(biāo)的任務(wù)設(shè)計。

隨著發(fā)動機(jī)技術(shù)的發(fā)展，小推力發(fā)動機(jī)具有比沖大、控制精度高等優(yōu)點，能極大地提高探測器的有效載荷的比重，因此利用小推力發(fā)動機(jī)進(jìn)行深空探測將是未來的發(fā)展趨勢。然而小推力發(fā)動機(jī)推力小，持續(xù)時間長，燃料最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道分為推進(jìn)段和滑行段，在發(fā)動機(jī)開關(guān)機(jī)點推力大小存在階躍變化，因此在求解過程中存在較大困難。文獻(xiàn)[6]研究了基于不變流形理論和Gauss偽譜法的日-地系Halo軌道到日-火系Halo軌道的小推力轉(zhuǎn)移；文獻(xiàn)[7]綜述了當(dāng)前軌道優(yōu)化設(shè)計領(lǐng)域的常用方法，針對連續(xù)小推力作用下的深空探測任務(wù)軌道優(yōu)化方法，對比和分析各方法的優(yōu)缺點；文獻(xiàn)[8]采用六次多項式形狀逼近策略，并結(jié)合改進(jìn)微分進(jìn)化算法進(jìn)行小推力行星借力轉(zhuǎn)移軌道的初始設(shè)計；文獻(xiàn)[9]結(jié)合我國即將開展的小行星探測任務(wù)，給出多目標(biāo)、多任務(wù)小行星探測的一種推薦方案，分析得到6個可能的目標(biāo)小行星，并對可行方案進(jìn)行電推進(jìn)轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計；文獻(xiàn)[10]推導(dǎo)了包含時變內(nèi)點約束的分塊偽譜法，并對地球出發(fā)-小行星飛越-地球返回的小推力轉(zhuǎn)移軌道進(jìn)行設(shè)計；文獻(xiàn)[11] 通過間接法對包含引力輔助的燃料最優(yōu)小推力轉(zhuǎn)移軌道進(jìn)行研究，利用粒子群算法選取初值，利用同倫算法和開關(guān)函數(shù)檢測法克服Bang-Bang控制的困難。

對于考慮中途飛越的航天任務(wù)的轉(zhuǎn)移軌道，由于存在內(nèi)點約束，其在優(yōu)化過程中引入多個對應(yīng)于約束條件的拉格朗日乘子，增加了打靶所需求解的變量，從而導(dǎo)致求解難度增加。雖然文獻(xiàn)[8-11]能優(yōu)化得到滿足要求的轉(zhuǎn)移軌道，但在優(yōu)化過程中優(yōu)化變量較多，需要結(jié)合微分進(jìn)化算法，粒子群法等其他數(shù)值算法，計算過程較為復(fù)雜。本文提出一種新的同倫方法，先求解不包含內(nèi)點約束的轉(zhuǎn)移軌道，在該軌道上選取合適位置作為初始中途飛越點，從而在同倫初始時刻消除內(nèi)點約束所產(chǎn)生的影響；然后通過對飛越點位置進(jìn)行同倫，進(jìn)而得到對目標(biāo)天體進(jìn)行中途飛越的轉(zhuǎn)移軌道；同時對性能指標(biāo)進(jìn)行同倫，從而克服燃料最優(yōu)問題Bang-Bang控制所導(dǎo)致的求解困難。

1 中途飛越的最優(yōu)化問題

在進(jìn)行航天器軌道初步設(shè)計時，不考慮其他天體引力、太陽光壓以及其他攝動力，即假設(shè)航天器在中心引力場中運(yùn)動，僅受到中心天體的引力作用和發(fā)動機(jī)推力作用，則航天器的動力學(xué)方程為

(1)

