李 衛(wèi) 國(guó)， 張 宏 偉， 梁 錫 軍

( 1.大連理工大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 遼寧 大連 116024；2.遼寧地質(zhì)工程職業(yè)學(xué)院， 遼寧 丹東 118303；3.中國(guó)石油大學(xué)(華東) 理學(xué)院， 山東 青島 266580 )

投資組合優(yōu)化模型的一個(gè)序列凸近似算法

李 衛(wèi) 國(guó)1,2， 張 宏 偉*1， 梁 錫 軍3

( 1.大連理工大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 遼寧 大連 116024；2.遼寧地質(zhì)工程職業(yè)學(xué)院， 遼寧 丹東 118303；3.中國(guó)石油大學(xué)(華東) 理學(xué)院， 山東 青島 266580 )

以CVaR為代表的凸優(yōu)化投資組合模型近年來引起了廣泛研究．為克服傳統(tǒng)投資組合模型中凸近似的不足，提出了一個(gè)投資組合的DC規(guī)劃模型．該模型用一個(gè)DC函數(shù)替代了CVaR模型中的凸近似函數(shù)，同時(shí)要求所有約束條件在概率意義下成立．進(jìn)一步地，提出了一個(gè)序列凸近似(SCA)算法用于求解DC規(guī)劃問題，并運(yùn)用Monte-Carlo方法來實(shí)現(xiàn)SCA算法．初步的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，因子收益服從“尖峰厚尾”分布時(shí)，模型的目標(biāo)函數(shù)值優(yōu)于采用CVaR近似的目標(biāo)函數(shù)值．

投資組合；序列凸近似；凸優(yōu)化；Monte-Carlo方法

0 引 言

投資組合是指投資者根據(jù)其風(fēng)險(xiǎn)喜好在眾多的有價(jià)證券中對(duì)風(fēng)險(xiǎn)投入進(jìn)行最優(yōu)投資分配．投資組合選擇問題最早由Markowitz[1]作為一個(gè)最優(yōu)化問題提出．他用隨機(jī)收益率的均值來衡量預(yù)期收益的好壞，用隨機(jī)收益率的方差衡量風(fēng)險(xiǎn)的大小．Markowitz的均值-方差模型在現(xiàn)代投資理論中堪稱經(jīng)典，并且始終在改進(jìn)．例如文獻(xiàn)[2]對(duì)這些模型作了一個(gè)系統(tǒng)的總結(jié)．只有當(dāng)證券收益率服從正態(tài)分布或者投資者是風(fēng)險(xiǎn)厭惡型時(shí)，均值-方差模型才是有效的．但由于計(jì)算的復(fù)雜性，在投資數(shù)額較大的優(yōu)化問題中模型的使用率并不高．本文試圖改進(jìn)這一模型，研究不同的預(yù)期收益或風(fēng)險(xiǎn)衡量標(biāo)準(zhǔn)，使得模型更符合實(shí)際，更好地為投資者決策提供參考．

投資者經(jīng)常會(huì)遇到投資項(xiàng)目的組合決策問題，要考慮的因素有收益率、風(fēng)險(xiǎn)、增長(zhǎng)潛力等條件，希望該資產(chǎn)投資波動(dòng)越小越好，并進(jìn)行權(quán)衡考慮獲得一個(gè)最佳的投資方案．在投資組合的優(yōu)化研究過程中，本文試圖在傳統(tǒng)的保守近似優(yōu)化模型的基礎(chǔ)上，克服指示函數(shù)I(0，+∞)(z)在近似估計(jì)中的不足．通過引入風(fēng)險(xiǎn)度量的DC(difference of two convex functions)近似，給出一個(gè)投資組合的DC規(guī)劃模型，并提出一個(gè)序列凸近似(sequential convex approximation，SCA)算法來進(jìn)行求解，用一個(gè)嚴(yán)格凸二次函數(shù)來近似目標(biāo)函數(shù)中的光滑函數(shù)，用線性函數(shù)近似所有DC函數(shù)的第二個(gè)凸函數(shù)，得到搜索方向的一系列的凸優(yōu)化問題．

