羅方悅，張 嘎

(清華大學 水沙科學與水利水電工程國家重點實驗室，北京 100084)

水庫區(qū)均質(zhì)邊坡安全可靠度實用分析方法

羅方悅，張 嘎

(清華大學 水沙科學與水利水電工程國家重點實驗室，北京 100084)

在水庫建設和運行期，庫區(qū)邊坡安全對水庫施工和運行影響顯著,合理評價水庫區(qū)邊坡的安全性，在保證水庫安全和評估環(huán)境影響等方面均有重要意義。通過合理簡化水庫區(qū)邊坡的強度參數(shù)不確定性和水位變化隨機性，建立了水庫區(qū)邊坡安全可靠度的實用分析方法。該方法包括2個算法：①通過分析，提出了基于土強度參數(shù)二維正態(tài)分布的邊坡安全系數(shù)概率分布算法；②采用Weibull分布描述水位變化規(guī)律，提出相關算法,得出了水位變化條件下邊坡安全系數(shù)的一維先驗分布;該方法共有6個參數(shù)。采用提出的方法對典型算例進行了計算分析，結(jié)果驗證了該方法的有效性。該方法對水庫區(qū)邊坡安全評價等方面的研究具有參考意義。

水庫區(qū)邊坡；水位變化；極限平衡方法；可靠度；安全系數(shù)

1 研究背景

近年來我國建成運營了一大批高壩水庫,這些水庫蓄水后導致明顯的水位變化，從而顯著改變了庫區(qū)邊坡的水文地質(zhì)環(huán)境，對庫區(qū)邊坡安全性造成了不利影響[1-3]。合理評價水位變化條件下庫區(qū)邊坡的安全性，對于保證水庫安全、準確評估環(huán)境影響有重要意義。已有學者采用數(shù)值模擬或者模型試驗等方法,對水位變化條件下邊坡變形破壞的機理規(guī)律和分析方法等方面進行了較深入的研究[3-7]。

邊坡的內(nèi)部結(jié)構、材料參數(shù)和外部荷載環(huán)境均具有明顯的不確定性和時變性，是一個不確定性系統(tǒng)。因此,宜采用可靠度來分析邊坡的安全性。針對邊坡失效及安全可靠度問題，已經(jīng)發(fā)展了多種分析方法，如隨機響應面[8-9]、蒙特卡羅[10]、克里金方法[11]、神經(jīng)網(wǎng)絡[12]、隨機模糊數(shù)學[13]、點估計法[14]、貝葉斯方法[15]等，蔣水華等[16]、張繼周等[17]還對計算參數(shù)的概率分布進行了探討。近年來，已有研究利用GIS等方法進行邊坡可靠度分析[18]。不過，由于可靠度方法較復雜而不便于應用，實際工程中邊坡安全分析仍常采用條分法等規(guī)范規(guī)定的確定性方法。盡管已有研究對三峽等庫區(qū)邊坡進行了不同角度的安全可靠度分析[19-21]，但針對水庫區(qū)邊坡特點的安全可靠度實用分析方法尚不多見。

在水庫的長期運行中，水位變化頻繁,且水庫區(qū)邊坡土的強度參數(shù)也具有顯著的不確定性。而在實際應用中，水庫區(qū)邊坡穩(wěn)定性分析很少考慮這些特性，其中一個主要原因就是缺乏簡便易行、容易理解的安全可靠度實用分析方法。 為此,本文擬將確定性的邊坡穩(wěn)定性分析方法與隨機過程理論結(jié)合起來，綜合發(fā)揮安全系數(shù)和可靠度理論在邊坡穩(wěn)定性評價中的優(yōu)點，提出評價水庫區(qū)邊坡安全可靠度的實用分析方法。采用該方法探討庫水位等隨機變量對邊坡安全的影響規(guī)律，為邊坡工程風險調(diào)控提供依據(jù)。

2 基本思路

在水庫的長期運行中，其水位顯著受到人為調(diào)控和自然環(huán)境等因素影響，是一個典型的隨機變量。在進行邊坡安全系數(shù)計算時，作為天然材料的邊坡土體,其強度參數(shù)也具有顯著的不確定性。因此，水庫區(qū)邊坡安全可靠度分析主要考慮水位和土體強度參數(shù)的隨機性，基本思路(圖1)如下。