為方便計算以及保證計算精度，通常需要對動力學(xué)方程中的變量進(jìn)行無量綱化。在日心黃道坐標(biāo)系中，長度量、時間量和質(zhì)量分別以AU(1AU=149597870700m)、a(1a=365.25d)、航天器初始質(zhì)量m0進(jìn)行無量綱化，太陽引力系數(shù)無量綱化后為39.476926AU3/a，同時需要對Tmax、Isp和g0進(jìn)行無量綱化[9]。

對于中途飛越問題，除了在初始時刻和終端時刻存在約束外，在航天器進(jìn)行中途飛越時刻也存在約束，即內(nèi)點約束

r(tm)-rO(tm)=0

(2)

式中：tm為中途飛越時刻，rO表示中途飛越目標(biāo)天體的位置矢量。

將端點約束和內(nèi)點約束表示成p維的等式約束

φ(x(t0),x(tf),x(tm),t0,tf,tm)=0

(3)

式中:x=[r,v,m]T表示狀態(tài)量，t0和tf分別表示初始時刻和結(jié)束時刻。

對軌道設(shè)計問題，優(yōu)化的性能指標(biāo)通常分為三種：時間最優(yōu)，能量最優(yōu)和燃料最優(yōu)，都只與推力大小u有關(guān)，與推力方向α無關(guān)，因此，可將性能指標(biāo)表示為

(4)

根據(jù)龐德里亞金極小值原理，通過引入拉格朗日乘子構(gòu)造廣義指標(biāo)Jm和哈密爾頓函數(shù)H，可得

(5)

(6)

對于控制無約束的情況，廣義指標(biāo)的一階變分為零是性能指標(biāo)取得極值的一階必要條件。通過對廣義指標(biāo)求一階變分，可得協(xié)態(tài)方程為

(7)

根據(jù)最優(yōu)控制理論，初始狀態(tài)和終端狀態(tài)的橫截條件為[12]

(8)

內(nèi)點約束時刻前后瞬時狀態(tài)約束對應(yīng)的橫截條件為

(9)

內(nèi)點約束時刻的靜態(tài)條件為

(10)

式中：vO為中途飛越目標(biāo)天體的速度矢量。

根據(jù)最優(yōu)控制理論，可推導(dǎo)得到最優(yōu)推力方向為

(11)

在推導(dǎo)推力大小u的最優(yōu)控制律時，需要考慮不同性能指標(biāo)的影響。在此，分別對性能指標(biāo)為能量最優(yōu)和燃料最優(yōu)時的推力大小最優(yōu)控制律進(jìn)行推導(dǎo)：

1)當(dāng)性能指標(biāo)為能量最優(yōu)時，其最小化性能指標(biāo)可以表示成

(12)

將其代入到哈密爾頓函數(shù)，并對u求偏導(dǎo)，可得

(13)

為使哈密爾頓函數(shù)取得極小值，可得推力大小的最優(yōu)控制律為

(14)

式中：S為開關(guān)函數(shù)，其表達(dá)式為

(15)

2)當(dāng)性能指標(biāo)為燃料最優(yōu)時，其最小化性能指標(biāo)可以表示成

(16)

同理可得其最優(yōu)控制律為

(17)

當(dāng)S=0時，最優(yōu)推力大小不能確定，此時存在奇異控制。由于開關(guān)函數(shù)S連續(xù)變化，不會在某一時間區(qū)間內(nèi)恒等于零，只會在有限孤立點處為零，因此可以不考慮S=0的情況。

推導(dǎo)得到推力方向和推力大小的最優(yōu)控制律后，則將軌道優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為兩點邊值問題。對于無飛越的軌道轉(zhuǎn)移，其終端約束為航天器位置速度與目標(biāo)天體的位置速度一致，且不存在內(nèi)點約束，則該打靶問題為7維問題，打靶變量為初始時刻的協(xié)態(tài)變量[λr(t0),λv(t0),λm(t0)]，打靶約束條件為

(18)