1 問題提出

r=μ+VTξ+ε

maxE[rTx]=μTx+xTVTEF(ξ)

其約束條件被稱為決策風(fēng)險(xiǎn)[3]，用

來描述，其中1=(1 1 … 1)T∈Rn，β∈(0，1)是一個(gè)較小的數(shù)，a>0是保守收益的一個(gè)估計(jì)．同時(shí)希望該資產(chǎn)的投資波動(dòng)越小越好．采用var(rTx)=xTDx，作為投資波動(dòng)的度量．考慮如下模型：

maxE[rTx]=μTx+xTVTEF(ξ)-γxTDxs. t.Prob{-(μTx+xTVTξ)≤-a}≥1-β1Tx=1，x≥0

(1)

其中γ>0是參數(shù)．考慮模型(1)中的概率約束，令

p(x)=1-Prob{-(μTx+xTVTξ)+a≤0}=Prob{-(μTx+xTVTξ)+a≥0}

則約束條件

1-p(x)≥1-β?p(x)≤β

p(x)=Prob{c(x，ξ)>0}=E[I(0，+∞)(c(x，ξ))]

其中

c(x，ξ)∶=μTx+xTVξ-a

這里IA(·)表示集合A上的指示函數(shù)：

在Rockafellar等[4]提出的CVaR近似中，用

ψ(z，t)=[t+z]+/t

近似I(0，+∞)(z)，其中z>0，[z]+=max{z，0}．

Nemirovski等[5]曾經(jīng)指出在所有的凸的保守近似中，CVaR被公認(rèn)為是最出色的．但是，ψ(z，t) 對(duì)于指示函數(shù)I(0，+∞)(z)不是一個(gè)好的近似，因?yàn)樵趜>0且z較大時(shí)，兩個(gè)函數(shù)差異較大．為尋求一個(gè)更好的近似，令

由于ψ(z，t)和φ(z，t)都是z的凸函數(shù)，π(z，t)是一個(gè)關(guān)于z的DC函數(shù)．函數(shù)π(z，t)僅在區(qū)間(-t，0)與指示函數(shù)有差異，在其余的區(qū)間與指示函數(shù)完全吻合．可見，DC函數(shù)π(z，t)是指示函數(shù)的一個(gè)更好的近似，如圖1所示．

令

p＾

(

x

，

t

)=

p＾

(

x

，

t

)是

p

(

x

)的一個(gè)保守DC近似．

圖1 DC近似與凸近似

p (x)=inft>0p＾(x，t)

p＾

(

x

，

t

)≤

β

?

因此，

是

p＾

(

x

，

t

)所有近似中最好的保守近似．

1Tx=1，x≥0

(2)

稱模型(2)為模型(1)的DC近似[6]．

maxμTx+xTVTEF(ξ)-γxTDxs.t.g1(x，t)-g2(x)≤βt1Tx=1，x≥0

(3)

記Ω(t)為模型(3)的可行域：

Ω(t)∶={x∈X：g1(x，t)-g2(x)≤βt， 1Tx=1，x≥0}

算法1是求解模型(3)的序列凸近似算法．

算法1 序列凸近似(sequential convex approximation，SCA)算法

SCA算法具體步驟如下：

Step 1 選取x0∈Ω(t)，k=0．

Step 2 若xk是最優(yōu)解，算法終止．

Step 3 用Monte-Carlo方法[6]求解下列凸規(guī)劃問題：

g

2

(

x

k

)，

x

-

x

k

〉]≤

βt

1

T

x

=1，

x

≥0

(4)

得最優(yōu)解xk+1．

Step 4k∶=k+1，轉(zhuǎn)Step 2．

2 SCA算法的實(shí)施

2.1 凸規(guī)劃問題(4)的求解

依照前面的記號(hào)

c(x，ξ)=μTx+xTVTξ-ag1(x，t)=E[c(x，ξ)+t]+=E[I[0，+∞)(c(x，ξ)+t)]

g2(x，t)=g1(x，0)

