多頻激勵磁懸浮能量采集*

王祖堯 丁虎 陳立群

(1.上海大學上海市應用數(shù)學和力學研究所, 上海 200072) (2.浙江科技學院理學院, 杭州 310023) (3.上海大學力學系, 上海 200444)

多頻激勵磁懸浮能量采集*

王祖堯1,2丁虎1?陳立群1,3

(1.上海大學上海市應用數(shù)學和力學研究所, 上海 200072) (2.浙江科技學院理學院, 杭州 310023) (3.上海大學力學系, 上海 200444)

研究多頻激勵下磁力懸浮非線性磁電能量器采集系統(tǒng)的動力學特性.結合諧波平衡法、牛頓迭代法和弧長延伸法近似分析非線性電力耦合的常微分方程組,研究多簡諧頻激勵下系統(tǒng)的非線性穩(wěn)態(tài)幅頻響應特征.通過改變激勵的頻率,研究磁力懸浮非線性振動能量采集器的幅頻特性.研究結果表明,多頻激勵的穩(wěn)態(tài)幅頻響應隨非線性系數(shù)的增大而位移幅頻響應的共振峰變小但帶寬變寬.另外,還通過對比電學參數(shù)對共振響應幅度以及區(qū)域的影響,確定了電阻、電感和耦合系數(shù)對增強兩個共振強度、擴大兩個共振區(qū)域,也就是提高能量采集的強度和帶寬的影響.數(shù)值模擬驗證了近似解析分析結果.

非線性, 弧長延伸法, 能量采集, 諧波平衡, 多頻激勵

引言

近年來,許多研究人員對振動能量采集進行了大量的研究[1-5],力圖提高振動能量采集的效率和擴大采集的頻率范圍.研究表明,引入非線性因素能夠增加能量采集的強度和帶寬.Jiang和Chen[6]研究了SD能量采集器在高斯白噪音激勵下的響應,表明幾何非線性能量采集改善了能量采集的效率.還可以通過磁力作用引入非線性因素.Zhu和Zu[7]提出了一種新型的磁懸浮能量采集器,實驗表明這種設計可以增加能量的采集強度并擴展采集的頻帶寬度.Mann等人[8]通過單自由度彈簧振子的非線性振動特性分析,對這種磁懸浮的裝置的非線性能量采集性能進行了近似解析分析,得到了幅頻響應關系.

在已有的能量采集研究中,大多數(shù)研究的是單頻激勵下的能量采集,在實際能量采集系統(tǒng)中,外部激勵多為多頻激勵,即系統(tǒng)存在兩個或兩個以上的激勵源.多頻激勵容易產生混沌行為,而往往會導致系統(tǒng)振蕩或不規(guī)則運動,甚至會使系統(tǒng)徹底崩潰.因此,有必要研究多頻激勵對能量采集系統(tǒng)的影響.人們對多頻激勵下的系統(tǒng)進行了大量的研究工作.楊德森等人[10]利用多尺度法研究了在多頻激勵下Duffing系統(tǒng)的幅頻響應特性的研究.畢勤勝和陳予恕等人[11]研究了不可通約兩周期激勵作用下的Duffing方程的響應.董建寧等[12]利用數(shù)值方法研究了多頻激勵作用下Duffing-vander Pol的系統(tǒng)參數(shù)對近似解幅頻曲線的影響.鄒鴻翔[13]等研究多頻簡諧激勵下裂紋梁的非線性振動響應.本文研究文獻[7-9]裝置中的磁電能量采集系統(tǒng).進一步建立電力耦合的非線性振動方程組,通過諧波平衡方法和弧長法研究了該強非線性系統(tǒng)在外部多頻激勵下不同激勵頻率關系的穩(wěn)態(tài)響應特征.通過直接數(shù)值方法加以驗證.并對比不同參數(shù)的系統(tǒng)響應,揭示系統(tǒng)各電學參數(shù)對能量采集效果的影響.

1 磁懸浮能量采集器

如圖1給出了磁懸浮能量采集器的示意圖.相應的力學模型圖和電學模型圖如圖2所示.通過牛頓第二定律和基爾霍夫定律可到如下控制方程

(1)

圖1 磁懸浮能量采集器的原理圖Fig. 1 Schematic of theenergy harvester based on magnetic levitation

圖2 磁力懸浮能量采集系統(tǒng)力學和電學模型圖Fig. 2 Amechanical and electrical model schematic of the magnetic levitation energy harvesting system

2 多頻激勵的諧波平衡法分析

由于磁懸浮能量采集器是強非線性激勵系統(tǒng),這里通過諧波平衡法對方程(1)進行近似求解.為了將分析的問題一般化,首先對方程(1)進行無量綱化,即引入如下無量綱參數(shù)

(2)

將方程(2)代入方程(1),得到如下無量綱方程

(3)

