古雯

摘 要：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，學(xué)生對(duì)抽象的概念、定理難以抓住本質(zhì)，常常產(chǎn)生錯(cuò)覺，從而導(dǎo)致無(wú)法正確解決數(shù)學(xué)問題。為了克服錯(cuò)覺帶來(lái)的負(fù)效應(yīng)，本文對(duì)什么是“數(shù)學(xué)錯(cuò)覺”、數(shù)學(xué)錯(cuò)覺的分類以及教學(xué)對(duì)策進(jìn)行闡述。

關(guān)鍵詞：錯(cuò)覺；數(shù)學(xué)；教學(xué)

面對(duì)一道數(shù)學(xué)題，學(xué)生若無(wú)法正確求解題目，一方面是由于好的念頭沒有產(chǎn)生，毫無(wú)頭緒；另一方面則是由于產(chǎn)生了錯(cuò)覺。因此筆者認(rèn)為有必要研究數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的錯(cuò)覺現(xiàn)象，并就此現(xiàn)象提出了一些個(gè)人見解。

1 何謂“數(shù)學(xué)錯(cuò)覺”

我們通常在知覺客觀對(duì)象時(shí)，總是以過往的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)去反映客觀對(duì)象，由此形成了具有個(gè)人特點(diǎn)的主觀印象。但是主觀印象并不一定符合實(shí)際，我們把對(duì)客觀事物的不正確的知覺稱為錯(cuò)覺[1]。而數(shù)學(xué)錯(cuò)覺即在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象（例如概念、定理、法則等）不正確的知覺。

2 數(shù)學(xué)錯(cuò)覺的分類

2.1 視覺性錯(cuò)覺

當(dāng)人在觀察物體時(shí)，由于客觀因素的干擾或者自身的心理因素支配，對(duì)圖形可能產(chǎn)生與客觀事實(shí)不相符的錯(cuò)誤的感覺[2]。視覺性錯(cuò)覺是錯(cuò)覺中最常見的情形。

2.2 定勢(shì)性錯(cuò)覺

所謂定勢(shì)性錯(cuò)覺，是指人們一旦形成某種定勢(shì)，由于來(lái)不及適應(yīng)外界情景的細(xì)微變化，常常產(chǎn)生錯(cuò)覺，從而妨礙對(duì)新問題的解決[3]。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，由于大量訓(xùn)練，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中對(duì)特定的題型有著特定的方法和解題模式，因此遇到類似題型時(shí)，傾向于用原有的解題模式來(lái)套用于該題。

然而，定勢(shì)性錯(cuò)覺不僅導(dǎo)致學(xué)生在解題中出現(xiàn)錯(cuò)誤，而且對(duì)于新的定理、概念的學(xué)習(xí)也會(huì)造成負(fù)遷移。由于學(xué)生習(xí)慣于舊的思想方法，不能很好地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)觀念去實(shí)現(xiàn)舊知識(shí)向新知識(shí)的轉(zhuǎn)化，難以抓住新知識(shí)的本質(zhì)，從而影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的同化和順應(yīng)。例如，在對(duì)數(shù)運(yùn)算的教學(xué)中，不少學(xué)生會(huì)出現(xiàn)形如lg（a+b）=lg a+lg b的公式，這是由于學(xué)生將此處的符號(hào)“l(fā)g”看成一個(gè)數(shù)參與運(yùn)算，而學(xué)生前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過乘法分配律a（b+c）=ab+ac。根據(jù)巴甫洛夫的條件反射理論中關(guān)于泛化律的揭示中表明某一種條件反射一旦確立，就可以由類似于原來(lái)?xiàng)l件刺激的刺激引起。此時(shí)lg（a+b）類似于a（b+c）。在泛化律的作用下，容易引發(fā)錯(cuò)誤的反應(yīng)：“l(fā)g a+lg b”。

例1求過（0，1）的直線，使它與拋物線y2=2x僅有1個(gè)公共點(diǎn)。

錯(cuò)解：設(shè)所求直線為y=kx+1，聯(lián)立

，消去y，可得 ，

∵直線與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，∴△=0，故 。

∴所求直線為 ，即 。

分析：這里發(fā)生了3個(gè)錯(cuò)覺，①由于對(duì)公式的適用條件模糊，認(rèn)為過（0，1）的直線一定能夠表示為y=kx+1，遺漏了斜率不存在的情形；②由于定勢(shì)思維，認(rèn)為只有1個(gè)公共點(diǎn)等同于直線與拋物線相切，其實(shí)還有直線與拋物線對(duì)稱軸平行的情形；③誤以為 有1個(gè)實(shí)根就是“△=0”，實(shí)際上應(yīng)分k=0，k≠0兩種情況討論。

2.3 停滯性錯(cuò)覺

當(dāng)數(shù)學(xué)知識(shí)豐富拓展或題目信息條件有所變化時(shí)，思維仍停留在原來(lái)的基礎(chǔ)，難以辨別前后情形的本質(zhì)不同，思維跟不上從而導(dǎo)致的錯(cuò)覺稱為停滯性錯(cuò)覺。

