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      觀察、比較和想象:生長空間觀念的土壤
      ——以“認(rèn)識平行四邊形”一課為例

      2017-06-06 07:34:46◇吳
      小學(xué)教學(xué)(數(shù)學(xué)版) 2017年12期
      關(guān)鍵詞:垂直線四邊形平行

      ◇吳 賢

      在“認(rèn)識平行四邊形”一課中,我以一組平面圖形為觀察素材,提出了不同的觀察要求,在層層遞進(jìn)的比較中,在一次次富有挑戰(zhàn)的想象中,嘗試豐富兒童對幾何圖形的感受,突破兒童對高這一概念理解的難點(diǎn),建立更為立體和豐厚的高的認(rèn)識,溝通圖形學(xué)習(xí)中各個概念之間的聯(lián)系,讓兒童的空間觀念得到真正有生命力的生長。

      一、在觀察中喚醒已有認(rèn)知

      師:(出示圖1)這些圖形中,哪幾個是你心目中的平行四邊形?

      圖1

      生1:②號、③號和⑤號。

      (其他學(xué)生紛紛表示贊同)

      師:和他想法一樣的同學(xué)請舉手。的確,通過二年級的學(xué)習(xí),我們憑感覺就能很容易從這些圖形中正確挑選所有的平行四邊形。不過,在對長方形、平行線等內(nèi)容有了進(jìn)一步認(rèn)識之后,相信同學(xué)們再來觀察平行四邊形,一定會有更深入的發(fā)現(xiàn)。

      思考:二年級時,學(xué)生已經(jīng)初步認(rèn)識了平行四邊形,但那時候,他們對圖形的區(qū)分基本還是憑借整體的感知和把握,或者說,憑借直覺和模糊的理解。如何將這種尚不能宣之于口的認(rèn)識調(diào)取出來呢?在6個看似接近實(shí)則各有用意的多邊形中遴選出平行四邊形,很好地調(diào)動了學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)。①號雖然是四邊形,但沒有平行的對邊;④號盡管有兩組平行的對邊,卻不是四邊形;⑥號圖形只有一組對邊平行。雖然學(xué)生還不能明確地概括出平行四邊形的特點(diǎn),但對于平行四邊形的整體把握,卻能夠讓其順利地進(jìn)行判斷和選擇,而這種數(shù)學(xué)觀察、思考、判斷的過程,正是學(xué)生將內(nèi)部認(rèn)識表征的過程,也是認(rèn)識平行四邊形的喚醒過程。

      二、在操作中驗(yàn)證內(nèi)部認(rèn)識

      師:為什么說②、③、⑤號圖形是平行四邊形呢?和其他圖形比較,你覺得平行四邊形具有什么特點(diǎn)呢?先在小組里說一說你的想法,再借助手邊的工具,擺一擺、畫一畫,量一量、比一比,看看平行四邊形究竟有怎樣的特點(diǎn)。

      (學(xué)生借助上面6個圖形開展小組研究)

      生1:我們把平行四邊形上下兩條邊、左右兩條邊分別延長,發(fā)現(xiàn)它們永遠(yuǎn)不會相交,所以說平行四邊形上下、左右的邊分別平行。

      生2:我們也有同樣的發(fā)現(xiàn),用證明平行的方法,推移尺子也能看出相對的邊是互相平行的。

      (學(xué)生操作演示)

      生3:我們是在上下兩條邊之間畫了很多條垂直線段,測量后可以看出,這些垂直線段的長度都是2厘米。我們知道,只有平行線之間的距離才能處處相等,所以這兩條邊一定互相平行。

      師:大家發(fā)現(xiàn),平行四邊形有兩組對邊,它們分別平行。

      生4:我們還測量了平行四邊形的四條邊的長度和四個角的度數(shù)。發(fā)現(xiàn)平行四邊形對邊不僅平行,長度也相等。另外,對角也相等。

      生5:平行四邊形雖然能被分成兩個完全一樣的三角形,但它不是軸對稱圖形,對折后不能完全重合。

      師:通過剛才的研究,你們覺得平行四邊形有哪些特點(diǎn)?

      (學(xué)生從邊、角等方面總結(jié))

      師:有了今天的認(rèn)識,回頭再看這幾個不是平行四邊形的圖形,相信你們現(xiàn)在不僅僅是憑感覺,而是有了新的依據(jù),對嗎?

