含參數(shù)不等式恒成立問(wèn)題的求解技巧

江蘇省淮陰中學(xué)高三(6)班(223000)

范 茗●

含參數(shù)不等式恒成立問(wèn)題的求解技巧

江蘇省淮陰中學(xué)高三(6)班(223000)

范 茗●

所謂含參數(shù)參不等式恒成立問(wèn)題，主要是指在恒成立條件下，已知不等式解集求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，它涉及知識(shí)點(diǎn)多，覆蓋范圍廣，思想方法深刻，技巧性、綜合性以及靈活性強(qiáng)，是歷年數(shù)學(xué)高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容.不少同學(xué)在求解含參數(shù)不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，往往束手無(wú)策，難以找到突破口，對(duì)此，筆者總結(jié)了含參數(shù)不等式恒成立問(wèn)題的幾種求解技巧和方法，以供同學(xué)們參考借鑒.

一、參數(shù)分離，最值轉(zhuǎn)化

參數(shù)分離，是求含參數(shù)不等式恒成立問(wèn)題較為常用的方法之一，它是指在含有參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題中，借助恒等變形，將所求參數(shù)(或其代數(shù)式)從不等式中分離出來(lái)，并置于不等式一端，從而將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化函數(shù)最值或值域問(wèn)題，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，使問(wèn)題快速有效獲解.

例1 已知函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)，對(duì)一切x∈R不等式f(m2-2sinx)≤f(2m+1+cos2x)成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解 ∵函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)，由題設(shè)不等式知

m2-2sinx≥2m+1+cos2x對(duì)一切x∈R恒成立，

∴m2-2m-1≥cos2x+2sinx對(duì)一切x∈R恒成立，

設(shè)g(x)= cos2x+2sinx，∴m2-2m-1≥[g(x)]max.g(x)= cos2x+2sinx=-sin2x+2sinx+1=-(sinx-1)2+2,

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于某些含參數(shù)不等式恒成立問(wèn)題，可將其中的參數(shù)分離出來(lái)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最大值或最小值問(wèn)題.通常有:①f(x)g(a)(a為參數(shù))恒成立?f(x)min>g(a).

二、分類討論，嚴(yán)謹(jǐn)思維

分類討論法，是數(shù)學(xué)解題中至關(guān)重要的思想方法.在解含參不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，若參數(shù)取值范圍不同，或不等式左右兩邊的函數(shù)存在不確定因素時(shí)，可通過(guò)分類討論的方法對(duì)參數(shù)進(jìn)行求解，在分類討論時(shí)應(yīng)注意明確分類標(biāo)準(zhǔn)，做到不重復(fù)，不遺漏，從而提高解題的嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性.

例2 設(shè)函數(shù)f(x)=x2+bx+c(b、c∈R).若對(duì)任意x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)-f(x2)]≤4,求b的取值范圍.

解 題設(shè)等價(jià)于f(x)在[-1,1]上的最大值和最小值之差M≤4，所以：

綜上所述，可知b的取值范圍是[-2,2].

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于含參數(shù)不等式恒成立問(wèn)題，倘若無(wú)法通過(guò)恒等變形分離參數(shù)，此時(shí)可以借助分類討論的思想進(jìn)行分析和求解.

三、數(shù)形結(jié)合，直觀求解

數(shù)形結(jié)合法，直觀形象.其特點(diǎn)是“見數(shù)想形，以形助數(shù)”，是求解含參不等式恒成立問(wèn)題不可或缺的方法之一.在解某些含參不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，我們可以先將不等式兩端的式子看成兩個(gè)不同的函數(shù)，然后分別畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，接著觀察函數(shù)圖象特征和位置關(guān)系，最后列出有關(guān)參數(shù)的不等式，從而使問(wèn)題迎刃而解.

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于一些難以分離參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題，可以利用數(shù)形結(jié)合思想，先作出符合已知條件的函數(shù)圖象或圖形，再利用函數(shù)圖象的直觀性，列出不等式，求出參數(shù)的取值范圍.

總之，含參數(shù)不等式恒成立問(wèn)題的求解方法靈活多樣，不拘一格.在平時(shí)數(shù)學(xué)解題和學(xué)習(xí)中，同學(xué)們應(yīng)注意多探索、多思考、多歸納、多總結(jié)，不斷積累經(jīng)驗(yàn)，掌握技巧和方法，從而提升自己的解題能力，有效突破解題障礙.

指導(dǎo)老師：陳 勇

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