對于存在中途飛越的軌道轉(zhuǎn)移問題，在中途飛越時刻，航天器位置與飛越天體位置一致，即每個中途飛越對應(yīng)三個約束條件，同時由于中途飛越時刻tm未知，則該問題為十一維的打靶問題，打靶變量為[λr(t0),λv(t0),λm(t0),χ,tm]，打靶方程為式(2)，式(18)和式(10)，共11個等式約束，式(9)用于協(xié)態(tài)變量λr在tm時刻的更新。通過對該打靶問題進(jìn)行求解，則可得到滿足條件的轉(zhuǎn)移軌道。

2 同倫方法

對于燃料最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道，從式(17)可知，其推力值u為Bang-Bang控制。由于其推力大小存在突變，利用間接法對其進(jìn)行求解過程中存在很大困難，因此通常先求解得到能量最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道，通過對性能指標(biāo)進(jìn)行能量最優(yōu)到燃料最優(yōu)的同倫迭代，最終得到燃料最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道[11]。但在考慮中途飛越問題時，由于內(nèi)點約束所帶來的在飛越時刻協(xié)態(tài)變量和哈密爾頓函數(shù)的不連續(xù)等問題，上述同倫方法則難以適用。本文針對這一問題，提出一種新的同倫方法進(jìn)行求解。

2.1 中途飛越內(nèi)點約束方程的同倫

考慮初始時刻和終端時刻的狀態(tài)量都給定的問題，端點約束對狀態(tài)量的偏導(dǎo)數(shù)為零，因此不需要對端點約束對應(yīng)的拉格朗日乘子進(jìn)行求解。中途飛越的轉(zhuǎn)移軌道優(yōu)化問題只增加了三維的內(nèi)點約束，同時增加了三維的拉格朗日乘子χ。由上文的推導(dǎo)過程中可知，在打靶過程中，與乘子χ有關(guān)的式并不作為打靶方程的約束，而是在tm時刻對協(xié)態(tài)變量λr進(jìn)行更新?？紤]到若能在減小χ初值猜測難度的情況下，找到另外一條中間軌道作為初始的中途飛越軌道，則可對中途飛越軌道進(jìn)行平滑過渡，使航天器最終實現(xiàn)對目標(biāo)天體的軌道進(jìn)行飛越。

將航天器需要進(jìn)行中途飛越的目標(biāo)天體軌道用經(jīng)典軌道六要素Ef=[af,ef,if,ωf,Ωf,Mf]來表示，選取初始飛越軌道為Ei=[ai,ei,ii,ωi,Ωi,Mi]，軌道要素中的平近點角M都為初始時刻t0對應(yīng)的平近點角。具體的處理方法為：

2.2 性能指標(biāo)的同倫

從式中可以看出，當(dāng)性能指標(biāo)為能量最優(yōu)時，其最優(yōu)推力大小是連續(xù)變化的，此時較容易求解。因此，針對燃料最優(yōu)的Bang-Bang控制問題，Bertrand等在2002年提出了一種平滑技術(shù)，即所謂的同倫方法，通過構(gòu)造新的性能指標(biāo)，降低了求解難度[13]。

引入同倫參數(shù)q2，構(gòu)造新的性能指標(biāo)為

(19)

當(dāng)q2:0→1過程中，性能指標(biāo)從能量最優(yōu)轉(zhuǎn)變?yōu)槿剂献顑?yōu)。根據(jù)最優(yōu)性一階必要條件，推力大小u的控制律為

(20)

式中：ε=1-q2，當(dāng)q2≠1時，u為連續(xù)控制力，且q2趨近于1時，即可得到燃料最優(yōu)的轉(zhuǎn)移軌道。

在得到能量最優(yōu)問題的轉(zhuǎn)移軌道之后，同倫參數(shù)q2按照一定步長進(jìn)行迭代，并將當(dāng)前得到的解作為下一步迭代的初值進(jìn)行計算，并最終得到燃料最優(yōu)的轉(zhuǎn)移軌道。