另外，記h(x)為問題(4)的目標(biāo)函數(shù)：

h(x)∶=μTx+xTVTEF(ξ)-γxTDx

則有

令

(5)

則

(6)

記ξ1，ξ2，…，ξn為隨機(jī)變量ξ的獨(dú)立同分布的樣本點(diǎn)．

(7)

g2(xk)=1n∑ni=1xc(xk，ξi)·I[0，+∞)(c(xk，ξi))

(8)

(9)

對(duì)g(x)的一個(gè)自然的估計(jì)是

[g2(xk)+g2(xk)T(x-xk)]-βt

(10)

為了在n較大時(shí)有效地求解問題(4)，給出下面的方法：由式(5)、(6)及文獻(xiàn)[7]引理2知，

g

(

x

)可以近似為

g(x)=

1n∑ni=1xc(xk，ξi)·I[0，+∞)c(xk，ξi)

g

(

x

)的近似，并直接用基于梯度

[8]

的方法求解問題(4)．該方法可以視為用近似的

g

(

x

)、

g

(

x

)及

E

(

ξ

)直接求解問題(4)．當(dāng)采用基于梯度的方法求解問題(4)時(shí)，樣本點(diǎn)僅用于計(jì)算

(

x

)和

g

(

x

)的值．所需的計(jì)算量是

O

(

n

)．這是求解問題(4)的一種較快的方法．

2.3 初始點(diǎn)的選取

為執(zhí)行SCA算法，需要選取初始點(diǎn)x0∈Ω(t)，給出兩種選取辦法．

第一種，記

Ω0(t)={x∈X：g1(x，t)≤βt， 1Tx=1，x≥0}

注意到，g2(x)=E[μTx+xTVTξ-a]+≥0，?x∈X．故Ω0(t)?Ω(t)．另外，由于g1(x，t)是關(guān)于x的凸函數(shù)，故Ω0(t)是凸集合．于是，

是凸規(guī)劃．令xε=arg min{h(x)：x∈Ω0(t)}，則xε∈Ω(t)．

令t*=q1-β(c(xCVaR，ξ))，即c(xCVaR，ξ)的1-β分位數(shù)．由文獻(xiàn)[9]，t*>0且

于是，xCVaR∈{x∈X：g1(x，t*)≤t*β}．由于g2(x)≥0，故xCVaR∈{x∈X：g1(x，t*)-g2(x)≤t*β}=Ω(t*)．對(duì)于任意t∈(0，t*]，Ω(t*)?Ω(t)．因此，xCVaR∈Ω(t)，0

(1)CVaR近似解的計(jì)算

xCVaR=arg min{h(x)：CVaR1-βc(x，ξ)≤0，1Tx=1，x≥0}

(11)

(2)CVaR分位數(shù)的計(jì)算

令L1，L2，…，Ln是損失L的n個(gè)獨(dú)立同分布的觀測(cè)，則L的α-VaR可以估計(jì)為

v＾nα=Lnα：n

L的α-CVaR可以估計(jì)為

c＾nα=v＾nα+1n(1-α)∑ni=1[Li-v＾nα]+

(12)

(3)CVaR分位數(shù)的梯度估計(jì)

假設(shè)隨機(jī)損失L是參數(shù)θ的函數(shù)，記為L(zhǎng)(θ)．L(θ)關(guān)于θ可微．對(duì)任意的θ，設(shè)vα(θ)、cα(θ) 是L(θ)的α-VaR和α-CVaR，0<α<1，它們都是θ的函數(shù)．

依據(jù)文獻(xiàn)[10]定理3.1，在適當(dāng)?shù)臈l件下，對(duì)于任意的θ，

c′α(θ)=E[L′(θ)|L(θ)≥vα(θ)]

(13)

記(L1，D1)，(L2，D2)，…，(Ln，Dn)為(L(θ)，L′(θ))的n個(gè)獨(dú)立同分布的觀測(cè)．提出c′α(θ)的估計(jì)：

Γn=1n(1-α)∑nj=1Dj·1Lj≥v＾αn

3 實(shí) 驗(yàn)