      生:①號對邊不平行,④號不是四邊形,⑥號只有一組對邊平行。

      師:體會一下,我們在判斷一個圖形是不是平行四邊形的時候,最喜歡用平行四邊形的什么特點(diǎn)?

      生:是不是平行,是不是四邊形。

      師:是的,再來讀一讀這個圖形的名稱,(和學(xué)生一起讀)你有什么想說的?

      生:平行四邊形的名字就表示出它的特點(diǎn)了。

      生:這個名字真是特別形象,一下子就告訴我們,對邊平行、四邊形,就是平行四邊形。

      思考:學(xué)生對平行四邊形的特點(diǎn)有自己的理解,有的可能更關(guān)注邊的位置關(guān)系,有的對邊的長度、角的大小之間的相等關(guān)系有著自己的判斷。讓學(xué)生在小組中充分地交流、操作、驗(yàn)證,可以將他們對平行四邊形模糊的猜測、認(rèn)識變得更加具體、真實(shí),相互的交流和補(bǔ)充又能讓這些認(rèn)識更為清晰和準(zhǔn)確。

      不過,對圖形的認(rèn)識,只有正例,還不足以凸顯基本質(zhì)特點(diǎn)。借助反例的辨析,從不同的角度再次體會,可以讓學(xué)生對平行四邊形的本質(zhì)特點(diǎn)有更為清楚的體驗(yàn)。學(xué)生原有的空間感受,通過有價值的猜測、操作、驗(yàn)證活動得到了確認(rèn),在反例的再次審視中得到了提升,這讓學(xué)生對平行四邊形的內(nèi)在特點(diǎn),與其他圖形的聯(lián)系和區(qū)別有了更深刻的認(rèn)識。

      三、在比較中感知新的概念

      師:繼續(xù)觀察②號和③號平行四邊形,你還有什么發(fā)現(xiàn)?

      生:這兩個平行四邊形四條邊的長度分別相等,可是它們的形狀卻不一樣。

      師:的確,不僅如此,再觀察一下,還有什么發(fā)生了變化?

      生:這兩個圖形的大小不同。

      生:圖形中的角變了。

      生:這兩個圖形的高也不相同。

      師:真的嗎?能用手勢比畫一下,你們所說的高到底在哪兒嗎?

      (學(xué)生有的用兩手比畫一組平行線,有的用手描畫出一條垂直線段)

      師:有了自己的理解后,能用合適的工具畫出這條高,量出它的長度嗎?每人選一個平行四邊形,畫一畫,量一量。

      (學(xué)生用三角尺畫出上下對邊之間的一條垂直線段)

      師:和他畫的方法差不多的同學(xué)請舉手。

      (大部分學(xué)生能畫對,個別學(xué)生雖然畫得不夠標(biāo)準(zhǔn),但都希望畫出的是高)

      師:這一條是高嗎?(展示學(xué)生畫出的不同位置的高)誰來說明一下?

      生:是高,它和這一條高只是位置移動了一下,但依然是這里的一條垂直線段,長度也一樣。

      師:回憶我們畫高的過程,什么樣的線段是平行四邊形的高?

      生:只要是在平行四邊形一組對邊之間畫出的垂直線段,就是這個平行四邊形的高。

      師:說得對,在平行四邊形一組對邊之間畫出的垂直線段都是它的高,而這組對邊就是這條高所對應(yīng)的底。在畫高的時候,我們可以從平行四邊形一條邊上的一點(diǎn)出發(fā),向它的對邊畫一條垂直線段,這就是一條高。一般來說,高要用虛線來畫,因?yàn)槭谴怪本€段,還要加上直角符號。

      思考:我們都知道,平行四邊形的高是一個非常重要的新概念,在教材中,是借助起點(diǎn)和終點(diǎn)的方法定義這條圖形內(nèi)部的特殊線段的。在教學(xué)中,我們往往會把這個定義當(dāng)作是數(shù)學(xué)上的一個規(guī)定,讓學(xué)生按照文字的表述去理解和操作。但實(shí)際的學(xué)習(xí)效果往往不夠理想。