圖1 水位變化條件下均質(zhì)邊坡安全可靠度分析思路Fig.1 Flowchart of safety reliability analysis for slopes in the presence of varying water level

(1)邊坡土的強度參數(shù)一般有2個：摩擦系數(shù)f(即tanφ，φ是內(nèi)摩擦角)和黏聚力c?；趯嶋H工程經(jīng)驗和相關試驗資料，采用二維正態(tài)分布描述強度參數(shù)的概率分布較為合理。選取等概率的強度參數(shù)組合系列，用極限平衡法計算確定水位條件下邊坡安全系數(shù)系列，確定擬合該系列的合理分布類型。

(2) 選取合理的概率分布類型描述庫區(qū)水位分布。根據(jù)上述算法得到系列水位下邊坡安全系數(shù)一維分布的系列?；谶x取的水位概率分布可以確定安全系數(shù)系列對應的概率值。對該系列進行融合得到邊坡安全系數(shù)的先驗分布。

需要指出的是，水位變化在邊坡中會引起較復雜的非穩(wěn)定滲流，在有些情況下對邊坡穩(wěn)定性影響較大。本文將邊坡的浸潤線簡化為與水位平齊。這一簡化對于水位變化較慢的條件較為適用;對于水位變化較快的情況需要在考慮滲流特性的基礎上對浸潤線進行修正。不過，對浸潤線的簡化處理只影響極限平衡法計算得出的安全系數(shù)。本文提出的邊坡安全可靠度分析方法可以包含考慮更復雜條件的邊坡安全系數(shù)算法，該簡化處理不影響其研究結(jié)果。

本文采用的算例為根據(jù)實際工程條件簡化的一均質(zhì)邊坡，坡度為1∶1.5，高為30 m。邊坡土的天然密度為1.8 g/cm3。

3 考慮土強度參數(shù)二維正態(tài)分布的安全系數(shù)算法

3.1 算法描述

由于土強度參數(shù)f，c具有高度相關性，已有研究[8-9]認為使用二維正態(tài)分布對巖土強度參數(shù)進行分布擬合是比較合適的，其概率密度分布函數(shù)為

(1)

式中：μf，μc分別為f，c的均值；σf，σc分別為f，c的標準差；r為f，c的相關系數(shù)。

基于土的強度試驗結(jié)果以及工程類比等方式，可以給出土強度參數(shù)的可能取值范圍。也就是確定了摩擦系數(shù)f的下限和上限分別為fa和fb，黏聚力c的下限和上限分別為ca和cb，則有

(2)

這樣，在(f,c)平面內(nèi)就形成確定f，c取值范圍的一個矩形區(qū)域，區(qū)域中心為(μc，μf)，如圖2所示。

圖2 確定水位下基于土強度參數(shù)二維正態(tài)分布的邊坡安全系數(shù)算法原理Fig.2 Principle of algorithm for the safety factor of slopes based on two-dimensional normal distribution of strength parameters of soil at a given water level

在給定水位條件下，對于一組確定的強度參數(shù)(f,c)可以采用瑞典條分法算得出邊坡穩(wěn)定性安全系數(shù)[22]。基于全概率公式，提出基于強度參數(shù)二維正態(tài)分布求解邊坡安全系數(shù)一維分布的算法，從而將二維概率空間降維到一維概率空間上。本文采用計算效率較高的等概率抽樣方法計算。在可能取值范圍內(nèi)選擇全覆蓋且等概率的若干個強度參數(shù)組合，計算確定水位下的安全系數(shù)，基于這些安全系數(shù)得出其一維分布。具體算法如下文所述。

(1) 按照式(3)計算土強度參數(shù)可能取值范圍的總概率V。

(3)

對于二維正態(tài)分布，式(3)難以得出顯式函數(shù)，因此采用梯形積分公式數(shù)值求解。

(2) 在c軸上將可能取值區(qū)域[ca,cb]劃分成n個條形區(qū)間Aj,Aj=[cj,cj+1] (j=1, 2,…,n)(圖2)，使得每一條形區(qū)間的概率均滿足式(4)。