采用下面的數(shù)據(jù)進(jìn)行測(cè)試：各資產(chǎn)的平均收益μ=(1.0 1.2 1.4 1.6 1.8)T，期望收益a=1.5，因子荷載矩陣

方差-協(xié)方差矩陣

實(shí)驗(yàn)測(cè)試ξ=(ξ1ξ2…ξp)T服從如下兩種分布的情形．(1)ξ服從F分布：ξi～F(i+2，i+4)，i=1，2,…，p；(2)ξ服從正態(tài)分布：ξi～N(πi，ρi2)，i=1，2,…，p，為了比對(duì)兩種情形，取均值πi、方差ρi2與情形(1)中相應(yīng)的F分布的均值和方差相同．

序列凸近似算法的參數(shù)設(shè)為γ=1.0，β=0.05，t=0.01．算法在Matlab 2012a平臺(tái)下編程實(shí)現(xiàn)，在Intel Core i7-4770 CPU 3.40 GHz，8 GB RAM計(jì)算機(jī)上執(zhí)行．

-近似解和

CVaR

近似得到的解作為

SCA

算法的初始點(diǎn)．隨機(jī)變量

ξ

的抽樣次數(shù)為1.0×10

5

．圖2中給出了目標(biāo)函數(shù)值

f

隨迭代次數(shù)

k

的變化，

ξ

分別服從

F

分布和正態(tài)分布．可以看出，無論

ξ

服從

F

分布還是正態(tài)分布，CVaR初始點(diǎn)處的目標(biāo)函數(shù)值大于

-近似解處的目標(biāo)函數(shù)值，并且在兩種不同的初始點(diǎn)下，目標(biāo)函數(shù)值隨迭代次數(shù)的增加而增加，最終近乎收斂于共同的函數(shù)值．

ξ

服從

F

分布時(shí)(圖2(a))，算法改進(jìn)了

-近似的目標(biāo)函數(shù)值(1.605 6)和CVaR近似的目標(biāo)函數(shù)值(1.608 0)：算法收斂時(shí)的目標(biāo)函數(shù)值為1.621 2．兩種初始點(diǎn)計(jì)算出的最優(yōu)解皆為

x

*

=(0 0 0.171 2 0 0.828 8)

T

．可見模型選擇了第3個(gè)和第5個(gè)資產(chǎn)進(jìn)行資產(chǎn)配置．

ξ

服從正態(tài)分布時(shí)(圖2(b))，算法改進(jìn)了

-近似的目標(biāo)函數(shù)值(1.618 2)和CVaR近似的目標(biāo)函數(shù)值(1.618 3)：算法收斂時(shí)的目標(biāo)函數(shù)值為1.618 7．兩種初始點(diǎn)計(jì)算出的最優(yōu)解皆為

x

*

=(0 0 0.203 8 0 0.796 2)

T

．可見模型仍選擇了第3個(gè)和第5個(gè)資產(chǎn)進(jìn)行資產(chǎn)配置，但資產(chǎn)配置比例與

ξ

服從

F

分布時(shí)的情形有差別．

為測(cè)試抽樣規(guī)模的影響，實(shí)驗(yàn)比較了不同抽樣規(guī)模下的目標(biāo)函數(shù)值以及計(jì)算時(shí)間(單位：s)，如圖3所示(ξ服從F分布)．在每個(gè)抽樣規(guī)模下，進(jìn)行了100次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，目標(biāo)函數(shù)值和計(jì)算時(shí)間取其平均值，圖中畫出了其標(biāo)準(zhǔn)差(每個(gè)柱線段的長(zhǎng)度是相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差的2倍)．由圖3(a)可以看出，目標(biāo)函數(shù)值的標(biāo)準(zhǔn)差在抽樣規(guī)模N大于0.5×105時(shí)趨于穩(wěn)定(標(biāo)準(zhǔn)差小于1.0×10-3)；圖3(b)顯示，計(jì)算時(shí)間隨抽樣規(guī)模的增長(zhǎng)而增加．ξ服從正態(tài)分布時(shí)有類似的規(guī)律，見圖4．

