鄧法珍

開放地思考 細(xì)心地探究

鄧法珍

近些年來，開放探究型問題成了各地中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)試題之一.此類題目具有較強(qiáng)的綜合性與創(chuàng)造性，既能考查同學(xué)們對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，又能反映同學(xué)們對(duì)知識(shí)內(nèi)容的拓展、聯(lián)想、應(yīng)用能力和開發(fā)創(chuàng)造能力.

我們把開放探究型問題主要分為以下四種基本類型：條件開放探究型、結(jié)論開放探究型、規(guī)律開放探究型、策略開放探究型.筆者結(jié)合近幾年的各地中考試題，談?wù)勥@幾種類型試題的特點(diǎn)和解答方法.希望能給同學(xué)們的學(xué)習(xí)帶來幫助.

一、條件開放探究題

例1 已知：如圖1，在△ABC中，點(diǎn)E是邊AB上的點(diǎn)，點(diǎn)F在AC邊上，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件 （寫出一個(gè)即可），使得以A，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.

圖1

【試題分析】本題從“知識(shí)層面”上考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，在“思考方向”上我們根據(jù)試題的特點(diǎn)可以從結(jié)論入手，采用“執(zhí)果索因”的分析法，由于沒有確定三角形相似的對(duì)應(yīng)元素，故應(yīng)分類討論，分兩種情況：①若結(jié)論為△AEF∽△ABC，則可以填∠AEF=∠B或∠AFE=∠C或EF∥BC或等；②若結(jié)論為△AFE∽△ABC，則可以填∠AFE=∠ABC或∠AEF=∠C或等.

【試題賞析】同學(xué)們對(duì)本題一定眼熟，因?yàn)樗膱D形源于課本——各種版本教材的例習(xí)題中常見的基本圖形，又高于課本——包含了兩個(gè)相似基本圖形平行型和相交型.本題新穎之處在于別出心裁地給出了不完備的條件，需要同學(xué)們添加適當(dāng)條件推論出結(jié)論.這就要求大家能全面理解題目的“知識(shí)源泉”，雖然難度不大，但有一定的開放度，答案可能不唯一，思維的方向是多角度的，旨在培養(yǎng)同學(xué)們的發(fā)散思維和創(chuàng)新思維.

二、結(jié)論開放探究題

例2 已知某函數(shù)具有以下性質(zhì)：當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大.請(qǐng)寫出滿足條件的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式： .

【試題分析】該題是一道探究多種答案的開放題，可以是各種類型的函數(shù).一次函數(shù)可以是y=2x+1等，反比例函數(shù)可以是y=-3x等，二次函數(shù)可以是y=（x-1）2+3、y=x2等，也可以是其他類型的函數(shù).

例3（2016·達(dá)州）如圖2，在?ABCD中，已知AD＞AB.

圖2

（1）實(shí)踐與操作：作∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，在AD上截取AF=AB，連接EF；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）猜想并證明：猜想四邊形ABEF的形狀，并給予證明.

【試題分析】（1）由角平分線的作法容易得出結(jié)果，在AD上截取AF=AB，連接EF，畫出圖形即可（如圖3）；（2）由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義得出∠BAE=∠AEB，證出BE= AB，由（1）得：AF=AB，得出BE=AF，即可得出結(jié)論.

圖3

【試題賞析】例2、例3屬于結(jié)論開放探究題，該類問題一般是結(jié)論不確定或沒有唯一答案，特點(diǎn)是題設(shè)中給出全部條件.在解答此類問題時(shí)，需要充分利用已知條件和圖形特征，進(jìn)行觀察、思考、歸納、類比，透徹分析出給定條件下可能存在的結(jié)論，然后經(jīng)過驗(yàn)證或論證做出取舍.這是一種執(zhí)果索因式的綜合性思維，培養(yǎng)綜合分析判斷能力和科學(xué)的推斷論證能力.

三、規(guī)律開放探究型

例4（2016·濰坊）在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=x-1與x軸交于點(diǎn)A1，如圖4所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1…正方形AnBnCnCn-1，使得點(diǎn)A1、A2、A3…在直線l上，點(diǎn)C1、C2、C3…在y軸正半軸上，則點(diǎn)Bn的坐標(biāo)是.