(4)

(3) 針對每一條形區(qū)間，再在f軸上將可能取值區(qū)域[fa,fb]分成n個小區(qū)間Ai，Ai=[fi,fi+1] (i=1, 2,…,n)(圖2)，從而在可能取值區(qū)域內(nèi)得到n2個區(qū)間Aij，Aij=[fi,fi+1]∩[cj,cj+1] (i=1, 2,…,n;j=1, 2,…,n)。并使得每一方格的概率均滿足式(5)。

(5)

(4) 根據(jù)上述步驟得到的n2個方格中，每個方格的取值概率是相同的，這就意味著采用該方格的強度參數(shù)算得的邊坡穩(wěn)定性安全系數(shù)也對應著相等的概率。本文采用每個方格的中心點坐標(fii,cjj)作為該方格對應的強度參數(shù)，采用瑞典條分法計算得出給定水位下邊坡的安全系數(shù)Fs,ij。由于Fs,ij對應的概率是相等的，而且涵蓋了所有的可能，因此可以方便地得出安全系數(shù)的概率分布，并計算出其一維正態(tài)分布的均值和標準差2個參數(shù)。

采用式(6)來確定強度參數(shù)f,c的取值范圍。

(6)

3.2 算例分析及有效性分析

采用上述算法對均質(zhì)邊坡算例進行計算。根據(jù)室內(nèi)試驗結(jié)果以及工程類比確定該邊坡土強度參數(shù)二維正態(tài)分布參數(shù)，如表1所示。

表1 邊坡土強度參數(shù)的二維正態(tài)分布參數(shù)

圖3 確定水位下邊坡安全系數(shù)Fs分布的計算結(jié)果及正態(tài)分布預測結(jié)果對比Fig.3 Comparison between calculated results and formulation prediction results of slope safety factor at a given water level

取n=40，對邊坡安全系數(shù)進行計算。根據(jù)1 600個方格計算得出的安全系數(shù)及其對應的概率(1/1 600)，按照安全系數(shù)從小到大對其對應概率進行累加，就可以方便地得出如圖3所示的安全系數(shù)概率分布曲線。根據(jù)該計算結(jié)果可以確定安全系數(shù)的均值和標準差分別為：μFs=1.382 0，σFs=0.149 5。

計算概率P(Fs,ij≤Fs|X=x)(i=1,2,…,n;j=1，2，…，n)，可以得到安全系數(shù)的分布函數(shù)F(Fs|X=x)。為檢驗該分布偏離對稱性的程度，計算該分布的偏度系數(shù)α，如式(7)所示。

(7)

式中m3為隨機變量Fs,ij的三階中心矩，其計算式為

(8)

根據(jù)計算數(shù)據(jù)算得偏度系數(shù)α為0.148。由于偏度系數(shù)越小，分布的正態(tài)性越強，因此安全系數(shù)計算結(jié)果較好地服從一維正態(tài)分布。根據(jù)μFs=1.382 0，σFs=0.149 5，以式(9)所示的正態(tài)分布函數(shù)擬合安全系數(shù)計算結(jié)果，如圖3所示。

(9)

從圖3中可看出，計算得到的安全系數(shù)分布與正態(tài)分布的公式預測結(jié)果非常接近。圖4進一步給出了計算值與公式預測值差值的絕對值e分布?？煽闯鲇嬎阒蹬c公式預測值差值很小。圖3和圖4從不同角度均驗證了安全系數(shù)服從一維正態(tài)分布。

進一步采用單樣本Kolmogorov-Smirnov檢驗。根據(jù)圖4可得，偏差值D=0.013 4。取顯著性水平為0.05，則拒絕正態(tài)分布假設臨界值D(1 600,0.05)=0.034>0.013 4。所以檢驗結(jié)果表明安全系數(shù)服從正態(tài)分布。

針對算例探討了程序離散參數(shù)n對計算結(jié)果的影響，如圖5所示?？梢钥闯觯踩禂?shù)的均值和標準差在一定程度上受離散參數(shù)n的影響，總體上隨著n的增大而減小。當n增大到一定值(如30)后，再增大n值對均值和標準差幾乎沒有影響。這表明本文算法具有穩(wěn)定的收斂性，當n取值較大時具有較高的計算精度。綜合考慮計算量與計算誤差，本文取n=40是合適的。

