對求解max-min模糊關(guān)系方程Tsukamoto法的簡化

吳小瑞,宋振明

(1.西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 610031；2.西南交通大學(xué) 智能開發(fā)中心，四川 成都 610031)

對求解max-min模糊關(guān)系方程Tsukamoto法的簡化

吳小瑞1,宋振明2

(1.西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 610031；2.西南交通大學(xué) 智能開發(fā)中心，四川 成都 610031)

在求解max-min模糊關(guān)系方程Tsukamoto方法的基礎(chǔ)上，首先對Y矩陣的每列元素進(jìn)行集合的交運(yùn)算，縮小解集的范圍，再對W矩陣的每列元素進(jìn)行集合的交運(yùn)算，使W矩陣從m×n維轉(zhuǎn)化為n×1維，減少一些無用的計(jì)算量，避免解集出現(xiàn)空集，或出現(xiàn)重復(fù)解，使計(jì)算更加簡潔。

模糊關(guān)系方程;max-min模糊關(guān)系方程;Tsukamoto法

模糊關(guān)系方程在模糊數(shù)學(xué)理論中占有重要的地位，被模糊綜合評判、模糊控制、模糊識別、模糊決策、模糊系統(tǒng)和數(shù)據(jù)挖掘等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用[1-3]，所以，模糊關(guān)系方程的求解問題是一個(gè)重要的研究方向。

Tsukamoto方法是20世紀(jì)70年代日本學(xué)者Tsukamoto Y提出的，該方法最突出的優(yōu)點(diǎn)是最直接、最直觀，但是仍然存在缺陷。計(jì)算量隨著矩陣方程階數(shù)的增加而呈現(xiàn)指數(shù)的增長，且有些計(jì)算重復(fù)出現(xiàn)，或者許多計(jì)算結(jié)果是空集，或者給出重復(fù)解，或者給出的解被其他解包含。那么將如何避免這些多余的計(jì)算呢？因此，針對這些問題進(jìn)行分析，在Tsukamoto方法的基礎(chǔ)上對運(yùn)算進(jìn)行一些簡化，減少一些重復(fù)計(jì)算，使計(jì)算更簡潔、更有效地求得模糊關(guān)系方程的所有解。

1 預(yù)備知識

下面將給出max-min模糊關(guān)系方程的定義及相關(guān)的一些定理，簡單的介紹如何用Tsukamoto方法[1-3]求解max-min模糊關(guān)系方程。

模糊關(guān)系方程：

XoA=B

(1)

是模糊關(guān)系方程。

下面給出一些相關(guān)的定理及算法。

定義兩個(gè)算子如下：

Tsukamoto方法：

3)對每個(gè)Wj1,j2,…,jn矩陣的每一行進(jìn)行集合的交運(yùn)算，得矩陣列向量Pj1,j2,…,jn便是一部分解向量，最后對所有的解集合求并，得到最終解的集合。

2 Tsukamoto方法的簡化

第二部分得知Pj1,j2,…,jn是模糊關(guān)系方程的解，記Xi1,i2,…,in是Tsukamoto方法化簡后所求得的解，下面根據(jù)這兩種解，我們得到

定理2.3 若矩陣Pj1,j2,…,jn，矩陣Xi1,i2,…,in是公式(1)的解，并且滿足條件：j1=i1,…,jn=in，有Pj1,j2,…,jn=Xi1,i2,…,in，且矩陣個(gè)數(shù)相等。

證明：(1)矩陣Pj1,j2,…,jn和矩陣Xi1,i2,…,in個(gè)數(shù)相等是顯然的。因?yàn)榫仃嘝j1,j2,…,jn和矩陣Xi1,i2,…,in都是由集值模糊矩陣Y中每列非零元素的個(gè)數(shù)決定。

(2)下面證明解是同一個(gè)解。

即pi1=xi1，因此矩陣Pj1,j2,…,jn=Xi1,i2,…,in。

結(jié)合(1)、(2)命題成立。

對求解(2)的步驟如下：

注2.1 若從Y的每列所選的非空元素中，所在同一行有兩個(gè)或兩個(gè)以上的，先將他們進(jìn)行相交之后，再去替換中相應(yīng)行的元素。

下面給一些例子分別用Tsukamoto方法和利用上述定理及性質(zhì)所得新算法進(jìn)行求解，并作了比較。

例2.1 解模糊關(guān)系方程

(1)方法1。

但是由于計(jì)算量非常大，通過同樣的方法將下面矩陣的計(jì)算過程省略。P3251，P3411，P3451，P3511，P3551，P4211，P4251，P4411，P4451，P4511，P4551，P5211，P5411，P5251，P5512，P5552，P3252，P5452，P3452，P3552，P5451，P5551，P4212，P5511，P4252，P4412，P4452，P4512，P4552，P5212，P5252，P5412，以上所得的解都是空集。

(2)方法2。

通過上述兩種方法的比較，第2種明顯減少了一些無用計(jì)算，并通過定理及性質(zhì)能夠更快解得解是空集，這樣既減少了計(jì)算的時(shí)間，又減少了占用的空間。

3 結(jié) 語

模糊關(guān)系方程的求解是一個(gè)重要的計(jì)算工具。何鵬和王學(xué)平研究矩陣覆蓋，在[0,1]格上研究模糊關(guān)系方程極小解的求解問題[16]。本文分析Tsukamoto方法，利用蘊(yùn)涵邏輯公式，減少矩陣的維數(shù)，簡化矩陣，在Tsukamoto方法的求解過程作了一些簡化，得到一種新的方法。

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Simplified Tsukamoto Method of Solving Max-min Fuzzy Relation Equation

WU Xiaorui, SONG Zhengming

(Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031，China)

Based on the Tsukamoto method of solving the fuzzy relation equations, firstly, the conjunctive operation for the each element of column of Y matrix is calculated, and the smaller scope of the solution set is obtained. Then, the Conjunctive operation for the each element of column of W matrix as well, m n dimension is transformed into n 1 dimension in W matrix to reduce the useless calculation and avoid appearing empty set, or duplicate solution. Thus, the solution of max-min fuzzy relation equation is simplified.

fuzzy relation equation; max-min fuzzy relation equation; Tsukamoto method

2016-11-23

吳小瑞(1987-)，女，甘肅平?jīng)鋈?，在讀碩士研究生，主要從事智能信息處理方面的研究.

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目( 61175055).

10.3969/i.issn.1674-5403.2017.02.021

O29

A

1674-5403(2017)02-0079-04