黃懷緯 饒東海

(華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院, 廣東 廣州 510640)

功能梯度橢圓柱殼的熱力耦合屈曲分析*

黃懷緯 饒東海

(華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院, 廣東 廣州 510640)

假設(shè)功能梯度材料中陶瓷組分體積分率服從冪率分布,材料屬性沿厚度方向連續(xù)變化且與溫度相關(guān),采用經(jīng)典的Donnell殼體理論和伽遼金原理研究了功能梯度材料橢圓柱殼的熱力耦合屈曲問題.推導(dǎo)了功能梯度橢圓柱殼的屈曲控制方程及屈曲臨界溫度的解析表達(dá)式,分析了均勻分布、線性分布及非線性分布(考慮熱傳導(dǎo)效應(yīng))的溫升環(huán)境對材料物性的溫度相關(guān)性的影響,以及屈曲臨界溫度隨截面離心率、材料組分參數(shù)的變化規(guī)律.結(jié)果表明:材料物性溫度相關(guān)性對屈曲臨界溫度的影響較大,若將其忽略,可能導(dǎo)致屈曲臨界溫度被高估15 %;在考慮物性溫度相關(guān)性的情況下，均勻溫升作為溫度公式的簡化，可能導(dǎo)致對真實(shí)結(jié)構(gòu)屈曲臨界溫度的低估；屈曲臨界溫度隨著橢圓截面離心率、徑厚比及組分參數(shù)的增大而減小.

功能梯度材料;橢圓柱殼;熱力耦合；屈曲;物性溫度相關(guān)性;離心率

功能梯度材料(FGM)是一種新型兩相混合的復(fù)合材料,通常采用陶瓷和金屬兩種組分材料混合而成,材料屬性沿著厚度方向連續(xù)變化[1].這一特征使其能有效地避免因材料屬性間斷引發(fā)的材料界面上的應(yīng)力集中現(xiàn)象,最初FGM作為隔熱材料應(yīng)用于航空和核聚變等工程領(lǐng)域[2- 3].

人們已經(jīng)對FGM板殼結(jié)構(gòu)的熱屈曲進(jìn)行了大量的研究工作[4- 8].文獻(xiàn)[9- 10]根據(jù)Donnell殼體理論對FGM圓柱殼進(jìn)行了熱彈性屈曲研究,考慮了溫度環(huán)境的影響;Shen[11]對FGM圓柱殼熱后屈曲行為進(jìn)行了研究,但僅考慮了均勻溫升的情況;Bahtui等[12]研究了在熱沖擊荷載下FGM圓柱殼的響應(yīng);Mirzavand等[13]運(yùn)用經(jīng)典的殼體理論分析了含有缺陷的FGM圓柱殼的屈曲問題,但僅考慮了均勻變化的溫升環(huán)境;Sofiyev[14- 15]運(yùn)用一階剪切變形理論研究了FGM圓錐殼的熱屈曲問題.但以上研究均未考慮材料物性溫度相關(guān)性的影響.

非圓截面構(gòu)件特別是橢圓柱殼的工程應(yīng)用十分廣泛.為研究結(jié)構(gòu)橢圓度、材料組分參數(shù)對FGM柱殼結(jié)構(gòu)熱/力耦合屈曲性能的影響,文中基于Donnell殼體理論,研究了FGM橢圓柱殼的熱屈曲行為,討論了多種熱環(huán)境以及材料物性的溫度相關(guān)性對結(jié)構(gòu)熱屈曲性能的作用效應(yīng).

1 材料屬性

考慮厚h、長L的FGM橢圓柱殼,截面長軸半徑為a,短軸半徑為b,相應(yīng)坐標(biāo)系置于柱殼左端,x、θ、z分別表示軸向、周向和內(nèi)法線方向的坐標(biāo)軸,如圖1所示.橢圓截面的曲率半徑為R(θ).