圖5 水位20 m時邊坡安全系數(shù)均值μFs、標準差σFs與離散數(shù)量n的關系Fig.5 Relations of average slope safety factor and standard deviation of slope safety factor vs. segment number at water level of 20 m

4 考慮庫水位隨機性的安全系數(shù)算法

4.1 算法描述

已有研究表明，邊坡的穩(wěn)定性安全系數(shù)與水位的關系并非單調(diào)性關系，需要全面考慮所有可能水位條件下邊坡的穩(wěn)定性。受運行管理控制，庫水位在具體時間點上是相對確定的。但是，在水庫長期運行過程中，從時間長度來看，庫水位受降雨量、發(fā)電量、來洪量、泄洪量等多種因素的影響，具有較強的隨機分布特性。因此，需要合理確定描述庫區(qū)水位概率分布類型的函數(shù)。從統(tǒng)計學角度看，可以通過分析總結(jié)大量水庫水位記錄資料，研究每日庫水位的最大值，將其看作隨機變量，以較長時期的一日最大庫水位的概率密度分布函數(shù)近似單日庫水位的概率密度分布函數(shù)。以單日最高庫水位進行邊坡安全性分析可以包絡由于庫水位變化對邊坡穩(wěn)定造成的影響，這在較長的時間條件下是合理而且必要的。從這一客觀情況出發(fā)，采用極值分布系列的Weibull分布描述庫區(qū)水位較為合理。這類分布主要用來分析隨機變量在極值情況下的概率特性。Weibull分布一般形式為

(10)

式中:λ,k為水位分布參數(shù);x為水位。

因為受水庫運行等條件限制，邊坡存在著最低水位hmin和最高水位hmax。根據(jù)實際經(jīng)驗，k可以取2，所以要想得到式(10)中的表達式需確定參數(shù)λ。應用條件概率公式對庫水位的概率密度分布函數(shù)進行修正，得到實際可能發(fā)生的水位X概率密度分布函數(shù)如式(11)所示。

(11)

圖6 庫區(qū)水位概率密度p分布曲線Fig.6 Probability density distribution of reservoir water level

參考實際工程經(jīng)驗和邊坡條件，確定本文分析邊坡的水位分布參數(shù)λ為10，最低水位和最高水位分別為距坡腳0 m和25 m?；谑?10)可得到關于庫區(qū)水位高度的概率密度分布曲線，如圖6所示。

對已確定的一個水位，其發(fā)生的概率對應著一個計算得出的的邊坡安全系數(shù)Fs一維正態(tài)分布。因此可對庫區(qū)水位概率密度分布曲線上所有點對應的安全系數(shù)分布進行融合。由全概率公式可知

P(Fs)=∫+∞-∞p(Fs|X=x)pX|hmin≤X≤hmax(x)dx。

(12)

其中，

(13)

4.2 算法應用與有效性分析

圖7 計算安全系數(shù)對應的概率P直方圖Fig.7 Probability histogram of safety factor

圖8 融合后安全系數(shù)Fs分布計算結(jié)果及正態(tài)分布 預測結(jié)果對比Fig.8 Comparison between calculated results and formulation prediction results of safety factor after fusion

在庫區(qū)水位的取值范圍內(nèi)選取m個具有代表性的樣本點，采用第2節(jié)方法算得m個安全系數(shù)Fsm的計算結(jié)果。計算概率P(Fs

設邊坡安全系數(shù)分布為正態(tài)分布函數(shù)，融合庫水位分布后的安全系數(shù)Fs分布參數(shù)由式(14)計算。

(14)

式中：μFs，σFs分別為融合后安全系數(shù)一維正態(tài)分布的均值和標準差；μFs,k，σFs,k分別為第k個確定水位xk下基于土強度參數(shù)正態(tài)二維分布計算得到的邊坡安全系數(shù)一維正態(tài)分布的均值和標準差；wk為要融合的安全系數(shù)一維正態(tài)分布的概率值，即水位xk對應的概率值。

