基于方差分析與主成分分析下的教育指標(biāo)評(píng)價(jià)應(yīng)用
——以上海市2015年“綠色指標(biāo)”為例

汪慧玲

(咸寧職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工學(xué)院，湖北 咸寧 437100)

基于方差分析與主成分分析下的教育指標(biāo)評(píng)價(jià)應(yīng)用
——以上海市2015年“綠色指標(biāo)”為例

汪慧玲

(咸寧職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工學(xué)院，湖北 咸寧 437100)

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，方差分析用于檢驗(yàn)各因素間顯著性水平，主成分分析用于生成相互獨(dú)立的組合變量，便于實(shí)際分析需求。在新課程背景下，教育學(xué)中的理論研究與教學(xué)實(shí)踐反饋相結(jié)合，為完善教育理論體系，提供有力的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)與理論保證。本文主要基于方差分析與主成分分析，結(jié)合教育實(shí)際案例，對(duì)相關(guān)教育評(píng)價(jià)指標(biāo)體系作出科學(xué)評(píng)估與反饋。

方差分析；主成分分析；教育指標(biāo)

作為統(tǒng)計(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要組成部分，方差分析與主成分分析廣泛應(yīng)用于顯著性測(cè)評(píng)與影響因素管控等方面。近年來(lái)，隨著教育的不斷發(fā)展，各地的教育研究學(xué)者都相繼提出不同教育評(píng)價(jià)指標(biāo)體系。本文主要基于數(shù)學(xué)中方差分析與主成分分析等方法，以上海市2015年提出的“綠色指標(biāo)”為例，結(jié)合某小學(xué)實(shí)際案例分析，從數(shù)學(xué)應(yīng)用出發(fā)，作出關(guān)于教育評(píng)價(jià)指標(biāo)體系科學(xué)性的評(píng)價(jià)與檢驗(yàn)，同時(shí)也為繼續(xù)發(fā)展和完善相關(guān)教育指標(biāo)體系提供新的思路與方法。

一、關(guān)于方差分析與主成分分析

(一)方差分析

1.方差分析簡(jiǎn)介

方差分析(Analysis of Variance)，簡(jiǎn)稱(chēng)ANOVA，又稱(chēng)為“變異數(shù)分析”或者“F檢驗(yàn)”，是R.A.Fisher發(fā)明的用于兩個(gè)及以上樣本均數(shù)差別顯著性檢驗(yàn)的方法。由于各種因素的共同影響，研究所得的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)波動(dòng)狀，而造成波動(dòng)的原因可以分為兩大類(lèi)：一類(lèi)是不可控的隨機(jī)因素，另一類(lèi)是研究中的相關(guān)可控因素對(duì)結(jié)果形成的影響。

方差分析是從觀測(cè)變量的方差著手，去研究諸多控制變量中對(duì)觀測(cè)變量有顯著性影響的相關(guān)變量。方差分析可分為單因素方差分析與多因素方差分析。

2.方差分析的作用

方差分析的主要作用有：(1)均數(shù)差別的顯著性檢驗(yàn)，(2)分離各有關(guān)因素并估計(jì)其對(duì)總變異的作用，(3)分析因素間的交互作用，(4)方差齊性檢驗(yàn)，等等。

在實(shí)際研究中，針對(duì)一個(gè)復(fù)雜的事物體系，其中往往有許多因素相互制約又相互依存。方差分析的目的就是通過(guò)數(shù)據(jù)分析，找出對(duì)該事物體系有顯著影響的因素，各因素間的交互作用，以及顯著性水平等。方差分析在可比較數(shù)組中，將數(shù)據(jù)總的變差，并對(duì)變差的度量采用離差平方和，來(lái)按照各指定變差來(lái)源進(jìn)行分解處理。

3.方差分析的基本步驟

(1)前提假定

1)各處理?xiàng)l件下的樣本隨機(jī)；

2)各處理?xiàng)l件下的樣本相互獨(dú)立；

3)各處理?xiàng)l件下的樣本分別來(lái)自正態(tài)分布總體；

4)各處理?xiàng)l件下的樣本具有齊效性。

(2)基本步驟

Step 1：建立假設(shè)檢驗(yàn)(H0：各樣本總體均值相等，H1：各樣本總體均值不全等，檢驗(yàn)水平α一般默認(rèn)為0.05)；

Step 2：計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F值；

Step 3：確定P值并作出結(jié)果評(píng)價(jià)。

(二)主成分分析

1.主成分分析簡(jiǎn)介

主成分分析(Principal component analysis)是采取一種數(shù)學(xué)降維的方法，找出幾個(gè)綜合變量來(lái)替代原來(lái)眾多的原始變量。這些綜合變量盡可能的代表原始變量的信息表達(dá)，同時(shí)彼此間做到互不相關(guān)性。這種將多個(gè)原始變量轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾個(gè)相互獨(dú)立的綜合變量的統(tǒng)計(jì)分析方法叫做主成分分析或者主分量分析法。

2.主成分分析的作用

假設(shè)X=(x1,x2,…，xp)T是一個(gè)p維的總體，X的期望E(X)和協(xié)方差矩陣cov(X)已知，則我們求解協(xié)方差矩陣的p個(gè)特征值，不妨記為：λ1≥λ2≥…≥λp≥0

3.主成分分析的基本步驟

Step 1：對(duì)原始數(shù)據(jù)作標(biāo)準(zhǔn)化處理，設(shè)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)矩陣為：