FGM是由陶瓷和金屬兩種材料組分混合而成,陶瓷的體積分率遵循冪律分布,可表示為[10- 11]

圖1 FGM橢圓柱殼模型

(1)

式中,Vc和Vm分別為陶瓷材料和金屬材料的體積分率,k為冪指數(shù)或材料組分參數(shù)(k≥0).

FGM的材料屬性P=PcVc+PmVm,結(jié)合式(1)可表達(dá)為

P(z)=(Pc-Pm)(z/h+0.5)k+Pm

(2)

式中,Pc和Pm分別為陶瓷和金屬的物性參數(shù),為溫度T的函數(shù)[4],即

Pi=a0(a-1T-1+1+a1T+a2T2+a3T3)

(3)

式中:i(i=c,m)表示陶瓷或金屬成分;a-1、a0、a1、a2、a3為組分材料的溫度系數(shù).

2 屈曲控制方程

殼體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)變表示為

ε=ε0+zK

(4)

根據(jù)Von-Kárman非線性幾何關(guān)系,中面應(yīng)變與位移的關(guān)系為

(5)

式中:u(x,θ)、v(x,θ)、w(x,θ)分別為沿著x、θ和z軸的位移;下標(biāo)中的逗號表示偏導(dǎo),如

由胡克定律得

(6)

式中,H=E(1-v2)-1,G=E(1+v)-1/2,E為材料的彈性模量.

內(nèi)力Nij和內(nèi)力矩Mij近似表示為

(7)

式(7)寫成矩陣的形式,為

(8)

由Donnell殼體理論,基本平衡方程為

(9)

式中,q為法向壓力.

由式(5)得到殼體的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程為

(10)

引入應(yīng)力函數(shù)φ(x,θ),使其滿足

(11)

把式(8)、(11)代入式(9)和(10)中,得到:

(12)

結(jié)構(gòu)屈曲時,存在一個微小的增量w1(x,θ)和φ1(x,θ),滿足:

(13)

式中,w0和φ0分別對應(yīng)于前屈曲狀態(tài)下的位移和應(yīng)力函數(shù).將式(13)代入式(12),去除前屈曲狀態(tài)量并線性化后得到:

(14)

式(14)即為結(jié)構(gòu)的屈曲控制方程.

3 問題求解

若橢圓柱殼軸向受到位移約束,熱荷載將引發(fā)結(jié)構(gòu)的前屈曲內(nèi)力:

(15)

式中,φ1為熱致內(nèi)力.

采用文獻(xiàn)[16]方法對變曲率橢圓截面進(jìn)行處理:

R-1=[1+e0cos (2θ)]/Rc

(16)

(17)

式中,m為軸向半波數(shù),n為周向波數(shù),ξmn、ζmn為無量綱幅值參數(shù).

將式(15)-(17)代入式(14)中,并令方程的左半部分為ψi(i=1,2),運(yùn)用伽遼金原理

(18)

得到關(guān)于ξmn和ζmn的線性方程組:

(19)

為了使ξmn和ζmn具有非零解,則

Λ11Λ22-Λ12Λ21=0

(20)

由此給出結(jié)構(gòu)屈曲臨界軸向內(nèi)力的表達(dá)式:

(21)

式中，ti(i=1,2)為由幾何尺寸和屈曲模態(tài)(m，n)表達(dá)的參數(shù).

4 熱環(huán)境

考慮3種不同的溫升環(huán)境,溫度場T(z)=T0+ΔT(z),其中T0和ΔT分別為初始溫度和溫升.

(1)均勻分布的溫升

沿著殼體厚度方向,溫度均勻變化,即ΔT為常數(shù),則有

(22)

將式(21)代入式(22),得到均勻分布溫升環(huán)境下的屈曲臨界溫度:

(23)

(2)線性分布的溫升

若溫度沿厚度方向線性變化,則溫升函數(shù)可表示為

ΔT(z)=ΔTcm(z/h+0.5)+ΔTm

(24)

式中,ΔTcm=ΔTc-ΔTm,ΔTc和ΔTm分別為陶瓷面和金屬面變化的溫度,則有

φ1=P0ΔTm+P1ΔTcm

(25)

