鄭棋棋，湯奇榮?，張凌楷，黎 杰，謝宗武，劉 宏

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)器人技術(shù)與系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，哈爾濱150080；2.同濟(jì)大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院機(jī)器人技術(shù)與多體系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室，上海201804）

空間機(jī)械臂建模及分析方法綜述

鄭棋棋2，湯奇榮2?，張凌楷2，黎 杰2，謝宗武1?，劉 宏1

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)器人技術(shù)與系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，哈爾濱150080；2.同濟(jì)大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院機(jī)器人技術(shù)與多體系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室，上海201804）

綜述了國(guó)內(nèi)外空間機(jī)械臂的研究現(xiàn)狀，分析了空間機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)建模和分析方法，比較了主流的空間機(jī)械臂及其多體系統(tǒng)（含多剛體，多柔體及剛?cè)狁詈希┓懂牭姆椒?，指出了它們各自的?yōu)缺點(diǎn)，得出了浮動(dòng)坐標(biāo)系下Lagrange法結(jié)合有限元方法更加適合考慮柔性的空間機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)建模及分析的結(jié)論。

空間機(jī)械臂；運(yùn)動(dòng)學(xué)；動(dòng)力學(xué)建模；分析方法

1 引言

隨著對(duì)空間技術(shù)的不斷探索，每年發(fā)射的航天器數(shù)量不斷增加，空間機(jī)器人在太空活動(dòng)中發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用［1］。統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明，在過(guò)去幾十年，每年有大約100顆衛(wèi)星發(fā)射成功，大多數(shù)都正常工作，但仍有一小部分出現(xiàn)故障甚至不同程度的受損［2］。為了延長(zhǎng)衛(wèi)星壽命，實(shí)現(xiàn)故障衛(wèi)星在軌維修，許多國(guó)家一直在努力研發(fā)空間機(jī)器人及其在軌服務(wù)技術(shù)。特別是日本、美國(guó)、歐洲、俄羅斯和加拿大，而加拿大更將空間機(jī)器人列為國(guó)家戰(zhàn)略［3］。我國(guó)空間技術(shù)也不斷發(fā)展，空間機(jī)械臂是我國(guó)載人航天三期工程的重大關(guān)鍵技術(shù)之一，也是空間站四個(gè)關(guān)鍵技術(shù)攻關(guān)項(xiàng)目，空間站上將配置大小兩個(gè)機(jī)械臂用于輔助對(duì)接、補(bǔ)給、出艙和科學(xué)實(shí)驗(yàn)［4］。

空間機(jī)器人主要由空間基座和一個(gè)固結(jié)在基座上的N自由度的空間機(jī)械臂組成?？臻g機(jī)械臂是由臂桿、關(guān)節(jié)、末端操作器等部件通過(guò)機(jī)械連接而成的鏈?zhǔn)较到y(tǒng)，一般具有質(zhì)輕、臂長(zhǎng)和負(fù)載大等特點(diǎn)。由于空間機(jī)械臂與基座之間的動(dòng)力學(xué)耦合，空間機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)建模比固定基座的機(jī)械臂復(fù)雜得多；同時(shí)為了獲得良好的控制精度和性能，必須在動(dòng)力學(xué)建模時(shí)考慮臂桿和關(guān)節(jié)柔性。柔性機(jī)械臂是一個(gè)非常復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)方程具有非線性、強(qiáng)耦合、時(shí)變等特點(diǎn)［5］。對(duì)空間機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)建模及分析方法的研究，是建立多剛?柔耦合的空間機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)。

2 系統(tǒng)研究狀況

空間機(jī)械臂是建設(shè)和維護(hù)國(guó)際空間站必不可少的工具，它也廣泛應(yīng)用于支持國(guó)際空間站的實(shí)驗(yàn)、艙外活動(dòng)等科學(xué)任務(wù)［7］。在過(guò)去30多年中，世界多國(guó)開展了此領(lǐng)域的研究。

典型的有加拿大臂（Canadarm），其主要功能為投放衛(wèi)星進(jìn)入恰當(dāng)?shù)能壍兰熬S修失效衛(wèi)星等［3］。在此基礎(chǔ)上，加拿大MD Robotic公司成功研發(fā)了應(yīng)用于空間站的移動(dòng)服務(wù)系統(tǒng)（MSS：Mo?bile Servicing System），如圖1（a）所示，該系統(tǒng)主要由活動(dòng)基體系統(tǒng)，空間站遙控機(jī)械臂系統(tǒng)（SS?RMS）以及專用靈巧機(jī)械臂（SPDM）等三部分組成［7］。其中SSRMS也稱加拿大第二臂（Canadarm2），于2001年成功安裝于國(guó)際空間站上，由七個(gè)關(guān)節(jié)和兩個(gè)機(jī)械臂桿組成。其共有七個(gè)自由度，且能操縱最大質(zhì)量高達(dá)100 000 kg的有效載荷。Canadarm2的七自由度配置使得它更靈活，更加適合于復(fù)雜的操作任務(wù)。SPDM由三個(gè)主要部分組成，包括兩個(gè)七自由度的機(jī)械臂和一個(gè)基座，每個(gè)臂的長(zhǎng)度為2.2 m。SPDM重約1100 kg，負(fù)載能力可達(dá)600 kg，定位重復(fù)性誤差為0.125 cm，主要用來(lái)執(zhí)行一些更加精細(xì)和關(guān)鍵的任務(wù)，如在軌更換元件，空間站的維修、檢測(cè)等［8］。

歐洲機(jī)械臂European Robotic Arm（ERA）由歐洲航空局設(shè)計(jì)，是國(guó)際空間站俄羅斯艙段上工作的第一個(gè)機(jī)械臂，如圖1（b）所示［9］。ERA組成包括一個(gè)七自由度機(jī)械臂，兩個(gè)艙外活動(dòng)控制臺(tái)人機(jī)接口，一個(gè)艙內(nèi)活動(dòng)控制臺(tái)人機(jī)接口，以及一個(gè)軌道系統(tǒng)等。ERA是11.3 m長(zhǎng)對(duì)稱結(jié)構(gòu)分布的機(jī)械臂，每一個(gè)臂段都由肩和腕關(guān)節(jié)組成，集成了俯仰關(guān)節(jié)、搖擺關(guān)節(jié)和旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)。ERA與Canadarm2設(shè)計(jì)一樣，在其兩端分別有一個(gè)末端執(zhí)行器，因此在工作時(shí)，采用固定其中一端作為基座，而另一端作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)來(lái)操作任務(wù)。ERA在俄羅斯艙段主要用于安裝、展開或者更換太陽(yáng)能電池翼等。

日本實(shí)驗(yàn)艙遙控機(jī)械臂系統(tǒng)（JEMRMS），如圖1（c）所示，是日本實(shí)驗(yàn)艙的主要組成部分之一，總重量約為1000 kg，由兩個(gè)連接臂段組成（主體臂和精細(xì)臂）［10］。JEMRMS主要用作大負(fù)載的處理，如日本實(shí)驗(yàn)艙的組裝和暴露設(shè)施相關(guān)實(shí)驗(yàn)等［9］。

1993年，德國(guó)宇航中心研制并成功發(fā)射了小型機(jī)器人系統(tǒng)ROTEX，并在哥倫比亞航天飛機(jī)上進(jìn)行了演示，執(zhí)行了抓取物體、機(jī)械裝配及插拔電插頭等多個(gè)實(shí)驗(yàn)，是世界上第一個(gè)具有地面遙操作功能的空間機(jī)械臂，如圖1（d）所示［11］。

2015年世界機(jī)器人大會(huì)上，中國(guó)航天科技集團(tuán)展出了未來(lái)大型空間站的實(shí)驗(yàn)艙機(jī)械臂如圖2所示。初步設(shè)計(jì)的七自由度冗余機(jī)械臂長(zhǎng)10 m，肩部有3個(gè)關(guān)節(jié)，肘部有1個(gè)關(guān)節(jié)，腕部有3個(gè)關(guān)節(jié)，最大負(fù)載25 t，在軌運(yùn)行10年以上，可進(jìn)行地面遙操作，并且安裝有視覺系統(tǒng)，可進(jìn)行視覺識(shí)別與自主分析避障，可滿足我國(guó)建造、維護(hù)和使用大型空間站的要求［12］。

3 運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)建模方法

3.1 空間機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)