(a) 目標(biāo)函數(shù)值

(b) 計(jì)算時(shí)間

(a) 目標(biāo)函數(shù)值

(b) 計(jì)算時(shí)間

4 結(jié) 語

本文考慮因子收益ξ服從“尖峰厚尾”分布的情形，例如F分布，用DC函數(shù)來近似概率約束中的指示函數(shù)，將資產(chǎn)投資組合問題建模為一個(gè)DC規(guī)劃，并提出了求解該DC規(guī)劃的序列凸近似(SCA)算法．該算法通過迭代求解一系列凸二次規(guī)劃問題，來計(jì)算原問題最優(yōu)解．通過所提出的梯度近似計(jì)算方法，減少了算法的計(jì)算量．初步的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提出的模型及SCA算法是有效的．因子收益ξ服從F分布時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值優(yōu)于采用CVaR近似的目標(biāo)函數(shù)值．

[1] MARKOWITZ H M. Portfolio selection [J]. Journal of Finance, 1952, 7(1):77-91.

[2] MITRA G, KYRIAKIS T, LUCAS C,etal. A review of portfolio planning:models and systems [J]. Advances in Portfolio Construction and Implementation, 2003, 26(1):1-39.

[3] GOLDFARB D, IYENGAR G. Robust portfolio selection problems [J]. Mathematics of Operations Research, 2003, 28(1):1-38.

[4] ROCKAFELLAR R T, URYASEV S. Optimization of conditional value-at-risk [J]. Journal of Risk, 2000, 2(3):21-40.

[5] NEMIROVSKI A, SHAPIRO A. Convex approximations of chance constrained programms [J]. SIAM Journal on Optimization, 2006, 17(4):969-996.

[6] HONG L J, YANG Yi, ZHANG Liwei. Sequential convex approximations to joint chance constrained programms: a Monte Carlo approach [J]. Operations Research, 2011, 59(3):617-630.

[7] GLASSERMAN P. Monte Carlo Methods in Financial Engineering [M]. New York: Springer, 2004.

[8] FREUND R M. Subgradient optimization, generalized programming, and nonconvex duality [R]. Cambridge: Massachusetts Institute of Technology, 2004.

[9] PFLUG G C. Some remarks on the value-at-risk and the conditional value-at-risk [M] // Probabilistic Constrained Optimization: Methodology and Applications. New York: Springer US, 2000:272-281.

[10] HONG L J, LIU Guangwu. Simulating sensitivities of conditional value-at-risk [J]. Management Science, 2009, 55(2):281-293.

A sequential convex approximation algorithm for portfolio optimization model

LI Weiguo1,2, ZHANG Hongwei*1, LIANG Xijun3

( 1.School of Mathematical Sciences, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China；2.Liaoning Geology Engineering Vocational College, Dandong 118303, China；3.College of Science, China University of Petroleum, Qingdao 266580, China )

CVaR has drawn extensive attentions as a representative convex optimization portfolio model in recent years. To overcome the limits of convex approximations in traditional portfolio models, a DC programming model for portfolio is proposed. In the proposed programming model, a DC function is used as a surrogate for the convex approximation function in the CVaR model. All the constraints are satisfied in the probabilistic sense in the DC programming problem. Moreover, a sequential convex approximation (SCA) algorithm is designed to solve the DC programming problem. The SCA algorithm is implemented by employing Monte-Carlo method. Preliminary experimental results have shown that the objective function values of the DC programming are better than those with CVaR approximation when the income factors satisfy ″high peak and fat tail″ distributions.

portfolio; sequential convex approximation; convex optimization; Monte-Carlo method

1000-8608(2017)03-0321-06

2016-08-20；

2017-03-25．

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61503412)；遼寧省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃研究項(xiàng)目(JG16EB101).

李衛(wèi)國(guó)(1974-)，男，博士生，E-mail:liguoguo1@sina.com.cn；張宏偉*(1955-)，男，教授，E-mail:hwzhang@dlut.edu.cn.

O224

A

10.7511/dllgxb201703016