假設方程(3)的解滿足如下形式

(4)

將方程(4)代入方程(3),并令k=2和cos(iωt)和sin(iωt) (i= 0, 1, 2, 3)的系數(shù)分別相等,得到下列方程組

b11cω+3a01b21b31k3+a11k1+

3a21b21b31k3/2+a12η-f1=0

(5)

3k3(a012b11+a01a11b21-a01a21b11+a01a21b31-

b212b31-a212b31-b112b31)-a11cω-b11ω2+

b12η1+b11k1=0

(6)

-b11ηω+a12μ+b12ω=0

(7)

a11ηω-a12ω+b12μ=0

(8)

3a012a21k3+2b21cω+3a01a11a31k3+3a01b11b31k3+

a21k1-4a21ω2+a22η-f2=0

(9)

b21k1-4b21ω2-2a21cω+b22η=0

(10)

-b21ηω+a22μ+2b22ω=0

(11)

2a21ηω-2a22ω+b22μ=0

(12)

a113k3/4+a32η+a31k1-9a31ω2=0

(13)

b113k3/4+3a11a21b21k3/2+b32η+b31k1+

學生以及教輔資料中有關這道題的很多解法都是利用特殊情形和極限情形得到答案的,教學中應引導學生發(fā)現(xiàn)這類解法的問題并提出如何給出嚴謹?shù)慕夥?

(14)

-3b21ηω+a32μ+3b32ω=0

(15)

3a31ηω-3a32ω+b32μ=0

(16)

a01k1+g1+a013k3+

(17)

對于給定的激勵頻率ω,通過求解方程(5)～(17)中通過牛頓迭代和弧長延長法可以解得方程(4)中的系數(shù).從而可以分別求得方程(3)的位移和電流的表達式,得到均方根位移和電流振幅幅頻響應.

系統(tǒng)的電功率可以通過P=μs2計算,而在一個周期T=2π/ω的平均電功率可以表示為

(18)

3 多頻激勵的幅頻特性分析

選取如下系統(tǒng)參數(shù):m= 0.0195kg,c=0.05Ns/m,線性彈性項系數(shù)k1=35N/m,非線性彈性系數(shù)項k3=13840N/m3,多頻激勵加速度振幅W1=W2=8m/s2,多頻激勵的頻率比k=2,電阻R=10Ω,電感Lind=0.005H,線圈長度Lcoil=10m,磁通強度B=0.05T.

如圖3和圖4所示,當k=1時,就是單頻激勵幅頻響應.當k=2和3時,穩(wěn)態(tài)響應振幅在ω=6.7Hz的右邊附近出現(xiàn)一個向右彎曲的共振峰,振幅最大值幾乎相等,都大于k=1時最大值的一半.當k=2和3時,分別在ω=6.7hz的二分之一和三分之一的附近出現(xiàn)另一個向右彎曲的共振峰.在圖4中,平均功率只在兩個共振峰附近取得比較大的振幅.

圖3 中間磁鐵在不同的頻率比k下的位移幅頻響應Fig. 3 Displacement frequency response of middle magnetdifferent frequency ratio k

圖4 中間磁鐵在不同的頻率比k下的平均功率幅頻響應Fig. 4 Average power frequency response of middle magnet different frequency ratio k

在圖5和圖6給出頻率比k=2時四階龍格庫塔法的直接數(shù)值結果與諧波平衡法近似分析結果的對比.數(shù)值方法得到的幅頻曲線與諧波平衡法得到中間磁鐵的幅頻曲線一致.

圖5 中間磁鐵位移幅頻響應的數(shù)值驗證(k=2)Fig. 5 Numerical verification for the displacement frequency response of middle magnet (k=2)

圖6 中間磁鐵平均功率幅頻響應的數(shù)值驗證(k=2)Fig. 6 Numerical verification for the average power frequency response of middle magnet (k=2)

選取k=2時,選取非線性系數(shù)k3分別為13840×0.6、13840和13840×1.4(N/m3).圖7給出了多頻激勵的系統(tǒng)幅頻響應曲線.當非線性系數(shù)增大時,位移振幅變小,振幅的兩個共振峰越向右彎曲和帶寬變寬.因此,非線性系數(shù)改變可以調節(jié)非線性能量采集器在多頻激勵下的響應振幅和帶寬.

圖7 中間磁鐵在不同非線性系數(shù)的位移幅頻響應Fig. 7 Displacement frequency response of middle magnet different nonlinear coefficient k3

4 系統(tǒng)電參數(shù)對能力采集器的影響

4.1 電感對系統(tǒng)的影響

圖8和圖9給出了電感Lind分別取為0.003H、0.005H和0.008H時,系統(tǒng)的幅頻響應曲線.從圖8中發(fā)現(xiàn),改變參數(shù)Lind,中間磁鐵的位移幅頻響應曲線保持不變.但從圖9中發(fā)現(xiàn),電感取得越大,中間磁鐵的平均功率的幅頻響應曲線的兩個共振峰越小,而且?guī)捲綄?并越向右彎曲.