      值得我們思考的是,平行四邊形的高的實(shí)質(zhì)究竟是什么呢?生活中的高與數(shù)學(xué)上的高之間有沒有聯(lián)系?在教學(xué)中,我利用課始6個圖形中兩個特殊的平行四邊形,讓學(xué)生直觀感知高的變化,模糊地找到高的位置。嘗試畫高后方法的比較,讓學(xué)生真正體會到,平行四邊形的高,實(shí)際上就是它一組對邊間的垂直線段,且由于對邊平行的特點(diǎn),學(xué)生更容易理解高有無數(shù)條,處處相等。而建立在對邊之間垂直線段這一理解上的高,也容易讓學(xué)生對底的認(rèn)識有所突破。

      四、在想象中體會圖形性質(zhì)

      讓學(xué)生觀察②號和③號這兩個平行四邊形,從而發(fā)現(xiàn)平行四邊形邊的長度不變,高卻會發(fā)生變化。利用教具,讓學(xué)生演示高的變化,體會在這一過程中,什么沒有變、什么變了,說明平行四邊形還很容易變形。

      提問:當(dāng)高最大的時候,平行四邊形會變成什么圖形?這個特殊平行四邊形的高就是什么?

      讓學(xué)生體會平行四邊形與長方形之間的聯(lián)系和區(qū)別。

      思考:這是一次對平行四邊形的重新觀察,從變與不變的角度,學(xué)生在靜態(tài)的圖和動態(tài)的框架的多次感知中,體會平行四邊形易變形的特性。而觀察中,對高的體會,還能巧妙地溝通平行四邊形和長方形的聯(lián)系,讓學(xué)生在初步觀察時產(chǎn)生的疑惑得到解答。

      五、在矛盾中加深概念理解

      師:(指②號和③號圖形)這兩個平行四邊形,不僅高不相等,形狀也發(fā)生了變化。想一想,還有沒有這樣一個平行四邊形,它的四條邊和這兩個平行四邊形分別相等,形狀卻不相同?

      (生比畫交流)

      師:(出示平行四邊形框架)這里有一個平行四邊形,你能借助它說明你的想法嗎?

      生:這樣的平行四邊形還有很多,大家看,我只要推一點(diǎn)兒,這個圖形的高就變了,但它的四條邊的長度是不會變化的。

      師:看來,平行四邊形很容易變形。繼續(xù)想象一下,這個圖形的高如果不斷變高,變到最高的時候,是怎樣的呢?

      生:高最高時,平行四邊形就變成一個長方形了。這時候,高就跑到長方形的邊上來了。

      (學(xué)生邊說邊用框架演示)

      生:我覺得長方形就是一個特殊的平行四邊形。

      師:通過這一次想象之旅,我們對平行四邊形和它的高又有了新的認(rèn)識?,F(xiàn)在,請你在⑤號圖形中,畫出并量出它的底和高。

      (學(xué)生畫完后展示不同的畫法)

      師:觀察②號和⑤號平行四邊形,它們其實(shí)是完全一樣的圖形。(剪出一個圖形與另一個重合)可是,同樣的平行四邊形,量出的底和高怎么會不相同呢?

      生:一個是較長的邊上的高,一個是較短的邊上的高。

      生:它們是畫在不同的對邊里的,對邊不同,高的長度也不同。

      生:我發(fā)現(xiàn),底邊比較短,高就比較長;底邊要是比較長,高就比較短。

      師:看來,觀察的角度不同,底就不同,對應(yīng)的高也不同,較長的邊做底,對應(yīng)的高就比較短;較短的邊做底,對應(yīng)的高就比較長。平行四邊形的底和高是相互依存的,也是相互制約的。

      思考:再次畫高,既是一次對底和高的鞏固練習(xí),也為之后的比較提供了素材。在發(fā)現(xiàn)②號和⑤號其實(shí)是完全一樣的平行四邊形后,學(xué)生自然地產(chǎn)生這樣的疑問:怎么同一個平行四邊形,底和高卻不同呢?在對這一問題的思考中,學(xué)生會基于各自的經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn):同一個平行四邊形,都能夠畫出兩組不同的底和高,底和高必須對應(yīng)存在,且長度之間是一種互相制約的關(guān)系。這為以后學(xué)習(xí)平行四邊形的面積、靈活解決問題都提供了很好的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。

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