圖9 融合后邊坡安全系數(shù) Fs分布計算值與公式預測值 偏差的絕對值e關系曲線Fig.9 Absolute deviations between calculated results and formulation prediction after fusion

根據(jù)式(14)計算得：μFs=1.323 9，σFs=0.134 3。根據(jù)上述均值和標準差得出的正態(tài)分布的公式預測結(jié)果如圖8虛線所示，可知其與計算得到的融合后安全系數(shù)分布非常接近。圖9進一步給出計算值與公式預測值差值的絕對值分布?？芍嬎阒蹬c公式預測值差值很小。圖8和圖9均驗證安全系數(shù)服從一維正態(tài)分布，假設成立。

進一步采用單樣本Kolmogorov-Smirnov檢驗。由圖8可得，誤差值D=0.024 6。取顯著性水平為0.05，則拒絕正態(tài)分布假設臨界值D(283, 0.05)=0.080 8>0.024 6。所以檢驗結(jié)果表明安全系數(shù)服從正態(tài)分布。

5 結(jié) 論

本文合理簡化水庫區(qū)邊坡的強度參數(shù)離散性和水位變化隨機性的特性，建立了水庫區(qū)邊坡穩(wěn)定性安全可靠度的分析方法。該方法主要包括如下2種算法：

(1) 對于確定的水位，提出了基于土強度參數(shù)二維正態(tài)分布的邊坡安全系數(shù)算法,得出邊坡安全系數(shù)一維概率分布，實現(xiàn)了二維概率空間到一維概率空間的降維。

(2) 采用Weibull分布描述水位變化過程。提出了相關算法，得出水位變化條件下邊坡安全系數(shù)的一維先驗分布，實現(xiàn)了2個獨立隨機變量的一維概率分布的融合，并驗證了算法的有效性。

本文方法共6個參數(shù)，包括1個水位分布參數(shù)λ，以及5個土強度分布參數(shù)μf，μc，σf，σc，r。其中，水位分布參數(shù)可以根據(jù)水位觀測等資料確定，強度分布參數(shù)可以根據(jù)土的力學特性試驗結(jié)果以及工程經(jīng)驗等綜合確定。

[1] 中村浩之，王恭先. 論水庫滑坡[J]. 水土保持通報，1990，10(1)：53-64.

[2] 廖紅建，盛 謙，高石夯，等. 庫水位下降對滑坡體穩(wěn)定性的影響[J]. 巖石力學與工程學報，2005，24(19)：3454-3458.

[3] 陳勛輝，黃耀英，李春光，等. 地下水位對霧江滑坡體穩(wěn)定性的影響[J]. 長江科學院院報, 2017, 34(1): 104-108.

[4] 汪 斌，唐輝明，朱杰兵，等. 考慮流固耦合作用的庫岸滑坡變形失穩(wěn)機制[J]. 巖石力學與工程學報，2007，26(增2)：4484-4489.

[5] 唐志政, 汪 洋, 吳 曄. 庫水位波動條件下萬州瓦窯坪滑坡穩(wěn)定性分析[J]. 水文地質(zhì)工程地質(zhì), 2015, 42(1): 129-133.

[6] 唐曉松, 鄭穎人, 唐輝明, 等. 水庫滑坡變形特征和預測預報的數(shù)值研究[J]. 巖土工程學報, 2013, 35(5): 940-947.

[7] 楊春寶, 朱 斌, 孔令剛, 等. 水位變化誘發(fā)粉土邊坡失穩(wěn)離心模型試驗[J]. 巖土工程學報, 2013, 35(7): 1261-1271.

[8]SHAMEKHI E, TANNANT D D. Probabilistic Assessment of Rock Slope Stability Using Response Surfaces Determined from Finite Element Models of Geometric Realizations[J]. Computers and Geotechnics, 2015, 69: 70-81.

[9] 蔣水華, 祁小輝, 曹子君, 等. 基于隨機響應面法的邊坡系統(tǒng)可靠度分析[J]. 巖土力學, 2015, 36(3): 809-818.

