■江蘇省太倉(cāng)市明德高級(jí)中學(xué) 王佩其

性規(guī)劃思想“對(duì)決”非線性目標(biāo)函數(shù)

■江蘇省太倉(cāng)市明德高級(jí)中學(xué) 王佩其

“線性規(guī)劃”是每年高考必考內(nèi)容。從近幾年的高考命題看,命題重點(diǎn)已從考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值轉(zhuǎn)向考查非線性目標(biāo)函數(shù)的最值,突出線性規(guī)劃思想的應(yīng)用。那么非線性目標(biāo)函數(shù)主要有哪些呢?下面舉例說(shuō)明。

一、斜率型

例1 (1)(2 0 1 5年·新課標(biāo)Ⅰ)若x、y

解析：(1)作出可行域,如圖1中陰影部分所示。由斜率的意義知,是可行域內(nèi)一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率,由圖可知,點(diǎn) A(1,3)與原點(diǎn)連線的斜率最大,故的最大值為3。

圖1

圖2

二、距離型

(1)設(shè)z=x2+y2,則z的取值范圍是;

(2)設(shè)z=x2+y2+6x-4y+1 3,則z的取值范圍。

圖3

(1)因?yàn)閦=x2+y2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的平方,故結(jié)合圖形可知,可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離中,dmin=|O C|=2,dmax=|O B|=2 9。

所以2≤z≤2 9。

(2)因?yàn)閦=x2+y2+6x-4y+1 3= (x+3)2+(y-2)2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到點(diǎn)(-3,2)的距離的平方,結(jié)合圖形可知,在可行域上的點(diǎn)到(-3,2)的距離中：

dmin=1-(-3)=4;

dmax==8。

所以1 6≤z≤6 4。

三、絕對(duì)值型

例3 (2 0 1 5年·浙江卷)若實(shí)數(shù)x、y滿足x2+y2≤1,則|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是。

解析：因?yàn)闈M足x2+y2≤1的實(shí)數(shù)x、y表示的點(diǎn)(x,y)構(gòu)成的區(qū)域是單位圓及其內(nèi)部,因此x∈[-1,1],y∈[-1,1],故6-x -3y＞0。

所以f(x,y)=|2x+y-2|+|6-x-3y|=|2x+y-2|+6-x-3y

直線y=-2x+2與圓x2+y2=1交于A、B兩點(diǎn),如圖4所示,易得

設(shè)z1=4+x-2y,z2=8-3x-4y,分別作直并平移,則z1=4+x-2y在點(diǎn)取得最小值3,z2=8-3x-4y在點(diǎn)取得最小值3。

圖4

所以|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是3。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于絕對(duì)值型的目標(biāo)函數(shù),往往可以通過(guò)分類討論,將含有絕對(duì)值的目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為線性目標(biāo)函數(shù)。

四、綜合型

圖5

由圖可知,點(diǎn)P在點(diǎn)B處時(shí),t取得最小值;點(diǎn)P在點(diǎn)C處時(shí),t取得最大值。

]。

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)比較復(fù)雜時(shí),往往可以通過(guò)適當(dāng)換元,將原函數(shù)化簡(jiǎn)成新函數(shù),并根據(jù)約束條件確定可行域,求出新變量的取值范圍,進(jìn)而求出新函數(shù)的最值。(責(zé)任編輯 徐利杰)