例2 關(guān)于x的一元二次方程

，方程存在整數(shù)根嗎？若存在，求出m此時(shí)的范圍。

錯(cuò)解：根據(jù)一元二次方程，求得

故

若方程有整數(shù)根，則△≥0且 是完全平方數(shù)

因?yàn)?不是完全平方式，所以不可能是完全平方數(shù)，即方程不存在整數(shù)根。

分析：在該題的解答中可以看出，學(xué)生沒有理解完全平方式和完全平方數(shù)的不同，認(rèn)為m2-4m-8不是完全平方式，故對(duì)于任意m∈Z，均不可能是完全平方數(shù)，心理上仍停滯在認(rèn)為開的出來(lái)才是完全平方數(shù)。而事實(shí)上，若k=6，m2-4m-8=4是完全平方數(shù)。

3 教學(xué)對(duì)策

研究數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的錯(cuò)覺現(xiàn)象有兩方面的意義，一是利用錯(cuò)覺，使其在教學(xué)活動(dòng)中產(chǎn)生預(yù)期的心理效應(yīng)；二是設(shè)法避免錯(cuò)覺帶來(lái)的負(fù)面影響，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的知覺盡可能符合客觀實(shí)際。

3.1 利用錯(cuò)覺對(duì)策

1.設(shè)置“陷阱”，激發(fā)求知欲

根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，設(shè)置“陷阱”，使學(xué)生面對(duì)問題情境時(shí)容易產(chǎn)生錯(cuò)覺，此時(shí)可通過反問等方式，激化學(xué)生的認(rèn)知矛盾，給學(xué)生制造心理上的缺口，從而使學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲，迫切想要彌補(bǔ)其心理上的缺口，由“要我學(xué)”變?yōu)椤拔乙獙W(xué)”，從而集中注意力進(jìn)入新授環(huán)節(jié)，明顯提高教學(xué)質(zhì)量。

2.反思結(jié)果，提高思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和創(chuàng)新性

在思維定勢(shì)的作用下，學(xué)生容易陷入機(jī)械地套用解題模式，從而造成錯(cuò)誤，甚至?xí)霈F(xiàn)與實(shí)際情形完全不符合的結(jié)果。此時(shí)學(xué)生會(huì)反思解題過程，發(fā)現(xiàn)問題。通過多次經(jīng)驗(yàn)積累，學(xué)生會(huì)逐漸避免此類錯(cuò)覺，從而解題能力得到提升。另外，在這個(gè)過程中，學(xué)生會(huì)打破頭腦中一些固有的思維順序，明白要根據(jù)實(shí)際情形處理問題，從而更為靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)。

3.2 克服錯(cuò)覺對(duì)策

1.概念教學(xué)不斷深入，充分利用“變式教學(xué)”

課前充分了解學(xué)情，根據(jù)學(xué)生認(rèn)知的心理特點(diǎn)設(shè)計(jì)概念教學(xué)的引入，關(guān)注學(xué)生的相關(guān)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。更重要的是，應(yīng)加強(qiáng)對(duì)概念的解剖分析，緊緊抓住關(guān)鍵，闡明概念的內(nèi)涵和外延，讓學(xué)生真正理解概念、定理的本質(zhì)。而“變式教學(xué)”是突出概念本質(zhì)屬性的重要手段，即教師通過一系列的變式，不斷變化非本質(zhì)屬性來(lái)突出本質(zhì)屬性，使學(xué)生對(duì)概念的理解更準(zhǔn)確。因此，變式教學(xué)可以很大程度上輔助概念教學(xué)。

2.關(guān)注知識(shí)間的聯(lián)系，加強(qiáng)對(duì)比練習(xí)

在學(xué)習(xí)新知識(shí)前，教學(xué)可以以新、舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系作為新知識(shí)的增長(zhǎng)點(diǎn)，但由于有些數(shù)學(xué)概念之間聯(lián)系緊密、形式相似，學(xué)生習(xí)慣于舊知識(shí)的思維方式，受到舊知識(shí)的束縛，造成新舊知識(shí)混淆，此時(shí)要加強(qiáng)對(duì)比練習(xí)，將新、舊知識(shí)的概念擺在一起，讓學(xué)生去比較他們的不同之處，在比較中不斷鑒別，從而明辨知識(shí)。

3.強(qiáng)調(diào)“眼見不一定為實(shí)”，多實(shí)驗(yàn)思考

視覺性錯(cuò)覺說(shuō)明，有時(shí)觀察得到的結(jié)論不一定正確，因此教師可在教學(xué)中多提供此類反例，從而幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到，要對(duì)事物作出判斷，僅僅靠觀察是不準(zhǔn)確的，必須基于對(duì)事物的觀察、實(shí)驗(yàn)與思考。

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