[10]桂 勇, 鄧通發(fā), 羅嗣海, 等. 基于蒙特卡羅邊坡穩(wěn)定二元體系的建立與應用[J]. 巖土力學, 2014, 35(7): 1979-1986.[11]羅正東, 董 輝, 陳 鋮, 等. 基于克里金模型的邊坡穩(wěn)定可靠度分析方法[J]. 巖土力學, 2015, 36(增1): 439-444.[12]舒蘇荀, 龔文惠. 二維隨機場下邊坡穩(wěn)定性的徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡分析法[J]. 巖土力學, 2015, 36(4): 1205-1210.

[13]WU Yi-ping, CHENG Cong, HE Gao-feng,etal. Landslide Stability Analysis Based on Random-fuzzy Reliability: Taking Liangshuijing Landslide as a Case[J]. Stochastic Environmental Research and Risk Assessment, 2014, 28(7): 1723-1732.

[14]TSAI Tung-lin, TSAI Ping-yu, YANG Pei-jhang. Probabilistic Modeling of Rainfall-induced Shallow Landslide Using a Point-estimate Method[J]. Environmental Earth Sciences, 2015, 73(8): 4109-4117.

[15]SHU Qing-lian, YANG Ling-qiang, ZANG Pan-ying. Application of Bayesian Method in Stochastic Analysis of Rock Slope Stability[J]. Applied Mechanics and Materials，2011，94/96: 516-519.

[16]蔣水華，魏博文，李 聰. 考慮錨索腐蝕性能退化的邊坡可靠度分析[J]. 長江科學院院報, 2017, 34(3): 90-95.

[17]張繼周，繆林昌. 巖土參數(shù)概率分布類型及其選擇標準[J]. 巖石力學與工程學報, 2009, 28(增2): 3526-3532.

[19]BI Ren-neng, EHRET D, XIANG Wei,etal. Landslide Reliability Analysis Based on Transfer Coefficient Method: a Case Study from Three Gorges Reservoir[J]. Journal of Earth Science, 2012,23(2): 187-198.

[20]彭 令, 牛瑞卿, 陳麗霞. GIS支持下三峽庫區(qū)秭歸縣滑坡災害空間預測[J]. 地理研究, 2010, 29(10): 1889-1898.

[21]譚曉慧, 余 兵, 王茂松, 等. 水庫邊坡穩(wěn)定的可靠度分析[J]. 巖土力學, 2008, 29(12): 3427-3430.

[22]FELLENIUS W. Erdstatisch Berechnungen (Revised Edition)[M]. Berlin: W. Ernst und Sohn，1939.

(編輯：黃 玲)

Simplified Analysis of Safety Reliability of Homogeneous Slopesin Reservoir Area

LUO Fang-yue, ZHANG Ga

(State Key Laboratory of Hydroscience and Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

The safety of slopes near reservoir has significant impact on the construction and operation of reservoir. Reasonable assessment of slope safety is of vital importance in assuring the safety of reservoirs and evaluating environmental effect. A new simplified method was proposed to analyze the safety reliability of slopes near the reservoir on the basis of reasonable simplification of the uncertainties in the soil strength parameters and the randomness of water level change. An algorithm was proposed to obtain the probability distribution of safety factor according to the two-dimensional normal distribution of soil strength parameters at a given water level. The Weibull distribution was used to describe the stochastic characteristic of water level. The probability distribution of safety factor could be computed using the proposed algorithm. Six parameters were required for the method. The method was used to analyze typical slope case and its effectiveness was preliminarily confirmed. The method provides references for the safety evaluation of slope in reservoir area.

slope in reservoir area; change of water level; limit equilibrium method; reliability; safety factor

2016-04-27；

2016-06-13

國家自然科學基金項目(51479096)

羅方悅(1995-)，女，云南西雙版納人，主要從事邊坡穩(wěn)定性的研究工作，(電話)010-62797085(電子信箱)luofy14@mails.tsinghua.edu.cn。

張 嘎(1976-)，男，山東淄博人，教授，博士，主要從事巖土工程方面的教學與科研工作，(電話)010-62795679(電子信箱)zhangga@tsinghua.edu.cn。

10.11988/ckyyb.20160410

2017,34(7):106-110,115

P642

A

1001-5485(2017)07-0106-05