4.2 耦合系數(shù)對系統(tǒng)的影響

圖10和圖11給出了耦合系數(shù)η分別取為0.2、0.5和0.8時的幅頻響應曲線.從圖10中發(fā)現(xiàn),耦合系數(shù)越小,中間磁鐵的位移的幅頻響應曲線的兩個共振峰越大,帶寬越寬并且越向右彎曲；從圖11中發(fā)現(xiàn),耦合系數(shù)取得越大,系統(tǒng)平均功率的幅頻響應曲線的兩個共振峰越大,但是耦合系數(shù)取得越小,帶寬越寬,并越向右彎曲.

圖8 中間磁鐵在不同的的電感的位移幅頻響應Fig. 8 Displacement frequency response of middle magnet different inductance Lind

圖9 中間磁鐵在不同的電感的平均功率幅頻響應Fig. 9 Average power frequency response of middle magnet different inductance Lind

圖10 中間磁鐵在不同的耦合系數(shù)的位移幅頻響應Fig. 10 Displacement frequency response of middle magnet different coupling coefficient η

圖11 中間磁鐵在不同的耦合系數(shù)的位移幅頻響應Fig. 11 Average power frequency response of middle magnet different coupling coefficient η

5 結論

本文研究了一種磁力懸浮非線性能量器采集系統(tǒng)在多頻激勵下的非線性動力學響應.通過結合運用三階諧波平衡法、牛頓迭代法和弧長延伸法,近似解析分析能量采集系統(tǒng)在多頻激勵下中間磁鐵的位移和平均功率輻頻響應.并通過直接數(shù)值方法驗證解析分析.研究結果表明,這種磁力能量采集器在多頻激勵下非線性系數(shù)的增大時,位移幅頻響應的兩個共振峰振幅變小,但兩個共振峰的帶寬變寬.另外,通過電學參數(shù)分析發(fā)現(xiàn),調節(jié)電學參數(shù),可以優(yōu)化得到增強兩個共振峰和帶寬的寬度,以達到增強振動能量采集效果的目的.

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13 鄒鴻翔,魏克湘,杜榮華,劉迎春. 多頻簡諧激勵下裂紋梁的非線性振動響應. 動力學與控制學報, 2013,11(3):246～251 (Zou H X, Wei K X, Du R H, Liu Y C. Nonlinear dynamic response of a crack beam under high low frequencies co-excitation.JournalofDynamicsandControl, 2013,11(3):246～251 (in Chinese))

*The project supported by the National Natural Science Key Foundation of China (11232009) and the National Natural Science Foundation of China (11372171, 11422214)

? Corresponding author E-mail: dinghu3@staff.shu.edu.cn

17 July 2016, revised 29 August 2016.

ENERGY HARVESTING OF MAGNETIC LEVITATION UNDER MULTI-FREQUENCY EXCITATIONS*

Wang Zuyao1,2, Ding Hu1?, Chen Liqun1,3

(1.ShanghaiInstituteofAppliedMathematicsandMechanics,ShanghaiUniversity,Shanghai200072,China)(2.SchoolofScience,ZhejiangUniversityofScienceandTechnology,Hangzhou310023,China)(3.DepartmentofMechanics,ShanghaiUniversity,Shanghai2004444,China)

This paper studies the nonlinear dynamics of a nonlinear energy harvester of magnetic levitation that uses electromagnetic induction to convert vibration into electrical energy under multi-frequency excitation. The amplitude-frequency response of the energy harvester is investigated by varying the external frequency. The nonlinear equations of electromagnetic-mechanic coupling model are approximately analyzed by using the harmonic balance method and arc-length method. Through changing the excitation frequency, the characteristics of the steady-state amplitude-frequency response containing two resonances are studied. The results show that the resonance peak of displacement amplitude frequency response under multi-frequency excitation is decreased, but the bandwidth is increased with the increase of nonlinear coefficient. Moreover, the effects of the resistance, inductance and coupling coefficient are investigated to determine the influences of the intensity of energy acquisition and the bandwidth. In addition, the approximate analytic results are verified through direct numerical simulations of up sweep and down sweep.

nonlinear, arc-length method, energy harvesting, harmonic balance, multi-frequency excitation

*國家自然科學基金重點項目(11232009)、國家自然基金面上項目(11372171)、國家自然基金優(yōu)青項目(11422214)

10.6052/1672-6553-2016-064

2016-07-17收到第1稿,2016-08-29收到修改稿.

? 通訊作者 E-mail: dinghu3@staff.shu.edu.cn