郝王麗+韓猛+胡欣宇

摘 要：核磁成像是一種非侵入式觀測病人組織改變的技術(shù)，但其速度很慢，因此提高核磁圖像的重建速度有著非常重要的意義。壓縮感知常用來快速重建核磁圖像，且被建模成一個(gè)包含數(shù)據(jù)保真項(xiàng)、稀疏先驗(yàn)項(xiàng)和全變分項(xiàng)的線性組合最小化問題。壓縮感知理論表明，圖像本身或其在某個(gè)變換域內(nèi)越稀疏，其重建質(zhì)量就越好。根據(jù)結(jié)構(gòu)稀疏理論，一個(gè)長度為n的標(biāo)準(zhǔn)K-稀疏數(shù)據(jù)，若其是樹稀疏的，用于重構(gòu)的采樣樣本可由O（K+Klogn）減少到O（K+logn）。若經(jīng)小波樹變換后的圖像是樹稀疏的，便可獲得更好的重建圖像。全變分項(xiàng)雖然在復(fù)原圖像結(jié)構(gòu)方面很有效，但其會(huì)造成圖像的過平滑并為重構(gòu)圖像帶來塊效應(yīng)，非局部全變分可以克服其缺陷，并在保持圖像邊緣和細(xì)節(jié)信息以及提高信噪比方面很有優(yōu)勢。鑒于此，文中提出了基于小波樹稀疏和非局部全變分的壓縮感知核磁圖像重建模型。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，利用該模型核磁圖像可以很快地被重建且其圖像細(xì)節(jié)信息得到了很好的保持。基于小波樹稀疏和非局部全變分的壓縮感知核磁圖像重建模型在核磁圖像重建質(zhì)量和重構(gòu)時(shí)間方面具有良好性能。

關(guān)鍵詞：小波樹；非局部全變分；壓縮感知；核磁共振圖像；圖像重建

中圖分類號(hào)：TP301.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：2095-1302（2017）06-00-03

0 引 言

壓縮感知理論領(lǐng)域的研究表明[1]，從高度欠采樣的k-空間數(shù)據(jù)中準(zhǔn)確重構(gòu)出核磁圖像是可行的，且可以大大縮短核磁圖像的掃描時(shí)間[2]。Lusting 等人首先將壓縮感知理論應(yīng)用到核磁圖像的重建上[2]，他們將核磁圖像重建建模成如下優(yōu)化問題：

其中，x為原始圖像，b為欠采樣k-空間觀測到的數(shù)據(jù)，R為局部傅里葉變換，Φ為小波變換，α和β為兩個(gè)正參數(shù)，用來協(xié)調(diào)兩個(gè)約束項(xiàng)的關(guān)系。事實(shí)表明，小波變換和全變分可以稀疏地表示分段光滑的圖像或組織。全變分項(xiàng)通常表示為，和分別表示圖像在兩個(gè)坐標(biāo)方向上的前向有限差分操作，這種全變分也被稱作局部全變分。

文獻(xiàn)[2]中采用公式（1）組合小波稀疏和全變分（TV）兩個(gè)先驗(yàn)約束項(xiàng)，求解壓縮感知核磁圖像重建問題，且實(shí)驗(yàn)表明，在欠采樣率約為20%的情況下能獲得較好的重建圖像[2]。但圖像在小波變換域內(nèi)并不足夠稀疏，且全變分很容易造成圖像過平滑并引起塊效應(yīng)。為進(jìn)一步提高圖像表示的稀疏性，文獻(xiàn)[3]中引入了稀疏性更好的小波樹來替換（1）中的小波項(xiàng)，但并未解決全變分帶來的圖像過平滑以及塊效應(yīng)問題。為克服TV的內(nèi)在缺陷，非局部全變分（NLTV）作為可以保護(hù)圖像邊緣及細(xì)節(jié)信息的約束項(xiàng)被引入核磁圖像的重建[4]和圖像去模糊的求解中[5]，獲得了很好的實(shí)驗(yàn)性能。但在文獻(xiàn)[4]中，其稀疏約束項(xiàng)仍然采用小波變換。為了更好地保持圖像邊緣和細(xì)節(jié)信息，并進(jìn)一步提高圖像重建質(zhì)量，本文提出基于小波樹和非局部全變分的壓縮感知核磁圖像重建。

1 相關(guān)工作

1.1 基于樹的壓縮感知

如果一個(gè)信號(hào)是稀疏的或者能夠被稀疏地表示，用于重建該信號(hào)所需采樣的個(gè)數(shù)比奈奎斯特定理所需采樣的個(gè)數(shù)少很多。而且若知道原始信號(hào)結(jié)構(gòu)的一些先驗(yàn)知識(shí)，比如群或圖結(jié)構(gòu)，采樣數(shù)目可以進(jìn)一步降低[6，7]。一些算法就是利用小波系數(shù)的樹機(jī)構(gòu)來提高壓縮感知重建效果[8-11]。OGL便用一個(gè)凸方法來建模樹結(jié)構(gòu)[8]：