于是線性分布溫升環(huán)境下的屈曲臨界溫度為

(26)

(3)非線性分布的溫升

若溫度沿厚度方向的分布由熱傳導(dǎo)方程給定,則有

(27)

式中,κ(z)為材料的熱傳導(dǎo)系數(shù).與材料的其他屬性定義一樣,熱傳導(dǎo)系數(shù)可表達(dá)為

κ(z)=κcm(z/h+0.5)k+κm

(28)

式中,κcm=κc-κm,κc和κm分別為陶瓷和金屬的熱傳導(dǎo)系數(shù),k為材料組分參數(shù).結(jié)合熱邊界條件求解熱傳導(dǎo)方程(27),對方程的解采用級數(shù)展開法來表示[9]:

ΔT(z)=ΔTcm?(z)+ΔTm

(29)

式中,

取展開式的前6項(xiàng)來表達(dá)非線性分布的溫度場,則有

φ1=P0ΔTm+P2ΔTcm

(30)

(31)

5 計(jì)算程序

Fig.2 Flowchart of the iterative algorithm for buckling critical temperature

6 結(jié)果與分析

選取Si3N4/SUS304 FGM,材料屬性同文獻(xiàn)[4].對于FGM橢圓柱殼,內(nèi)表面為陶瓷面(z=h/2),外表面為金屬面(z=-h/2),假定初始溫度T0=300 K.為簡單起見,對于線性分布和非線性分布兩種溫升環(huán)境,設(shè)定FGM純金屬面保持溫度不變,即ΔTm=0 K.為了解材料物性溫度相關(guān)性對屈曲臨界溫度的影響,文中討論了不考慮材料物性溫度相關(guān)性(TIMP)和考慮材料物性溫度相關(guān)性(TDMP)兩種情況.

表1 均勻分布溫升環(huán)境下屈曲臨界溫度對比

Table 1 Comparison of buckling critical temperature under environment of the uniform distributed temperature rise

hRcT00cr/Kk=0文獻(xiàn)[9]本文k=1文獻(xiàn)[9]本文0．021651．381635．77858．19828．430．043261．473276．991651．281656．570．064912．844922．102475．292484．850．086564．226543．073299．153319．310．108174．318210．274123．084141．27

當(dāng)k=1、Rc/h=100、L/Rc=1時,橢圓截面離心率對屈曲臨界溫度的影響如圖3所示.從圖中可知:屈曲臨界溫度隨著離心率的增加而減小;TIMP情況下的屈曲臨界溫度普遍比TDMP情況下大,最高達(dá)15%左右,在離心率越小的情況下這種差別越明顯.因此考慮材料物性溫度相關(guān)性是十分必要的.

圖3 離心率對屈曲臨界溫度的影響

Fig.3 Effects of eccentricity on the buckling critical temperature

當(dāng)k=1、e0=0.2時,TDMP情況下尺寸參數(shù)對非線性分布溫升環(huán)境下橢圓柱殼屈曲臨界溫度的影響如表2所示.從表中可知:Rc/h對屈曲臨界溫度和模態(tài)的影響較大,軸向屈曲半波數(shù)m隨Rc/h的增大而增大;L/Rc對屈曲臨界溫度幾乎沒有影響,m隨L/Rc的增大而增加.TDMP和不同熱環(huán)境下徑厚比與屈曲臨界溫度的關(guān)系如圖4所示,從圖中可知,屈曲臨界溫度隨Rc/h的增加而急劇減小,當(dāng)Rc/h取值較大時趨于平緩.