空間機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)主要研究機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)特性，如位置、速度、加速度以及它們的高階導(dǎo)數(shù)，而不考慮使操作臂產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)的力和力矩。其主要研究的是機(jī)械臂的正、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)，通常首先利用矩陣建立機(jī)械臂位置、姿態(tài)及運(yùn)動(dòng)的表示方法，然后研究不同連桿和關(guān)節(jié)構(gòu)型配置機(jī)械臂的正、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)，最后利用D?H參數(shù)法推導(dǎo)機(jī)械臂所有可能構(gòu)型的正、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程［13］。Paul用D?H參數(shù)法對(duì)鏈?zhǔn)綑C(jī)械臂建模，通過(guò)矩陣變換，得到了描述機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)方程［14］。Wu忽略了高階誤差小項(xiàng)，用D?H參數(shù)法推導(dǎo)出一個(gè)線性解析誤差模型。然而當(dāng)運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差較大時(shí)，該簡(jiǎn)化模型和真實(shí)模型存在較大誤差。為此，研究人員開始研究對(duì)D?H參數(shù)法的改進(jìn)，以使其適用于任何軸線布置的機(jī)械臂，包括軸線平行或接近平行的情況。Moor?ing基于Rodrigues參數(shù)描述模型在六自由度機(jī)械臂上檢驗(yàn)了桿件扭轉(zhuǎn)所導(dǎo)致末端定位精度的改變，其運(yùn)動(dòng)學(xué)分析采用過(guò)固定點(diǎn)的單位旋轉(zhuǎn)矢量來(lái)描述特殊桿件運(yùn)動(dòng)［15］。Hayati在傳統(tǒng)的D?H坐標(biāo)建立的步驟上增加了一個(gè)繞動(dòng)軸y旋轉(zhuǎn)的附加角度用于表示相鄰關(guān)節(jié)軸線平行或接近平行時(shí)軸線方向的微小變動(dòng)，然而該方法無(wú)法用于相鄰關(guān)節(jié)軸線垂直或接近垂直的情況［16］。Barker基于D?H參數(shù)法，提出了修正的D?H模型（MD?H），能夠克服D?H模型在相鄰關(guān)節(jié)軸線平行時(shí)分析的不足［17］。蔡鶴皋和張超群對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)建模進(jìn)行了研究，基于修正的D?H模型（MD?H）和微分變換關(guān)系推導(dǎo)出了機(jī)器人實(shí)際幾何參數(shù)識(shí)別的全部公式［18］。這些運(yùn)動(dòng)學(xué)建模方法在一定程度上客服了傳統(tǒng)D?H方法缺陷，擴(kuò)展了運(yùn)動(dòng)學(xué)建模的方法。

機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)用于求解到達(dá)某一期望位姿時(shí)各個(gè)關(guān)節(jié)的角度。空間機(jī)械臂一般設(shè)計(jì)為七自由度，具有冗余自由度，這對(duì)于避免碰撞和改善動(dòng)力學(xué)性能非常有利，同時(shí)具有更大的靈活性，但對(duì)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的求解提出了更高的挑戰(zhàn)。對(duì)于七自由度機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)求逆方法的研究在過(guò)去幾十年有了巨大的進(jìn)步。1991年，Lee和Bejczy提出了一種選取合適關(guān)節(jié)參數(shù)獲得封閉形式逆解的方法，不過(guò)這種方法很難適用于有關(guān)節(jié)角限制的情況［19］。Dahm和Joublin使用冗余角度參數(shù)法得到了七自由度機(jī)械臂閉合形式的逆解，但目前只能用于求解腕部關(guān)節(jié)角有限制的運(yùn)動(dòng)學(xué)求逆［20］。Moradi和Lee在Dahm和Joublin的基礎(chǔ)上，開發(fā)了一種求逆方法，這種方法可以最小化肘部關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)，同時(shí)考慮肩關(guān)節(jié)的限制，但只考慮了一種自運(yùn)動(dòng)流形［21］。Shimizu和Kakuya等學(xué)者提出了一種能在關(guān)節(jié)角度限制情形下求解非偏置七自由度冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的計(jì)算方法，而且這種方法能夠擴(kuò)展應(yīng)用于其他構(gòu)型的冗余機(jī)械臂，但前提是能將冗余機(jī)械臂獨(dú)立參數(shù)化表示［22］。Singh和Claassens針對(duì)肘部偏置的七自由度Bar?rettWAM機(jī)械臂，采用幾何分析的方法進(jìn)行逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解［23］。禹超、金明河和劉宏則針對(duì)腕部有偏置的情形，提出了基于虛擬球關(guān)節(jié)的方法，并進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真驗(yàn)證［24］。徐文福和張金濤等學(xué)者針對(duì)肩、肘、腕均有偏置的SSRMS型七自由度冗余空間機(jī)械臂，提出了逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的關(guān)節(jié)角參數(shù)化及臂型角參數(shù)化兩種方法，并用仿真算例校驗(yàn)了有效性［25］。近年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)值解法結(jié)合智能算法也得到了大發(fā)展，逆運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)值解法的優(yōu)點(diǎn)是它們具有通用性，但是往往依賴于迭代初值的選擇，對(duì)于任意的關(guān)節(jié)角初值不一定收斂。

3.2 空間機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)

空間機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)研究物體在三維空間中的位置、速度、加速度和力（力矩）的變化情況［26］。空間機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)包括多剛體動(dòng)力學(xué)和多柔體動(dòng)力學(xué)，其動(dòng)力學(xué)研究與發(fā)展伴隨著計(jì)算多體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)理論的發(fā)展而發(fā)展?？臻g機(jī)械臂屬于鏈?zhǔn)綗o(wú)根多體系統(tǒng)范疇，由于臂桿的柔性變形以及關(guān)節(jié)的柔性在空間機(jī)械臂中不得不考慮，使得空間機(jī)械臂系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)十分復(fù)雜，需要看成一個(gè)剛?cè)狁詈系亩囿w系統(tǒng)。

3.2.1 多剛體動(dòng)力學(xué)建模研究現(xiàn)狀

多剛體動(dòng)力學(xué)的研究始于20世紀(jì)60年代，隨著傳統(tǒng)機(jī)械、車輛、航天等工程領(lǐng)域的發(fā)展，機(jī)械機(jī)構(gòu)日趨復(fù)雜化，組成機(jī)構(gòu)的各部件間都存在著一定的鉸鏈或者力約束，各部件運(yùn)動(dòng)相互耦合，由此多剛體動(dòng)力學(xué)應(yīng)運(yùn)而生。多剛體動(dòng)力學(xué)將系統(tǒng)中各部件做剛性假設(shè)，主要研究系統(tǒng)中各物體運(yùn)動(dòng)之間的相互作用以及對(duì)整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。Wittenburg在其專著中，全面細(xì)致地介紹了多剛體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)，奠定了以Lagrange方法為基礎(chǔ)的多剛體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)，之后將圖論理論引入到多體系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)描述中，討論了多剛體系統(tǒng)接觸碰撞動(dòng)力學(xué)問(wèn)題［27?28］。Kane提出了有別于矢量力學(xué)和分析力學(xué)的一種新的多體動(dòng)力學(xué)建模方法，又稱虛功率形式的D’Alembert原理；該方法通過(guò)引入偏速度、偏角速度，以達(dá)朗貝爾原理為基礎(chǔ)建立動(dòng)力學(xué)方程，既適用于完整系統(tǒng)也適用于非完整系統(tǒng)［29］。Schie?hlen出版了第一本統(tǒng)一的多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)手冊(cè)［30］。Haug提出了多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)笛卡爾坐標(biāo)方法，又稱參考點(diǎn)坐標(biāo)法，該方法能基于計(jì)算機(jī)建模和求解多體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程，避免了復(fù)雜的常規(guī)求導(dǎo)和計(jì)算，具有較強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值［31］。De Jalon和Bayo提出了多剛體系統(tǒng)建模的自然坐標(biāo)方法（又稱完全笛卡爾坐標(biāo)法），該方法利用參考基點(diǎn)的笛卡爾坐標(biāo)和參考基矢量的笛卡爾分量描述構(gòu)件的位置和姿態(tài)，不需要角度坐標(biāo)；用該方法描述多體系統(tǒng)能得到二次代數(shù)形式的約束方程和線性的雅可比矩陣，因此能大大提高計(jì)算效率［32］。之后，De Jalon對(duì)自然坐標(biāo)法25年來(lái)的研究進(jìn)展進(jìn)行了總結(jié)，并對(duì)自然坐標(biāo)法在某些應(yīng)用領(lǐng)域的突出優(yōu)點(diǎn)進(jìn)行了驗(yàn)證［33］。Shabana針對(duì)多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的數(shù)值求解算法展開了系統(tǒng)的研究，并著重研究用計(jì)算機(jī)輔助計(jì)算多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)［34］。Featherstone論述了開環(huán)、閉環(huán)多剛體系統(tǒng)的正逆動(dòng)力學(xué)及接觸碰撞問(wèn)題的算法［35］。Nikravesh、Roberson、Huston、Stejskal等也在多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)力學(xué)理論的研究方面做出了重要貢獻(xiàn)并發(fā)表專著［36?39］。國(guó)內(nèi)學(xué)者賈書惠、劉延柱、洪嘉振、芮筱亭、劉才山、吳洪濤、劉錦陽(yáng)、劉又午等研究較早。劉延柱、洪嘉振等提出了旋量?矩陣方法以建立多剛體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程并對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的計(jì)算方法進(jìn)行了較為詳細(xì)的綜述，之后又對(duì)多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)微分／代數(shù)混合方程組進(jìn)行了研究［40?42］。于殿勇、錢玉進(jìn)基于動(dòng)力學(xué)仿真軟件ADAMS進(jìn)行了參數(shù)設(shè)置研究，為獲得最佳仿真效果奠定了一定基礎(chǔ)［43］。安雪斌、潘尚峰在ADAMS中對(duì)三種多體動(dòng)力學(xué)仿真的接觸碰撞模型進(jìn)行了仿真計(jì)算，得出了三種模型的計(jì)算結(jié)果［44］。多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)已發(fā)展得相對(duì)成熟，并形成了以ADAMS、DADS、SIM?PACK等為代表的一大批多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析軟件。