其中，θ為小波系數(shù)集，A代表局部傅里葉變換，b為采樣數(shù)據(jù)。ΦT代表逆小波變換，G代表所有的父親-孩子組，g為G的一個(gè)組，為θ的擴(kuò)展向量，最后一項(xiàng)是保證數(shù)據(jù)一致性的懲罰項(xiàng)。當(dāng)小波系數(shù)恢復(fù)后，通過逆小波變換可重構(gòu)圖像。

1.2 非局部全變分

在文獻(xiàn)[12-17]中，非局部全變分通過在正則化項(xiàng)中采用非局部像素計(jì)算梯度來解決全變分所帶來的塊效應(yīng)問題，非局部全變分正則化項(xiàng)定義如下：

px（u） 和px（v）分別表示以點(diǎn)u和v為中心的圖像塊，權(quán)重函數(shù)用來度量圖像塊px（u） 和px（v）之間的相似度，Zx為標(biāo)準(zhǔn)化因子， σ為尺度參數(shù)，用來控制兩圖像塊px（u） 和px（v）間的相似度。

2 問題模型及其求解

2.1 問題模型

壓縮感知重建問題在本文中的建模如下：

為有效求解這個(gè)問題，引入變量y來約束有重疊結(jié)構(gòu)的變量x， 使式（6）變?yōu)榉侵丿B的凸優(yōu)化問題。令GΦx=y，則式（6）可被重寫為：

公式（7）中，對(duì)于y-子問題，我們可通過分組軟閾值方法求得閉合形式的解；對(duì)于x-子問題，我們可將第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)二次懲罰項(xiàng)結(jié)合起來；其余項(xiàng)的形式類似FCSA[18]， 因此可通過迭代方式有效求解。

2.2 問題求解

如上所述，式（7）中的y-子問題可被寫為：

綜上，基于小波樹稀疏和NLTV的壓縮感知核磁圖像重建模型的求解分為兩大步，即首先利用軟閾值方法求解y-子問題，然后再利用FCSA求解x-子問題。

在實(shí)際應(yīng)用中，與傳統(tǒng)的TV相比，雖然NLTV正則化項(xiàng)因其權(quán)重的計(jì)算遍布整個(gè)圖像域，時(shí)間開銷大，但它可通過很少的迭代次數(shù)獲得很好的重建圖像[5]。因此在保證重建圖像質(zhì)量的前提下我們采用文獻(xiàn)[5]中周期性的更新NLTV正則化項(xiàng)的方法來縮短算法的執(zhí)行時(shí)間。

現(xiàn)給出模型（6）的求解算法，為表示方便，我們將其簡記為NLTV-WaTMRI。

公式（12）是將圖像的像素值規(guī)范化到[l，u]范圍內(nèi)，且u>l≥0，若不執(zhí)行該操作，則重建圖像由于存在負(fù)數(shù)像素?cái)?shù)值而出現(xiàn)偽影。T表示非局部全變分項(xiàng)的更新周期。

3 實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證所提出模型的良好性能，我們將求解算法NLTV-WaTMRI與約束項(xiàng)為TV和小波樹的WaTMRI[3]以及約束項(xiàng)為NLTV和小波的NLTV-FCSA[5]進(jìn)行比較。因WaTMRI和NLTV-FCSA性能都比約束項(xiàng)為TV和小波的FCSA好[18]，故此處FCSA不參與比較。公平起見，所有的算法都在Lenovo PC E2323機(jī)器上的Matlab2009b環(huán)境中運(yùn)行。

試驗(yàn)數(shù)據(jù)采用三幅常用的核磁圖像Chest、Brain、Shoulder，如圖1中的a1，b1，c1所示，均被規(guī)范化為256×256。設(shè)置欠采樣率約為20%，稀疏約束都采用兩級(jí)分解的Daubechies小波，正則化參數(shù)α，β設(shè)為0.001和0.035，λ=0.2β，最大迭代次數(shù)設(shè)為50。為進(jìn)行試驗(yàn)?zāi)M，k-空間的觀測數(shù)據(jù)b上添加標(biāo)準(zhǔn)差為0.01的高斯白噪聲。

圖1顯示了原始圖像和利用不同方法重構(gòu)的圖像，由圖可見，與基于NLTV的兩種方法NLTVFCSA和NLTVWaTMRI相比，利用基于TV的WaTMRI方法重構(gòu)圖像的噪聲比較大，且圖像的邊緣和細(xì)節(jié)信息不夠清楚。這說明NLTV在抑制噪聲和保持圖像邊緣細(xì)節(jié)方面比TV好。與基于小波稀疏的NLTVFCSA相比，基于小波樹稀疏的NLTVWaTMRI重構(gòu)圖像要更清晰一些，說明圖像在小波樹變換域內(nèi)比在小波變換域內(nèi)更稀疏。