3 數(shù)值仿真

本節(jié)通過兩個算例進(jìn)行數(shù)值仿真，驗證本文所提出的同倫方法的有效性。

算例1.考慮航天器從地球出發(fā)，與火星進(jìn)行交會，并對小行星2005UK5中途飛越的軌道轉(zhuǎn)移問題。航天器從地球出發(fā)時與地球具有相同的日心位置和速度，到達(dá)火星時與火星具有相同的日心位置和速度。小行星2005UK5的數(shù)據(jù)來源于小天體動力學(xué)網(wǎng)http://newton.dm.unipi.it/neodys/。算例相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 地球到火星交會并中途飛越小行星的算例的參數(shù)

先通過打靶求解無中途飛越時的從地球到火星的能量最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道，根據(jù)航天器在轉(zhuǎn)移過程中與小行星的相對距離進(jìn)行初始飛越點的選取。選取轉(zhuǎn)移軌道上與小行星距離最近的時刻作為初始飛越時刻，轉(zhuǎn)移軌道上的該點作為初始飛越點，然后分兩步進(jìn)行同倫迭代求解：1.保持性能指標(biāo)為能量最優(yōu)，對中途飛越點進(jìn)行同倫，即q2=0，q1:0→1；2.得到對小行星進(jìn)行飛越的能量最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道后，再對性能指標(biāo)進(jìn)行同倫，即q1=1，q2:0→1，從而得到航天器對小行星2005UK5進(jìn)行中途飛越的燃料最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道。

最終得到的轉(zhuǎn)移軌道如圖1所示，飛越時刻為294.9028天，航天器最終剩余質(zhì)量為1649.41kg。圖1中的黑色虛線和紅色實線分別表示同倫初始時刻的轉(zhuǎn)移軌道和同倫結(jié)束時刻的燃料最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道，同倫結(jié)束時刻對小行星2005UK5實現(xiàn)了中途飛越，飛越位置已在圖中標(biāo)出。圖2為優(yōu)化變量在對中途飛越位置同倫過程中隨同倫參數(shù)q1的變化曲線，圖3為優(yōu)化變量在對性能指標(biāo)的同倫過程中隨同倫參數(shù)q2的變化曲線，從圖中可以看出，同倫參數(shù)連續(xù)緩慢變化，同倫過程順利進(jìn)行。圖4為航天器在轉(zhuǎn)移過程中開關(guān)函數(shù)和推力隨時間的變化曲線，對于q1=q2=0和q1=1,q2=0的兩條轉(zhuǎn)移軌道，其性能指標(biāo)同為能量最優(yōu)，兩條軌道形狀較為接近，開關(guān)函數(shù)和推力大小變化曲線無明顯差異；對于q1=q2=1的燃料最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道，其推力大小變化為Bang-Bang控制，發(fā)動機(jī)共開機(jī)4次。

描述量數(shù)值初始時刻(UTC)2021-11-160:0:0.0飛行時間ttof/d2201.0天初始位置/AU[0.5876420, 0.7954627, -3.845203×10-5]初始速度[-5.155764,3.707833, -3.191945×10-4]末端位置[-5.204974,1.495369,0.1102444]末端速度[-0.7936872,-2.523063,2.823220×10-2]發(fā)動機(jī)比沖Isp/s6000發(fā)動機(jī)最大推力Tmax/N2.26航天器初始質(zhì)量m0/kg20000.0火星軌道根數(shù)[a,e,i,Ω,ω,f]J2000日心黃道坐標(biāo)系中,參考?xì)v元[1.52363312AU,0.09327933,1.84785414°,49.48935357°,286.6709081°,328.887552°]2024-3-200:0:0.0(坐標(biāo)時)

值得注意的是，在同倫過程中，可設(shè)置兩個同倫參數(shù)相等，即q1=q2，此時則可通過一次同倫過程得到所需的解。在此算例中，令q=q1=q2，同時對中途飛越位置和性能指標(biāo)進(jìn)行同倫，通過一次同倫得到中途飛越火星并與木星交會的燃料最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道。