3.2.2 剛?cè)狁詈峡臻g機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)建模

空間機(jī)械臂具有質(zhì)輕、結(jié)構(gòu)尺寸大、高負(fù)載自重比等特點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中關(guān)節(jié)和臂桿的柔性效應(yīng)增加，會(huì)使結(jié)構(gòu)發(fā)生變形并降低任務(wù)執(zhí)行的精度。關(guān)節(jié)柔性是指機(jī)械臂傳動(dòng)機(jī)構(gòu)和關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)軸的扭曲變形，通常用集中參數(shù)模型描述。臂桿柔性則指機(jī)械臂臂桿的彈性變形、剪切變形等，通常需要用偏微分方程所代表的分布參數(shù)模型加以描述。此外，還要考慮柔性關(guān)節(jié)和柔性臂桿之間的耦合作用［45］。為了實(shí)現(xiàn)柔性空間機(jī)械臂高精度的有效控制必須考慮系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性。柔性機(jī)械臂是一個(gè)非常復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)方程具有非線性、強(qiáng)耦合、時(shí)變等特點(diǎn)［6］。建立一個(gè)精確的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型對(duì)空間機(jī)械臂的控制具有十分重要的意義?？臻g機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)建模首先要建立運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)描述體系，根據(jù)參考坐標(biāo)系選取的不同，可以分為三類：浮動(dòng)坐標(biāo)系方法、隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)系方法和慣性坐標(biāo)系方法［46］。而柔性體變形的描述，是剛?cè)狁詈蠙C(jī)械臂系統(tǒng)建模與控制的基礎(chǔ)，同時(shí)基于不同的動(dòng)力學(xué)原理可以建立不同形式的動(dòng)力學(xué)方程。

1）基于不同參考系的建模方法

（1）浮動(dòng)坐標(biāo)系方法

浮動(dòng)坐標(biāo)系方法是將多剛體動(dòng)力學(xué)與結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)合的一種方法。假設(shè)空間機(jī)械臂系統(tǒng)的簡(jiǎn)化模型如圖3所示，由基座（B1）、臂桿（B2，B3）與末端執(zhí)行器（B4）組成，其中B2和B3為柔性細(xì)桿，基座（B1）與末端執(zhí)行器（B4）可看成剛性體。浮動(dòng)坐標(biāo)方法首先建立在不動(dòng)參考物上的慣性坐標(biāo)系C0x0y0以及固結(jié)在剛?cè)狁詈隙囿w上的浮動(dòng)坐標(biāo)系Cixiyi，隨后將柔性體的運(yùn)動(dòng)分解為浮動(dòng)坐標(biāo)系的剛體運(yùn)動(dòng)與相對(duì)于浮動(dòng)坐標(biāo)系的彈性變形的疊加。具體地，首先將浮動(dòng)坐標(biāo)系固化，再將彈性變形應(yīng)用模態(tài)分析法或有限元方法等離散，再仿照多剛體動(dòng)力學(xué)的處理過(guò)程建立離散系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程［47］。圖3中，柔性臂桿B2上任意一點(diǎn)P的位置矢量可以表示為式（1）：

其中R2為坐標(biāo)系C2到慣性系C0的位置矢量，A2為坐標(biāo)系C2到慣性系C0的旋轉(zhuǎn)矩陣，由歐拉角和歐拉參數(shù)等參數(shù)構(gòu)成，uo2和us2分別表示臂桿B2上點(diǎn)P變形前的位置和變形量。浮動(dòng)坐標(biāo)方法可以充分利用模態(tài)技術(shù)，對(duì)于小變形和低速的大范圍運(yùn)動(dòng)的情況有較佳的計(jì)算效率和精度，是目前柔性多體系統(tǒng)建模使用最廣泛的方法，由于空間機(jī)械臂的低速操作特性，考慮空間機(jī)械臂的柔性效應(yīng)時(shí)，這種建模方法得到了較好的應(yīng)用。

（2）隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)系方法

隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)系方法源于計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)，最早是由Argyris等提出作為固有模態(tài)方法的一部分發(fā)展起來(lái)的，這種方法被用于大位移，大轉(zhuǎn)角和小應(yīng)變結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模［47］。隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)系是單元局部坐標(biāo)系，在結(jié)構(gòu)受荷變形的過(guò)程中隨結(jié)構(gòu)變形而變位，即隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)系隨彈性體內(nèi)部的每個(gè)單獨(dú)的有限元的平均剛體運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)。隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的一個(gè)軸（x軸）與單元兩端節(jié)點(diǎn)的連線（即弦線）相重合，如圖4所示，且單元的節(jié)點(diǎn)1固定在坐標(biāo)系原點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)2可以沿著弦線做直線運(yùn)動(dòng)，因此在隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中，節(jié)點(diǎn)1只有轉(zhuǎn)角位移，節(jié)點(diǎn)2可以有一個(gè)轉(zhuǎn)角位移和一個(gè)沿弦線的線位移。圖4中，（a）為單元的未變形初始構(gòu)型，（b）為單元變形構(gòu)型節(jié)點(diǎn)位移示意圖。Belyschko和Hsieh建立了隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的顯式有限元法，用于歐拉?伯努利梁的動(dòng)力學(xué)建模［48］。Rice和Ting改進(jìn)了隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的顯式有限元法，能更好的分析大位移問(wèn)題［49］。Lin和Hsiao針對(duì)航天飛行器和空間機(jī)械臂需要減輕質(zhì)量、降低發(fā)射成本的需求，對(duì)薄壁梁用隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)系法結(jié)合完全Lagrange方程進(jìn)行了大位移幾何非線性問(wèn)題的分析［50］。張宏生在獲得小位移歐拉?伯努利變截面梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚮A(chǔ)上，在變形后位形上建立單元隨動(dòng)坐標(biāo)系，得到了變截面梁?jiǎn)卧笪灰迫科胶夥匠蹋脛偠汝嚥⑽从?jì)及剪切變形的影響［51］。