圖2展示了三幅核磁圖像利用不同重建算法的性能比較，第一排顯示了不同重建算法在不同核磁圖像上的信噪比（SNR）與迭代次數(shù)（Iterations）的關(guān)系，第二排顯示了信噪比（SNR）與重建時(shí)間（CPU Time）的關(guān)系。由圖2第一排可見，利用NLTVWaTMRI重建的圖像有比其他方法更高的SNR，尤其比WaTMRI的高。根據(jù)圖2中的第二排可知，NLTVWaTMRI的時(shí)間性能比NLTVFCSA好，比WaTMRI略差，但卻有比WaTMRI高的多的SNR。

綜上所述，在重建時(shí)間相當(dāng)?shù)那闆r下，本文所提模型的求解算法NLTVWaTMRI與其他算法相比，具有更好的圖像邊緣細(xì)節(jié)保持能力，可以獲得更高的信噪比。

4 結(jié) 語

本文提出了基于小波樹稀疏和非局部全變分的壓縮感知核磁圖像重建模型。小波樹變換有比小波變換更好的稀疏性，故其重建圖像質(zhì)量更好。NLTV不僅可以避免由TV引起的圖像過平滑及塊效應(yīng)問題，還能更好地保持圖像邊緣和細(xì)節(jié)信息，抑制噪聲，故其重建圖像邊緣細(xì)節(jié)更清楚且噪聲更小。雖然NLTV權(quán)值的計(jì)算很耗時(shí)，但我們只執(zhí)行很少次數(shù)的權(quán)值更新，故重建時(shí)間不長。

參考文獻(xiàn)

[1] Donoho D. Compressed sensing[J].IEEE Transactions on Information Theory， 2006， 52（4）： 1289–1306.

[2] Lustig M， Donoho DJ.Sparse MRI： The application of compressed sensing for rapid MR imaging[J].Journal of the Chemical Fertilizer Industry，2007，58（6）：1182-1195.

[3] Huang J，Yang F.Compressed magnetic resonance imaging based on wavelet sparsity and nonlocal total Variation[J].2012 IEEE 9th International Symposium on Biomedical Imaging， 2012，5（1）：968-971.

[4] Liang D，Wang H，Chang Y，et al.Sensitivity Encoding Reconstruction With Nonlocal Total Variation Regularization[J].Magnetic Resonance in Medicine official journal， 2011，65（5）：1384-1392.

[5] Chen C， Junzhou H.Compressive Sensing MRI with Wavelet Tree Sparsity[C].In Proc. of the 26th Annual Conference on Neural Information Processing Systems （NIPS）， 2012，evada， USA， December.

[6] Huang J，Zhang T，Metaxas D.LearningWith Structured Sparsity[J].Journal of Machine Learning Research，2009，12（7）：417-424.

[7] Baraniuk R G， Cevher V， Duarte M F， et al.Model-based compressive sensing[J].IEEE Trans on Information Theory，2010， 56（4）：1982-2001.

[8] Rao N， Nowak R， Wright S， et al.Convex approaches to model wavelet sparsity patterns[C].In IEEE International Conference On Image Processing， 2011， ICIP11.

[9] He L， Carin L.Exploiting Structure in Wavelet-Based Bayesian Compressive Sensing[J].IEEE Trans. on Signal Processing， 2009， 57（9）：3488-3497.

[10] He L， Chen H， Carin L.Tree-Structured Compressive Sensing with Variational Bayesian Analysis[J].IEEE Signal Processing Letters，2009，17（3）：233-236.

[11] Som S， Potter L C， Schniter P.Compressive Imaging using Approximate Message Passing and a Markov-Tree Prior[C].In Proceedings of Asilomar Conference on Signals， Systems， and Computers，2010，

[12] Zhang X， Burger M， Bresson X X， et al.Bregmanized nonlocal regularization for deconvolution and sparse reconstruction[J].SIAM Journal of Image Science， 2010，3（3）：253-276.

[13] Peyre G， Bougleux S， Cohen L. Non-local regularization of inverse problems[C].in Proceedings of ECCV， 2008.

[14] Mignotte M. A non-local regularization strategy for image deconvolution[J].Pattern Recognition Letter，2008，29（16）：2206-2212.

[15] Elmoataz A， Lezoray O， Bougleux S.Nonlocal discrete regularization on weighted graphs： a framework for image and manifold processing[J].IEEE Transaction on Image Processing，2008，17（7）：1047-1060.

[16] Lou Y， Zhang X， Osher S，et al.Image recovery via nonlocal operators[J].Journal of Scientific Computing，2010，42（2）：185-197.

[17] Gilboa G， Osher S. Nonlocal operators with applications to image processing[J].Multiscale Model Simulation，2008，7（3）：1005-1028.

[18] Huang J， Zhang S， Metaxas D.Efficient MR image reconstruction for compressed MR imaging[J].Med. Image Anal， 2011， 15（5）：670-679.