最終得到的航天器燃料最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道如圖5所示，航天器對火星進(jìn)行中途飛越的時刻為732.8713天，最終剩余質(zhì)量為14657.05kg，其中黑色虛線為同倫初始時刻的轉(zhuǎn)移軌道，該軌道為能量最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道，對其進(jìn)行求解時不考慮中途飛越內(nèi)點約束，然后在該軌道上進(jìn)行選取合適的初始中途飛越位置；紅色實線表示同倫結(jié)束時的轉(zhuǎn)移軌道，該軌道為對火星實現(xiàn)中途飛越的燃料最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道。圖6為航天器進(jìn)行中途飛越位置隨同倫參數(shù)的變化曲線，從圖中可以看出，當(dāng)同倫初始時刻時，航天器并未經(jīng)過火星，而是對虛擬的目標(biāo)進(jìn)行飛越；隨著同倫過程的進(jìn)行，最終實現(xiàn)對火星的飛越。圖7為優(yōu)化變量隨同倫參數(shù)的變化曲線，從圖中可以看出，各優(yōu)化變量變化平緩，不存在突變或跳躍的情況。圖8為當(dāng)同倫參數(shù)q分別取值為0,0.4,0.7,0.9和1.0時的開關(guān)函數(shù)和推力大小隨時間的變化曲線，從圖中可以看出，對于燃料最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道，其最優(yōu)推力為Bang-Bang控制，在轉(zhuǎn)移過程中發(fā)動機(jī)開機(jī)4次。

4 結(jié) 論

本文針對航天器需要對目標(biāo)天體進(jìn)行交會，并對其他天體進(jìn)行中途飛越的連續(xù)小推力燃料最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道進(jìn)行研究。本文建立了含中途飛越約束的動力學(xué)模型，推導(dǎo)得到了最優(yōu)性條件，提出的同倫方法包含對中途飛越軌道的同倫和對性能指標(biāo)的同倫。通過數(shù)值仿真表明，利用該同倫方法能有效地克服由中途飛越約束所引起的困難，并得到滿足任務(wù)需求，發(fā)動機(jī)多次開關(guān)機(jī)的燃料最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道。后續(xù)工作中，可對包含引力輔助等更復(fù)雜的內(nèi)點約束的小推力轉(zhuǎn)移軌道進(jìn)行研究。

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通信地址：陜西省西安市碑林區(qū)友誼西路127號西北工業(yè)大學(xué)251信箱(710072)

電話：15191433469

E-mail：xpan2012@gmail.com

(編輯：張宇平)

Homotopy Method for Fuel-Optimal Trajectory Design in Flyby Mission

PAN Xun1,2, PAN Bin-feng1,2, TANG Shuo1

(1. School of Astronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China; 2. National Key Laboratory of Aerospace Flight Dynamics, Xi’an 710072, China)

A new homotopy method is proposed to solve the fuel-optimal transfer trajectory with flyby of other celestial bodies in the deep space exploration, overcoming the difficulty due to the interior point constraints and discontinuous structure of the Bang-Bang control. The homotopic parameter is embedded in both the performance index and interior point constraint equations. By starting from a related and easier energy-optimal problem without inner constraints, and solving a series of iterative subproblems with homotopic parameter increased, the solution of the original problem is obtained when the parameter reaches one. With the approach, the difficulty of the optimization variables increased caused by the flyby inner constraints can be resolved, and the low-thrust fuel-optimal transfers can be completed effectively. At last, two examples about the Jupiter rendezvous with the Mars flyby and the Mars rendezvous with an asteroid flyby are given to substantiate the effectiveness and optimality of the homotopy method.

Flyby; Optimal control; Fuel optimal; Low thrust; Homotopy method; Deep space exploration

2016-07-20;

2016-12-19

V448.2

A

1000-1328(2017)04-0393-08

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.04.009

潘 迅(1990-)，男，博士生，主要研究方向為飛行動力學(xué)與控制，深空探測軌道優(yōu)化設(shè)計。