（3）慣性坐標(biāo)系方法

慣性坐標(biāo)系方法源于大變形非線性有限元和連續(xù)體力學(xué)原理，又可以分為非線性有限元法和絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法［47］。Simo和Quoc等在結(jié)構(gòu)力學(xué)非線性有限元法的基礎(chǔ)上，將柔性體的大范圍運(yùn)動(dòng)及其變形運(yùn)動(dòng)統(tǒng)一采用相對(duì)慣性坐標(biāo)系的節(jié)點(diǎn)位移來(lái)表示，發(fā)展了能處理小變形大應(yīng)變?nèi)嵝泽w的非線性有限元模型，但只限于梁式構(gòu)件［52］。任革學(xué)等基于絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)方法對(duì)柔性體與柔性體，柔性體與剛性體之間的碰撞問(wèn)題進(jìn)行了研究，擴(kuò)大了絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)發(fā)在工程中的應(yīng)用范圍［53］。田強(qiáng)等采用結(jié)合絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法與自然坐標(biāo)法的絕對(duì)坐標(biāo)方法研究了星載柔性機(jī)械臂在抓取漂浮目標(biāo)過(guò)程中機(jī)械臂?星體?太陽(yáng)翼的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)與控制問(wèn)題［54］。絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法促使柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論和有限元理論進(jìn)一步整合，一直是多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究者著力研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一。在絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)方法中，有限元的位形是由慣性系下的絕對(duì)位移的坐標(biāo)和斜率定義的，梁?jiǎn)卧鳛榈葏⒃幚?。通過(guò)這種描述，不但可以避免坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的麻煩，也可以得到較為簡(jiǎn)單的慣性力表達(dá)式，質(zhì)量陣為常值陣，科氏力陣為零陣，因此該方法在空間機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)建模中有廣泛的應(yīng)用。在絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)方程中，單元節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)定義在慣性參考系中，一個(gè)單元上任意一點(diǎn)的全局位置向量可以用式（2）所示全局函數(shù)和絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)描述：

這里r代表單元上任意一點(diǎn)的全局位置向量，rx和rz是r的分量，S代表全局形函數(shù)，e代表單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)向量（包括節(jié)點(diǎn)位移和斜率）［55］。

非線性有限元法的優(yōu)點(diǎn)是可以充分應(yīng)用現(xiàn)有的非線性有限元分析軟件，但因系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為有限元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，無(wú)法利用模態(tài)綜合技術(shù)來(lái)壓縮自由度，因此得到的動(dòng)力學(xué)方程廣義坐標(biāo)數(shù)目往往非常龐大，計(jì)算效率低下。絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法能精確地描述柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，既適用于小變形問(wèn)題也適用于大變形問(wèn)題，但它的定義決定了它無(wú)法區(qū)分剛體運(yùn)動(dòng)和彈性變形，會(huì)給某些控制問(wèn)題帶來(lái)不便。由于隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)方法和慣性坐標(biāo)方法下，慣性張量的平動(dòng)部分是線性的常量而且考慮了運(yùn)動(dòng)的非線性，隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)系方法和慣性坐標(biāo)系方法能夠解決大轉(zhuǎn)動(dòng)和動(dòng)力剛化問(wèn)題，但是由于動(dòng)力學(xué)方程復(fù)雜，計(jì)算效率低下。近年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)運(yùn)算處理技術(shù)的不斷進(jìn)步，這兩種方法在工程中得到了越來(lái)越多的應(yīng)用。

2）描述柔性體變形的方法

空間機(jī)械臂由于臂桿柔性的影響，在進(jìn)行大范圍剛性運(yùn)動(dòng)的同時(shí)往往伴隨著小幅的柔性振動(dòng)，呈現(xiàn)明顯的剛?cè)狁詈咸匦?。?duì)柔性臂桿變形的描述，是空間機(jī)械臂剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)建模和控制的基礎(chǔ)。因此首先要選擇一定的方式描述柔性體的變形，同時(shí)變形的描述與系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的求解關(guān)系密切。

（1）有限元方法

有限元方法是一類離散化的方法，其本質(zhì)是將具有無(wú)限自由度的連續(xù)體離散化為具有有限個(gè)自由度的單元集合體，這樣就能用數(shù)值方法進(jìn)行求解。其特點(diǎn)是采用彈性元單元、剛性結(jié)點(diǎn)、載荷向結(jié)點(diǎn)移置、剛度及阻尼特性由單元表征。采用有限元法得到的動(dòng)力學(xué)方程較為復(fù)雜，動(dòng)態(tài)響應(yīng)求解運(yùn)算量也較大，同時(shí)不能進(jìn)行系統(tǒng)的參數(shù)化分析。Fattah用有限元方法對(duì)雙連桿柔性機(jī)械臂進(jìn)行離散，進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模與仿真［56］。Tokhi和Mohamed用有限元方法建立了單連桿柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型，并分別用有限元方法和有限差分法對(duì)柔性機(jī)械臂的建模的精度、計(jì)算效率進(jìn)行了比較［57?58］。

（2）集中參數(shù)方法

集中參數(shù)方法主要分為有限段方法和集中質(zhì)量法。有限段方法的基本思想是把一個(gè)柔性梁離散成若干個(gè)剛性段，剛性段之間通過(guò)柔性連接器（通常是線性或非線性的彈簧阻尼器）連接［59］。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是將柔性構(gòu)件用剛性部件來(lái)替代，能較好地計(jì)及剛?cè)狁詈稀⑷崛狁詈霞胺蔷€性的影響，且不受小變形限制［60］。但是有限段方法與有限元方法在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上存在著本質(zhì)的區(qū)別。就整個(gè)系統(tǒng)而言，有限段方法描述的多體系統(tǒng)是時(shí)變的，而有限元分析中其結(jié)構(gòu)的平衡位置不隨時(shí)間變化。就單元特征而言，有限段方法只應(yīng)滿足小應(yīng)變假設(shè)，即允許柔性體產(chǎn)生幾何非線性變形，而有限元法建立在小變形假設(shè)基礎(chǔ)之上，將變形線性化。就微分單元而言，有限段中微分梁段的長(zhǎng)度相當(dāng)于弧微分，而有限元方法是對(duì)坐標(biāo)的微分［47］。有限段方法適合于含有細(xì)長(zhǎng)柔性零件的系統(tǒng)，由于柔性機(jī)械臂的柔性主要來(lái)源于呈細(xì)長(zhǎng)梁、桿狀的柔性臂，因此采用有限段法對(duì)其離散較為適合。Megahed和Hamza用有限段方法對(duì)柔性機(jī)械臂進(jìn)行建模及仿真，并在傳統(tǒng)有限段方法的基礎(chǔ)上在動(dòng)力學(xué)方程中加入一致質(zhì)量矩陣實(shí)現(xiàn)了更精確的近似［61］。Tzou、Nissing、董龍雷及芮筱亭等基于有限段方法對(duì)柔性機(jī)械臂也進(jìn)行了大量研究［62?64］。

集中質(zhì)量法的主要思想是將柔性體的分布質(zhì)量離散化于若干離散結(jié)點(diǎn)上，即將全部質(zhì)量都集中到各節(jié)點(diǎn)上，桿系結(jié)構(gòu)的離散化剛度矩陣可以直接得出，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程都能直接通過(guò)對(duì)質(zhì)量的近似離散化得到［6］。集中質(zhì)量法不需要?jiǎng)偠群唾|(zhì)量單元函數(shù)，因此建模過(guò)程較有限元方法要簡(jiǎn)單。集中質(zhì)量法適用于部件外形復(fù)雜的柔性系統(tǒng)，在自由度相同的情況下，其模型精度低于有限元方法，但易于操作，條例清晰［65］。Konno和Uchiyama基于霍爾模型用集中質(zhì)量法對(duì)柔性機(jī)械臂進(jìn)行了建模，并分析比較了剛性機(jī)械臂和柔性機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)差異［66］。Zhu等將單連桿柔性機(jī)械臂離散成彈簧?質(zhì)量系統(tǒng)，將臂桿質(zhì)量集中在端點(diǎn)，并用無(wú)質(zhì)量彈簧體現(xiàn)柔性，實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂末端軌跡控制［67］。Meckl、Seering、Gher?man、蔡國(guó)平等基于集中質(zhì)量方法對(duì)機(jī)械臂也進(jìn)行了廣泛研究［68?70］。