圖4

【試題分析】已知y=x-1與x軸交于點(diǎn)A1，可得A1坐標(biāo)（1，0），可得B1坐標(biāo)（1，1），因?yàn)镃1A2∥x軸，可得A2坐標(biāo)（2，1），再由四邊形A2B2C2C1是正方形，求得B2坐標(biāo)（2，3），根據(jù)C2A3∥x軸，可得A3坐標(biāo)（4，3），根據(jù)四邊形A3B3C3C2是正方形，求得B3（4，7），因B1（20，21-1），B2（21，22-1），B3（22，23-1），…，由此規(guī)律可得Bn坐標(biāo)（2n-1，2n-1）.故答案為（2n-1，2n-1）.

【試題賞析】規(guī)律探索試題是中考中的一棵常青樹，一直受到中考命題者的青睞，主要原因是這類試題沒有固定的形式和方法，可以考查同學(xué)們的探究和創(chuàng)新能力.此類型問題解決的一般方法是對(duì)特殊性得到的結(jié)論進(jìn)行合理猜想，適量驗(yàn)證，由特殊猜測(cè)一般的結(jié)論或規(guī)律.處理該問題關(guān)鍵是要找出An、Bn兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，從特殊點(diǎn)B1開始進(jìn)行探究對(duì)象所具有的內(nèi)在規(guī)律，通過猜想、證明等環(huán)節(jié)，完成規(guī)律的探究過程.

四、策略開放探究型

例5（2016·山西）如圖5，六個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方形拼成了一個(gè)大長(zhǎng)方形，AB是其中一個(gè)小長(zhǎng)方形的對(duì)角線，請(qǐng)?jiān)诖箝L(zhǎng)方形中完成下列畫圖，要求：①僅用無(wú)刻度直尺，②保留必要的畫圖痕跡.

圖5

圖6

（1）在圖5中畫出一個(gè)45°角，使點(diǎn)A或點(diǎn)B是這個(gè)角的頂點(diǎn)，且AB為這個(gè)角的一邊；

（2）在圖6中畫出線段AB的垂直平分線.

【試題分析】第（1）問根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可解決問題，有兩種不同的構(gòu)造策略如圖7、圖8.

圖7

圖8

第（2）問由于作圖工具的限制，最終的落腳點(diǎn)為“兩點(diǎn)確定一條直線”，所以解決此題的突破口在于如何確定關(guān)鍵點(diǎn).作圖策略有很多，可以分為以下幾類：

類型①：借助矩形的性質(zhì)確定關(guān)鍵點(diǎn)，如下圖.

類型②：借助正方形的性質(zhì)確定關(guān)鍵點(diǎn)，如下圖.

類型③：借助被隱藏的網(wǎng)格確定關(guān)鍵點(diǎn).

【試題賞析】本題以長(zhǎng)方形的對(duì)角線為載體，綜合考查等腰直角三角形的判定，線段垂直平分線的判定，正方形的判定、旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱等相關(guān)知識(shí).試題中幾何關(guān)系豐富，蘊(yùn)含了“數(shù)量關(guān)系決定位置關(guān)系”的數(shù)學(xué)本質(zhì).兩個(gè)小問題的解法均豐富多樣，可以發(fā)現(xiàn)，解答策略入口寬、方法多：其中類型①的解法思路要求同學(xué)們具有較高的幾何直觀能力；類型②的解法很大程度上是受第（1）問的啟發(fā)得到的，要求同學(xué)們要有較好的類比聯(lián)想能力；類型③的解法思路則反映思維的高度形象具體化，要求具有較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng).不同的解法透露了不同思維的差異，但是解此類問題的關(guān)鍵重在轉(zhuǎn)化：第（1）問轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形，第（2）問根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線”公理轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)的確定”.

開放探究型問題題型設(shè)計(jì)靈活，問題所涉及知識(shí)面廣，解決的關(guān)鍵是要認(rèn)真審題，確定目標(biāo)，更要深刻理解題意，拓展思路，發(fā)散思維，數(shù)形結(jié)合，合理轉(zhuǎn)化.而直觀歸納與嚴(yán)格推理論證相結(jié)合是處理這類問題的基本思路和解題策略.

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)華羅庚實(shí)驗(yàn)學(xué)校）