表2 尺寸參數(shù)對的影響

圖4 TDMP情況下徑厚比對屈曲臨界溫度的影響

Fig.4 Effects of the radius-to-thickness ratios on the buckling critical temperature under TDMP

當(dāng)L/Rc=1、Rc/h=100、e0=0.4時，材料組分參數(shù)對屈曲臨界溫度的影響如圖5所示.從圖中可知,屈曲臨界溫度隨k的增加而減小,相對于TDMP情況,TIMP情況的屈曲臨界溫度下降幅度要大得多,再次說明了FGM橢圓柱殼熱屈曲問題中,考慮物性溫度相關(guān)性是十分必要的.當(dāng)k在0～5范圍內(nèi)時,屈曲臨界溫度急劇下降,在其他取值范圍內(nèi),屈曲臨界溫度下降得比較緩慢.可以看出,非線性分布溫升環(huán)境下的屈曲臨界溫度最高,其次是線性分布的溫長環(huán)境,均勻分布溫升環(huán)境下的屈曲臨界溫度最小，即若以均勻溫升作為溫度公式的簡化，則可能低估真實(shí)結(jié)構(gòu)屈曲臨介溫度,與孫家斌[17]的圓柱殼熱屈曲結(jié)論基本一致.

圖5 組分參數(shù)對屈曲臨界溫度的影響

Fig.5 Effects of the power law exponent on the critical buckling temperature

7 結(jié)論

文中采用Donnell殼體理論研究了FGM橢圓柱殼的熱力耦合屈曲問題,分析中考慮了多種溫升分布的熱環(huán)境,討論了物性溫度相關(guān)性、截面離心率、幾何參數(shù)及材料組分參數(shù)對屈曲臨界溫度的影響.結(jié)果表明:對于FGM橢圓柱殼的熱屈曲問題,考慮材料物性溫度相關(guān)性是十分必要的,否則可能高估屈曲臨界溫度達(dá)15%;在考慮物性溫度相關(guān)性的情況下，將均勻溫升作為溫度公式的簡化，可能導(dǎo)致對真實(shí)結(jié)構(gòu)屈曲臨界溫度的低估；橢圓截面離心率和殼體的幾何參數(shù)徑厚比對殼體結(jié)構(gòu)屈曲有較大的影響,隨著離心率和徑厚比的增大,屈曲臨界溫度下降明顯;結(jié)構(gòu)屈曲臨界溫度隨組分參數(shù)的增加而減小.

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Coupled Thermo-Mechanical Buckling Analysis of Functionally Graded Elliptical Cylindrical Shells

HUANGHuai-weiRAODong-hai

(School of Civil Engineering and Transportation, South China University of Technology, Guangzhou 510640, Guangdong, China)

In the assumption that the volume fraction of ceramic constituents in functionally graded material sobeys the power law distribution and that the material properties are temperature-dependent and graded in thickness direction, the coupled thermo-mechanical buckling of functionally graded elliptical cylindrical shells is investigated in light of the classical Donnell shell theory and Galerkin’s principle. Firstly, the buckling governing equations of functionally graded elliptical cylindrical shells and the critical buckling temperature are analytically derived. Then, the temperature-dependent physical properties of the materials are analyzed respectively under uniform, linear and nonlinear (considering heat conduction effect) temperature rise. Finally, the variation of critical buckling temperature with the eccentricity of section and with the parameters of material components is explored. The results show that, as the temperature-dependent physical properties affect the critical buckling temperature greatly, it should be taken into consideration in the thermal buckling analysis of functionally graded elliptical cylindrical shells, otherwise the critical buckling temperature will be overestimated by 15%;when considering the temperature-dependentmaterial properties, the uniform temperature rise as a simplified form of temperature may lead to an underestimation of the critical buckling temperature of the real structure；and that the critical buckling temperature decreases with the increase of ellipse section’s eccentricity, radius-to-thickness ratio and parameters of material components.

functionally graded materials; elliptical cylindrical shell; thermo-mechanical coupling; buckling; temperature-dependent physical property; eccentricity

2016- 11- 10

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11402093);機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放課題(SV2016- KF- 08);華南理工大學(xué)中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(2015ZZ130) Foundation item: Supported by the National Natural Science Foundation of China(11402093)

黃懷緯(1979-),男,博士,副教授,主要從事復(fù)合材料力學(xué)研究.E-mail:cthwhuang@scut.edu.cn

1000- 565X(2017)05- 0129- 06

Q 343.9

10.3969/j.issn.1000-565X.2017.05.018