（3）假設(shè)模態(tài)方法

假設(shè)模態(tài)法將柔性桿看成一個(gè)整體，根據(jù)桿件的不同邊界約束條件求得其振型函數(shù)，以振型函數(shù)作為離散柔性體的基礎(chǔ)。該方法以Rayleigh?Ritz法為基礎(chǔ)，采用模態(tài)截?cái)嗉夹g(shù)，利用系統(tǒng)中各個(gè)子結(jié)構(gòu)的模態(tài)，綜合出系統(tǒng)的整個(gè)模態(tài)［57］?；诓煌愋偷倪吔缂s束條件如固定－自由、簡(jiǎn)支－簡(jiǎn)支、自由－自由等邊界條件可以得到不同類型的模態(tài)特征函數(shù)［71］。假設(shè)模態(tài)方法建立的動(dòng)力學(xué)方程規(guī)模較小，也便于計(jì)算機(jī)編程，但是由于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的模態(tài)函數(shù)較難求解，因此比較適合離散形狀規(guī)則的柔性體。Hastings和Book用假設(shè)模態(tài)方法推導(dǎo)出了柔性機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)方程，用模態(tài)截?cái)嗉夹g(shù)只保留了低階模態(tài)，忽略了高階模態(tài)［72］。Theodore和Ghosal分別用假設(shè)模態(tài)方法和有限元方法對(duì)柔性機(jī)械臂進(jìn)行離散并分析比較，提出假設(shè)模態(tài)方法更適合于橫截面均勻的單連桿柔性機(jī)械臂建模，而有限元方法更適合于橫截面形狀復(fù)雜的柔性機(jī)械臂及多連桿柔性機(jī)械臂系統(tǒng)建模［73］。從這一點(diǎn)上來(lái)說(shuō)，后者更適合于本文研究的空間機(jī)械臂。Green和Sasiadek基于假設(shè)模態(tài)方法對(duì)雙連桿柔性機(jī)械臂進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模以及軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)，并和剛性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了比較［74］。Fotouhi等基于假設(shè)模態(tài)方法結(jié)合Lagrange方程提出了一種高效的方法適用于帶柔性臂桿和柔性關(guān)節(jié)的機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)建模［75］。

3）動(dòng)力學(xué)方程建立方法

空間機(jī)械臂剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型是進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析的基礎(chǔ)，基于不同的動(dòng)力學(xué)理論可以建立不同形式的動(dòng)力學(xué)方程。雖然動(dòng)力學(xué)方程形式不同，計(jì)算效率不同，但其所表征的系統(tǒng)特性和所得分析結(jié)果是等價(jià)的［76］。其中應(yīng)用最廣泛的是以Newton?Euler法為代表的矢量力學(xué)方法和以Lagrange法為代表的分析力學(xué)方法，以及兼具矢量力學(xué)和分析力學(xué)特性的Kane方法和基于變分方法的Hamilton原理方法。

（1）Newton?Euler法

Newton?Euler法首先將系統(tǒng)中每個(gè)個(gè)體做隔離處理，之后應(yīng)用牛頓第二定律和質(zhì)心動(dòng)量矩定理寫出物體質(zhì)心的平動(dòng)方程，應(yīng)用歐拉原理寫出質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)方程，進(jìn)而得到系統(tǒng)中各個(gè)單元的動(dòng)力學(xué)方程；根據(jù)系統(tǒng)中各體之間的約束關(guān)系，遞推得出整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。其形式直觀，物理意義明確，推導(dǎo)出的動(dòng)力學(xué)方程更容易進(jìn)行變換。對(duì)于添加新的擾動(dòng)和變量，具有良好的開放性。然而由于建模過(guò)程引入了難以消除的約束反力，導(dǎo)致方程中未知變量和方程數(shù)目較多，使得后續(xù)的計(jì)算過(guò)程效率十分低下。矢量力學(xué)原理和旋量方法則使Newton?Euler方程的表達(dá)形式變得極其直觀簡(jiǎn)明，其特點(diǎn)在將矢量和矢量矩合為一個(gè)六維矢量，利用對(duì)偶數(shù)作為工具，可以在開鏈和閉鏈結(jié)構(gòu)的空間機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析中得到廣泛應(yīng)用。Roberson、Schwertassek等在其專著中對(duì)于Newton?Euler法的具體應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)的介紹［37］。Rakhsha和Goldenberg基于Newton?Euler法對(duì)末端帶剛性體的單連桿柔性機(jī)械臂進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模［77］。Gamarra?Rosado和Yuhara基于Newton?Euler法得到了雙連桿雙旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程，并進(jìn)行了計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證［78?79］。Boyer和Coiffet基于Newton?Euler法結(jié)合D’Alembert原理對(duì)多連桿柔性機(jī)械臂進(jìn)行了建模［80］。De Luca和Ferrajoli提出了一種修正的遞歸Newton?Euler法，能解決常規(guī)方法難以計(jì)算機(jī)械臂故障檢測(cè)和控制問(wèn)題中動(dòng)態(tài)參數(shù)的問(wèn)題，并在七自由度DLR輕型機(jī)械臂上進(jìn)行了驗(yàn)證［81］。

（2）Lagrange法

Lagrange法從能量角度出發(fā)建立動(dòng)力學(xué)方程，首先根據(jù)系統(tǒng)的自由度選取合適的廣義坐標(biāo)，再用廣義坐標(biāo)表示出各個(gè)體的動(dòng)能和勢(shì)能，代入到Lagrange方程中，直接推導(dǎo)出系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。應(yīng)用Lagrange法建立的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程一般為一組微分－代數(shù)方程，微分方程表示廣義坐標(biāo)及其導(dǎo)數(shù)與廣義力的關(guān)系，而代數(shù)方程表示各體間的約束關(guān)系。其優(yōu)點(diǎn)是從能量角度出發(fā)，避免了方程中出現(xiàn)內(nèi)力項(xiàng)，動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)潔，使得計(jì)算效率高，適合于計(jì)算機(jī)編程和數(shù)值計(jì)算，但建模過(guò)程對(duì)動(dòng)能和勢(shì)能的推導(dǎo)較為復(fù)雜，且廣義坐標(biāo)的選取也有一定難度。Lagrange法經(jīng)常結(jié)合假設(shè)模態(tài)方法應(yīng)用于柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)建模。Martins基于Lagrange法結(jié)合假設(shè)模態(tài)方法對(duì)單連桿柔性機(jī)械臂建模進(jìn)行了研究，并得到了機(jī)械臂數(shù)學(xué)模型［82］。Tomei和Tornambe通過(guò)減少?gòu)V義坐標(biāo)數(shù)量對(duì)柔性臂精確描述結(jié)合Lagrange法建立了動(dòng)力學(xué)模型并進(jìn)行了仿真驗(yàn)證［83］。Bahrami和Rahi基于Lagrange?Euler方程和泰勒級(jí)數(shù)對(duì)帶柔性關(guān)節(jié)的N臂桿機(jī)械臂進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模并通過(guò)雙連桿機(jī)械臂進(jìn)行了仿真驗(yàn)證［84］。

（3）Kane方法

Kane方法是由Kane提出的有別于矢量力學(xué)和分析力學(xué)的一種新的動(dòng)力學(xué)建模方法，又稱虛功率形式的D’Alembert原理［29］，基本思想是根據(jù)系統(tǒng)的特點(diǎn)，靈活地選取廣義速率取代廣義坐標(biāo)或廣義坐標(biāo)的某種形式的函數(shù)以作為獨(dú)立變量，通過(guò)引入偏速度，偏角速度的概念，求出系統(tǒng)的廣義主動(dòng)力和廣義慣性力，最后由D’Alembert原理導(dǎo)出Kane動(dòng)力學(xué)方程［85］。Kane方法的特點(diǎn)是既可以像Lagrange法一樣避免方程中出現(xiàn)內(nèi)力項(xiàng)，簡(jiǎn)化方程，避免繁瑣的微分運(yùn)算，又類似于Newton?Euler法，方程物理意義明確，同時(shí)所得方程可以化為XU＝Y(jié)的標(biāo)準(zhǔn)形式，不含待定乘子，可方便地在計(jì)算機(jī)上求解，計(jì)算效率較高。Megh?dari和Fahimi基于Kane方法推導(dǎo)出了雙自由度柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程，并進(jìn)行了仿真驗(yàn)證［86］。贠今天等基于Kane方法推導(dǎo)建立了在慣性參考坐標(biāo)系中剛?柔機(jī)械臂的非線性動(dòng)力學(xué)模型，并利用假設(shè)模態(tài)法進(jìn)行離散［87］。金國(guó)光等基于假設(shè)模態(tài)法和Kane方法建立柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)其進(jìn)行數(shù)值仿真［88］。

（4）基于Hamilton原理方法

Hamilton原理作為分析力學(xué)中的重要原理，它是以泛函駐值的變分形式給出力學(xué)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)原理，可以解決剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)中的很多問(wèn)題［89］。它的實(shí)質(zhì)是從能量守恒的角度出發(fā)建立剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，同Lagrange法一樣，避免了動(dòng)力學(xué)方程中的內(nèi)力項(xiàng)，適用于結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單的柔性體動(dòng)力學(xué)方程［6］。Choi等應(yīng)用Ham?ilton原理結(jié)合有限元方法對(duì)兩連桿柔性機(jī)械臂進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模［90］。Singh應(yīng)用Hamilton原理結(jié)合假設(shè)模態(tài)方法推導(dǎo)出了雙連桿機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程［91］。Benati和Morro基于Hamilton原理對(duì)鏈?zhǔn)饺嵝员蹢U建立了系統(tǒng)化的動(dòng)力學(xué)推導(dǎo)過(guò)程［92］。劉才山等基于Hamilton原理建立起一般柔性體連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方法，并導(dǎo)出考慮剛?cè)狁詈献饔萌嵝粤河邢蘧S離散化的動(dòng)力學(xué)模型［93］。Prati?her、Esfandiar等也基于Hamilton原理對(duì)柔性機(jī)械臂建模做了大量研究［94?95］。

4 空間機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)分析方法

機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析主要研究機(jī)械臂在三維空間中的正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)特性。在太空微重力環(huán)境中，由于空間機(jī)械臂安裝在漂浮的基座航天器上，機(jī)械臂的任何運(yùn)動(dòng)都會(huì)對(duì)基座航天器產(chǎn)生反作用力和力矩，使得基座航天器的位姿發(fā)生改變，基座的浮動(dòng)反過(guò)來(lái)也會(huì)影響機(jī)械臂的位置和速度，從而產(chǎn)生動(dòng)力學(xué)耦合現(xiàn)象［96］。不同于地面固定機(jī)械臂末端執(zhí)行器的位姿可由各個(gè)關(guān)節(jié)角（關(guān)節(jié)空間中）以及機(jī)械臂幾何參數(shù)進(jìn)行遞推描述，空間機(jī)械臂末端的位姿不僅要考慮關(guān)節(jié)角，還要考慮基座的浮動(dòng)以及動(dòng)力學(xué)耦合［97］?？臻g機(jī)械臂不僅具有通常的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)奇異點(diǎn)，同時(shí)還具有其本身特有的機(jī)器人動(dòng)力學(xué)奇異［98］。動(dòng)力學(xué)奇異與空間機(jī)械臂的具體運(yùn)動(dòng)路徑相關(guān)，是不能通過(guò)機(jī)械臂的幾何參數(shù)事先預(yù)測(cè)的［99］。因此，空間機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析較地面固定機(jī)械臂復(fù)雜得多。

Longman等基于自由漂浮的空間機(jī)械臂開創(chuàng)性地提出一種運(yùn)動(dòng)學(xué)分析方法，該方法在運(yùn)動(dòng)學(xué)分析過(guò)程中計(jì)及了自由漂浮空間機(jī)械臂與基座之間的相互作用力和力矩，并結(jié)合角動(dòng)量守恒原理分析計(jì)算由于基座浮動(dòng)造成的關(guān)節(jié)角度變化以及由于機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)造成的基座位姿擾動(dòng)［100?101］。該方法證明了通過(guò)姿態(tài)控制機(jī)構(gòu)可使機(jī)械臂和基座航天器的控制解耦，并發(fā)展一種同時(shí)控制機(jī)械臂和航天器姿態(tài)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方法。Vafa和Dubowsky提出了虛擬機(jī)械臂（Virtual Manipulator，VM）的概念用來(lái)描述空間機(jī)械臂的幾何結(jié)構(gòu)，可使運(yùn)動(dòng)學(xué)方程簡(jiǎn)化，并將其應(yīng)用于空間機(jī)械臂的正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析、工作空間分析、軌跡規(guī)劃以及簡(jiǎn)化空間機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程［102?103］。虛擬機(jī)械臂是一個(gè)與真實(shí)機(jī)械臂系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)相似的無(wú)質(zhì)量運(yùn)動(dòng)學(xué)鏈，其基座固定在整個(gè)系統(tǒng)的質(zhì)心，當(dāng)系統(tǒng)不受外力時(shí)，這個(gè)點(diǎn)在慣性參考系不做運(yùn)動(dòng)，其第一個(gè)臂桿和基座之間的關(guān)節(jié)是被動(dòng)的球形關(guān)節(jié)。但是由于虛擬機(jī)械臂模型是理想化的無(wú)質(zhì)量運(yùn)動(dòng)學(xué)鏈，只能在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行仿真而無(wú)法進(jìn)行實(shí)體制造用于實(shí)驗(yàn)測(cè)試。國(guó)內(nèi)劉宏等基于VM方法，構(gòu)造了自由漂浮空間機(jī)器人的等效模型，把自由漂浮空間機(jī)械臂避動(dòng)力學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為避虛擬機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)奇異問(wèn)題，并對(duì)加速隱式近似線性規(guī)劃方法進(jìn)行了改進(jìn)，通過(guò)減少約束的方法，使得逆運(yùn)動(dòng)學(xué)算法求解更加高效［104］。

梁斌等提出了動(dòng)力學(xué)等價(jià)機(jī)械臂（Dynami?cally EquivalentManipulator，DEM）的概念，通過(guò)對(duì)自由漂浮空間機(jī)械臂（Space Manipulator，SM）和固定基座機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)建模，推導(dǎo)出DEM與空間機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)的等價(jià)條件，并通過(guò)閉環(huán)控制的仿真研究，展示SM和DEM的動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)等價(jià)性［105－106］。Pazelli等基于DEM概念提出了一些非線性控制策略應(yīng)用于自由漂浮空間機(jī)械臂自適應(yīng)控制器，并通過(guò)圖形仿真和數(shù)值分析比較驗(yàn)證所提出的策略［107?109］。From等基于DEM概念提出了一種計(jì)算高效且無(wú)奇異性的動(dòng)力學(xué)方程，該方法創(chuàng)造性地引入準(zhǔn)坐標(biāo)對(duì)球型關(guān)節(jié)進(jìn)行描述，取代了常規(guī)的歐拉角和歐拉參數(shù)［135］。

Yoshida和Umetani將線動(dòng)量守恒和角動(dòng)量守恒方程與系統(tǒng)特征方程結(jié)合起來(lái)，推導(dǎo)出了反映空間機(jī)械臂微分運(yùn)動(dòng)學(xué)的廣義雅可比矩陣（Generalized Jacobian Matrix，GJM）［96，111?112］。GJM可以看成傳統(tǒng)地面上固定機(jī)械臂雅可比矩陣的推廣，但兩者之間存在明顯的不同點(diǎn)：GJM不僅與空間機(jī)械臂連桿的幾何參數(shù)有關(guān)，而且還與空間機(jī)械臂連桿的各物理參數(shù)（如質(zhì)量、慣量）及其位置姿態(tài)有關(guān)。與VM、DEM相比，GJM具有計(jì)算量小的優(yōu)點(diǎn)。GJM在空間機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)建模及控制方面具有十分重要的意義，不僅被成功應(yīng)用于空間機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)速度控制，而且被推廣到空間機(jī)械臂的分解運(yùn)動(dòng)加速控制和轉(zhuǎn)置雅可比控制［113］。GJM是機(jī)械臂各關(guān)節(jié)角位置量和基座姿態(tài)角的函數(shù)，隨著機(jī)械臂構(gòu)型的變化，雅可比矩陣將隨之改變。由于機(jī)械臂系統(tǒng)這種狀態(tài)下動(dòng)力學(xué)方程的復(fù)雜性，即使在關(guān)節(jié)空間內(nèi)動(dòng)力學(xué)方程也不能表示為慣性參數(shù)的線性形式。Taira等基于轉(zhuǎn)置的GJM提出了一種空間機(jī)械臂的控制方法，并在三自由度自由漂浮空間機(jī)械臂上進(jìn)行了仿真［114］。郭琦等建立了雙臂六自由度空間機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，推導(dǎo)出了描述機(jī)械手末端運(yùn)動(dòng)速度與各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)關(guān)系的GJM，導(dǎo)出的GJM求解公式為顯式且易求的解，可直接對(duì)GJM表達(dá)式中各參數(shù)賦值，求出GJM［115］。

Papadopoulos和Dubowsky提出了重心矢量法用于自由漂浮單臂空間機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析，該方法將整個(gè)系統(tǒng)的質(zhì)心作為系統(tǒng)的平動(dòng)點(diǎn)，用重心矢量描述系統(tǒng)的幾何構(gòu)型和質(zhì)量分布，能將動(dòng)力學(xué)方程中的所有線動(dòng)量和角動(dòng)量方程解耦，簡(jiǎn)化方程［116］。Papadopoulos和Moosavian還將重心矢量法應(yīng)用于自由飛行多臂空間機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析［117?118］。之后，Moosavian和Papadopoulos分別將重心矢量法和直接路徑法用于多個(gè)空間機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模及動(dòng)力學(xué)方程推導(dǎo)，并做了分析比較，指出直接路徑法相比于重心矢量法得到的方程形式更加簡(jiǎn)單且位置和速度分析計(jì)算量要明顯少很多［119］。因此，直接路徑法更加適合于多臂系統(tǒng)的建模分析，通過(guò)推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)方程，能得到由系統(tǒng)質(zhì)量矩陣，非線性速度矢量及廣義力組成的動(dòng)力學(xué)方程。相較于遞歸的動(dòng)力學(xué)方程，更容易進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析及用于控制算法優(yōu)化。

5 空間機(jī)械臂建模分析方法展望

基于空間機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)建模及分析方法的研究現(xiàn)狀，具有以下研究熱點(diǎn)和趨勢(shì)。

5.1 接觸碰撞動(dòng)力學(xué)

空間機(jī)械臂在軌維護(hù)，抓取衛(wèi)星等都是典型的非連續(xù)動(dòng)力學(xué)過(guò)程，對(duì)柔性多體系統(tǒng)非連續(xù)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題進(jìn)行快速準(zhǔn)確求解，精確地預(yù)測(cè)系統(tǒng)的整體性態(tài)，一直是柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)重要挑戰(zhàn)。由于接觸碰撞過(guò)程的強(qiáng)非線性、高度耦合、數(shù)值計(jì)算困難等特性，目前對(duì)這些問(wèn)題的研究遠(yuǎn)未成熟［120］。根據(jù)不同的碰撞過(guò)程假設(shè)，處理柔性多體系統(tǒng)碰撞問(wèn)題的建模方法主要分為：沖量動(dòng)量法、連續(xù)接觸力法、接觸約束法，但這三種方法各有優(yōu)勢(shì)和局限。沖量方法基于碰撞過(guò)程中碰撞物體的位形不發(fā)生變化的假設(shè)基礎(chǔ)上，利用動(dòng)量守恒定律，用沖量（或動(dòng)量）描述碰撞的不連續(xù)過(guò)程。Yoo等學(xué)者用Kane方法和沖量動(dòng)量法推到了柔性旋轉(zhuǎn)梁的碰撞動(dòng)力學(xué)方程［121］。華衛(wèi)江和章定國(guó)運(yùn)用Lagrange方程推導(dǎo)出廣義沖量－動(dòng)量方程結(jié)合碰撞恢復(fù)系數(shù)方程推導(dǎo)出了兩個(gè)柔性機(jī)器人系統(tǒng)發(fā)生碰撞的動(dòng)力學(xué)方程［122］。連續(xù)接觸力法以碰撞力由局部接觸變形引起為假設(shè)，以彈簧阻尼力元來(lái)描述碰撞過(guò)程，能方便地求出碰撞力大小。Khulief和Shabana提出了用線性彈簧阻尼模型近似模擬多體系統(tǒng)碰撞的方法［123］。章定國(guó)等采用Hertz接觸理論和非線性阻尼理論建立接觸－碰撞模型，導(dǎo)出了柔性梁含碰撞的動(dòng)力學(xué)方程［124］。Schiehlen等基于非線性有限元理論，基于不同模型對(duì)碰撞問(wèn)題做了大量研究［125］。段玥晨等結(jié)合沖量動(dòng)量法和接觸約束法提出一種新的碰撞動(dòng)力學(xué)求解方法［120］?？臻g機(jī)械臂接觸碰撞動(dòng)力學(xué)是研究的熱點(diǎn)，如果選擇合理的數(shù)學(xué)－力學(xué)模型能夠準(zhǔn)確判斷碰撞點(diǎn)以及碰撞過(guò)程發(fā)生和結(jié)束的時(shí)間，將對(duì)空間機(jī)械臂的作業(yè)全局研究帶來(lái)突破性進(jìn)展。

此外，特別針對(duì)非剛性末端執(zhí)行器接觸碰撞問(wèn)題的研究具有很大的工程實(shí)踐意義，尤其是對(duì)于繩索式末端執(zhí)行器捕獲動(dòng)力學(xué)的研究，是保證對(duì)目標(biāo)載荷成功抓捕的關(guān)鍵，這是一個(gè)難點(diǎn)也是一個(gè)熱點(diǎn)。對(duì)于繩索式末端執(zhí)行器捕獲動(dòng)力學(xué)研究的難點(diǎn)主要有兩方面：一是對(duì)大柔性、大變形特性的繩索結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模困難；二是捕獲目標(biāo)過(guò)程中復(fù)雜的接觸碰撞，瞬時(shí)的非線性接觸碰撞力難以測(cè)量和計(jì)算［126］。機(jī)械臂捕獲目標(biāo)分為抓捕前接近、繩索收縮捕獲、捕獲后鎖緊與穩(wěn)定三個(gè)階段。當(dāng)前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于捕獲接觸碰撞階段的研究很少，Yoshikawa和Yamada結(jié)合空間機(jī)械臂關(guān)節(jié)剛度及空間機(jī)械臂與目標(biāo)衛(wèi)星的碰撞動(dòng)力學(xué)理論，分析了碰撞過(guò)程中空間機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)碰撞力的響應(yīng)情況［127］。陳力等對(duì)柔性空間機(jī)械臂捕獲衛(wèi)星碰撞動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了分析研究，基于動(dòng)量守恒關(guān)系，分析了接觸碰撞過(guò)程中接觸、碰撞對(duì)空間機(jī)械臂系統(tǒng)剛性運(yùn)動(dòng)和柔性振動(dòng)狀態(tài)的影響效應(yīng)［128］。潘冬等以繩索式末端執(zhí)行器為研究對(duì)象，引入繩索與目標(biāo)間的非線性接觸碰撞力和摩擦力模型，獲得了末端執(zhí)行器捕獲動(dòng)力學(xué)模型［126］。石為人等基于空間機(jī)械臂操作柔順接觸過(guò)程特點(diǎn)，通過(guò)等效彈簧阻尼方法，對(duì)空間機(jī)械臂末端接觸力進(jìn)行了建模與計(jì)算［129］。針對(duì)非剛性末端執(zhí)行器接觸碰撞問(wèn)題的研究仍舊是當(dāng)前的研究熱點(diǎn)之一。

5.2 符號(hào)化建模

為了提高機(jī)械臂操作的靈活性以完成復(fù)雜環(huán)境下的操作任務(wù)，可通過(guò)增加自由度數(shù)使空間機(jī)械臂在完成主要操作時(shí)能滿足一些附加性能指標(biāo)或次要操作。Vafa基于虛擬機(jī)械臂概念，通過(guò)研究六自由度和九自由度空間機(jī)械臂對(duì)基座擾動(dòng)為零的條件下的軌跡規(guī)劃，指出九自由度機(jī)械臂可以任意姿態(tài)跟蹤空間某一軌跡，而六自由度機(jī)械臂在跟蹤空間某一軌跡時(shí)其姿態(tài)受其動(dòng)力學(xué)特性影響［130］。增加空間機(jī)械臂的自由度數(shù)不僅可以提高靈活性，還可以影響空間機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)特性，但是傳統(tǒng)空間機(jī)械臂建模方式，往往只針對(duì)于某特定自由度數(shù)某特定構(gòu)型的空間機(jī)械臂，尤其是考慮柔性的剛?cè)狁詈峡臻g機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)建模，建模過(guò)程復(fù)雜，計(jì)算量大，當(dāng)需要改變自由度數(shù)或改變參數(shù)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化或參數(shù)優(yōu)化時(shí)，往往需要從頭開始建模分析，工作量非常大。如果采用符號(hào)化建模的方式，即在方程推導(dǎo)的過(guò)程中引入符號(hào)運(yùn)算手段，將機(jī)械臂的自由度數(shù)、每根桿件的質(zhì)量、D?H表示法所采用的四個(gè)連桿參數(shù)、桿件的慣性矩陣和質(zhì)心位置矢量、關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)變量及柔性體的描述等所有參數(shù)都用符號(hào)加以表示。基于這些參數(shù)，可以推導(dǎo)出表示桿件位姿的齊次坐標(biāo)變換矩陣、反映桿件運(yùn)動(dòng)與關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)映射關(guān)系的雅可比矩陣、桿件的實(shí)時(shí)運(yùn)動(dòng)映射參數(shù)以及進(jìn)行動(dòng)力學(xué)推導(dǎo)所需要的其他復(fù)合物理量等，結(jié)合柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模方法，可以通過(guò)計(jì)算機(jī)自動(dòng)推導(dǎo)得到空間機(jī)械臂的完整符號(hào)化模型。對(duì)于通過(guò)改變機(jī)械臂構(gòu)型（增加或減少剛性或柔性的臂段，改變密度分布）進(jìn)行優(yōu)化，以及機(jī)械臂的某些參數(shù)不確定需要優(yōu)化等情形，可以直接通過(guò)符號(hào)運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算機(jī)自動(dòng)推導(dǎo)計(jì)算出優(yōu)化后的模型。對(duì)于空間機(jī)械臂優(yōu)化中的約束處理，可以在符號(hào)運(yùn)算中引入約束方程，推導(dǎo)出空間機(jī)械臂完整的優(yōu)化模型。這對(duì)于系統(tǒng)地、批量地研發(fā)空間機(jī)械臂具有重要的意義，也是空間機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)建模的重要研究方向之一。

5.3 變特性關(guān)節(jié)、智能材料臂桿結(jié)構(gòu)建模

關(guān)節(jié)作為空間機(jī)械臂系統(tǒng)的核心部件，通常含有諧波減速器以及力矩傳感器等帶有一定柔性的元件；同時(shí)由于空間機(jī)械臂的操作特性，各個(gè)關(guān)節(jié)的限制角，關(guān)節(jié)特性也有所差異，如關(guān)節(jié)阻尼，關(guān)節(jié)非線性等特性。此外，關(guān)節(jié)中齒輪副的輪齒柔性、嚙合阻尼、齒側(cè)間隙等非線性因素對(duì)關(guān)節(jié)特性也有較大影響。為了獲得更高的控制精度，執(zhí)行更加精細(xì)的任務(wù)，必須在動(dòng)力學(xué)模型中計(jì)入關(guān)節(jié)柔性并考慮上述特性，因此如何建立準(zhǔn)確的關(guān)節(jié)模型也是研究的一個(gè)熱點(diǎn)?；赟pong提出的線性扭簧模型［131］是目前工程中運(yùn)用最廣泛的模型，但是這個(gè)模型忽略了臂桿和轉(zhuǎn)子之間的動(dòng)力學(xué)影響，不適用于高速情形。Zhao等基于La?grange方法提出了完整的柔性關(guān)節(jié)模型，并通過(guò)軌跡跟蹤仿真驗(yàn)證完整模型與簡(jiǎn)化模型的區(qū)別［132］。于登云等利用集中參數(shù)法建立了綜合考慮輪齒柔性、嚙合阻尼、齒側(cè)間隙、嚙合誤差等非線性因素的細(xì)化關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)模型，研究了各級(jí)齒輪精度、關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)速和負(fù)載對(duì)關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)特性的影響［133］。同時(shí)，針對(duì)變特性關(guān)節(jié)的研究，近年來(lái)國(guó)內(nèi)外還出現(xiàn)了對(duì)單個(gè)關(guān)節(jié)的雙／多電機(jī)策略，其中一個(gè)電機(jī)負(fù)責(zé)正常的驅(qū)動(dòng)，而另一個(gè)電機(jī)負(fù)責(zé)關(guān)節(jié)特性的改變，如改變關(guān)節(jié)的柔彈性或阻尼特性。

由于空間機(jī)械臂臂桿的柔性效應(yīng)，在執(zhí)行任務(wù)過(guò)程中不可避免的存在彈性振動(dòng)問(wèn)題，如何有效地抑制振動(dòng)一直是學(xué)者們研究的熱點(diǎn)方向之一。而以壓電材料為代表的智能材料的出現(xiàn)一定程度上解決了柔性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制問(wèn)題。張娟等對(duì)智能柔性懸臂梁的動(dòng)力學(xué)建模進(jìn)行了研究，能有效反映實(shí)際應(yīng)用中智能柔性懸臂梁的動(dòng)力學(xué)特性［134］。壓電智能材料具有很強(qiáng)的力電耦合效應(yīng)，將壓電材料集成于空間機(jī)械臂臂桿形成壓電智能結(jié)構(gòu)具有很大的工程價(jià)值。對(duì)壓電智能結(jié)構(gòu)的理論建模研究，主動(dòng)抑振控制規(guī)律研究將是一個(gè)重要的研究熱點(diǎn)。

6 結(jié)語(yǔ)

空間機(jī)械臂在太空中發(fā)揮著越來(lái)越重要的用途，如對(duì)接、維護(hù)、升級(jí)、運(yùn)輸、加油及清理太空碎片等，因此，各國(guó)都在不斷發(fā)展空間機(jī)械臂技術(shù)?？臻g機(jī)械臂是一個(gè)典型的多剛?cè)狁詈隙囿w系統(tǒng)，對(duì)其動(dòng)力學(xué)建模首先需要建立合適的坐標(biāo)體系如浮動(dòng)坐標(biāo)系、隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)系、慣性坐標(biāo)系等，然后采用有限元法、集中參數(shù)法或假設(shè)模態(tài)法等方法進(jìn)行柔性體變形描述，接著利用Newton?Euler法、Lagrange法或Kane方法等建立空間機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程，最后用VM、DEM、GJM等方法進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。由于空間機(jī)械臂與基座之間的動(dòng)力學(xué)耦合，空間機(jī)械臂本體的臂桿柔性和關(guān)節(jié)柔性以及末端操作器與目標(biāo)負(fù)載的接觸碰撞等使得空間機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)建模要比固定基座的機(jī)械臂復(fù)雜得多。由于空間機(jī)械臂的低速操作特性及柔性效應(yīng)，基于浮動(dòng)坐標(biāo)系描述下建模具有較佳的計(jì)算效率和精度?？紤]柔性空間機(jī)械臂形狀復(fù)雜的橫截面，采用Lagrange法結(jié)合有限元方法不僅可以避免動(dòng)力學(xué)方程出現(xiàn)內(nèi)力項(xiàng)，提高計(jì)算效率而且能對(duì)柔性體進(jìn)行較好的描述。考慮空間機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)耦合特性，采用GJM方法更加適合于空間機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析。因此經(jīng)過(guò)本文的研究，在浮動(dòng)坐標(biāo)系下采用Lagrange方法結(jié)合有限元法更適合考慮了柔性的空間機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)建模，且GJM方法更適合于空間機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)的分析以及后續(xù)的控制研究。另外，空間機(jī)械臂的接觸碰撞動(dòng)力學(xué)，符號(hào)化建模，變特性關(guān)節(jié)、智能材料臂桿結(jié)構(gòu)的建模是今后的重要研究方向。

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Review of M odelling and Analysis M ethods of Space M anipulators

ZHENG Qiqi2，TANGQirong2?，ZHANG Lingkai2，LIJie2，XIE Zongwu1?，LIU Hong1
（1.State Key Laboratory of Robotics and System，Harbin Institute of Technology，Harbin 150080，China；2.Laboratory of Robotics and Multibody System，Tongji University，Shanghai201804，China）

The current development of the space manipulators both at home and abroad was re?viewed.Then the kinematics of spacemanipulators，aswell as the dynamicsmodelling and analysis methods of spacemanipulatorswere introduced.Themainstream approaches for the spacemanipula?tor and its multibody system including the multi?rigid?body，flexible multi?body and rigid?flexible coupling system were analyzed and their advantages and disadvantages were summarized.It is con?cluded that the Lagrange approach combined with the finite elementmethod under the floating coor?dinate system is more suitable for the dynamic modelling and analysis of space manipulators with flexibility.

spacemanipulator；kinematics；dynamicmodeling；analysismethods

TP242.3

A

1674?5825（2017）01?0082?16

2016?08?23；

2017?01?03

國(guó)家自然科學(xué)基金（61603277）；機(jī)器人技術(shù)與系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放研究項(xiàng)目資助（SKLRS?2015?ZD?03）；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)項(xiàng)目（2014KJ032；20153683）；“青年千人計(jì)劃”項(xiàng)目（1000231901）；“上海市浦江人才計(jì)劃”項(xiàng)目（15PJ1408400）；“上海市科技創(chuàng)新行動(dòng)計(jì)劃”基礎(chǔ)重大項(xiàng)目（15JC1403300）

鄭棋棋，男，碩士研究生，研究方向?yàn)闄C(jī)器人技術(shù)。E?mail：qiqi.zheng＠outlook.com

?通訊作者：湯奇榮，男，博士，教授，研究方向?yàn)闄C(jī)器人技術(shù)。E?mail：qirong.tang＠outlook.com謝宗武，男，博士，副教授，研究方向?yàn)闄C(jī)器人驅(qū)動(dòng)與控制、空間機(jī)器人。E?mial：xiezongwu＠hit.edu.cn