其中，

Step 2：計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)矩陣R，

其中，為簡(jiǎn)便記，假定原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化后矩陣仍為X，此時(shí)有：

Step 3：用Jacobi方法求相關(guān)系數(shù)矩陣R的特征值(λ1,λ2,…，λp)與相應(yīng)特征向量

ai=(ai1,ai2,…，aip),i=1,2,…，p；

Step 4：選擇重要的主成分，并寫(xiě)出主成分表達(dá)式，其中：

Step 5：計(jì)算主成分得分矩陣F(k為主成分個(gè)數(shù))，則有：

Step 6：依據(jù)主成分得分?jǐn)?shù)據(jù)，可進(jìn)行進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)分析。

二、關(guān)于“綠色指標(biāo)”體系

(一) “綠色指標(biāo)”的總體概述

1.實(shí)施“綠色指標(biāo)”評(píng)價(jià)體系的重要性

(1)“綠色指標(biāo)”有利于發(fā)揮科學(xué)教育評(píng)價(jià)的正確導(dǎo)向作用，引導(dǎo)學(xué)校、家長(zhǎng)和社會(huì)樹(shù)立全面的教育質(zhì)量觀，豐富學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)的內(nèi)涵，引導(dǎo)學(xué)校開(kāi)展全面質(zhì)量觀指導(dǎo)下的教學(xué)與評(píng)價(jià)活動(dòng)，減輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展。

(2)“綠色指標(biāo)”有利于構(gòu)建教育內(nèi)部“標(biāo)準(zhǔn)—教學(xué)—評(píng)價(jià)”的良性循環(huán)系統(tǒng)，指導(dǎo)學(xué)校建立以校為本、基于過(guò)程的教育質(zhì)量綜合評(píng)價(jià)體系，營(yíng)造有利于學(xué)生健康成長(zhǎng)的良好氛圍，促進(jìn)教育質(zhì)量持續(xù)提高。

2. “綠色指標(biāo)”的主要內(nèi)容和測(cè)評(píng)手段

(1)指標(biāo)內(nèi)容：包括學(xué)生學(xué)業(yè)水平指數(shù)、學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)力指數(shù)、學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)指數(shù)、師生關(guān)系指數(shù)、教育方式指數(shù)、學(xué)生社會(huì)經(jīng)濟(jì)背景對(duì)學(xué)業(yè)成績(jī)的影響指數(shù)、學(xué)生品德行為指數(shù)、身心健康指數(shù)、校長(zhǎng)課程領(lǐng)導(dǎo)力指數(shù)與學(xué)生跨年度進(jìn)步指數(shù)，共十個(gè)方面。本次數(shù)據(jù)評(píng)估，只選取前八個(gè)指數(shù)參與測(cè)評(píng)與分。

(2)測(cè)評(píng)手段：學(xué)業(yè)測(cè)試水平(小學(xué)生測(cè)試語(yǔ)文、數(shù)學(xué)，初中生測(cè)試語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)等學(xué)科)、問(wèn)卷調(diào)查(以學(xué)生為主，兼顧教師、校長(zhǎng))等。

(二)關(guān)于“綠色指標(biāo)”的具體參數(shù)

“綠色指標(biāo)”主要包括以下具體指數(shù)，并構(gòu)成三層指標(biāo)體系(指標(biāo)-指數(shù)-因子)，如表1所示：

表1 綠色指標(biāo)三層架構(gòu)分類(lèi)

三、基于數(shù)據(jù)的評(píng)價(jià)反饋

(一)主要流程

本次數(shù)據(jù)采集對(duì)象均來(lái)源于湖北省武漢市洪山區(qū)武珞路小學(xué)2015-2016學(xué)年第一學(xué)期三年級(jí)(共7個(gè)班級(jí))與五年級(jí)(共6個(gè)班級(jí))的全體在校學(xué)生。具體數(shù)據(jù)分為：(1)2015-2016學(xué)年第一學(xué)期三年級(jí)與五年級(jí)全體在校學(xué)生的期中測(cè)驗(yàn)有效成績(jī)記錄，數(shù)據(jù)由校方提供，并將數(shù)據(jù)按照一定的百分比(原則上人數(shù)前20%為一類(lèi)，后20%為一類(lèi)，剩余為一類(lèi))(2)以上全體學(xué)生參與的《武珞路小學(xué)關(guān)于“綠色指標(biāo)”的問(wèn)卷調(diào)查表》其中的有效問(wèn)卷數(shù)據(jù)記錄，問(wèn)卷由校方代為分發(fā)收集，供于非直觀量化評(píng)價(jià)因子的數(shù)據(jù)采集與分析。

本部分基于武漢市某小學(xué)三年級(jí)段在2015-2016學(xué)年第一學(xué)期的學(xué)測(cè)成績(jī)與問(wèn)卷調(diào)查結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分析，運(yùn)用“綠色指標(biāo)”評(píng)價(jià)體系，對(duì)該年級(jí)師生作出新的一輪評(píng)價(jià)，并分析學(xué)生學(xué)業(yè)成績(jī)與其余指標(biāo)間的顯著性水平[1]。

本部分主要采用方差分析與主成分分析法，采用的分析軟件主要有：IBM SPSS Statistics 20與MATLAB 2007b等。

(二)學(xué)生基本信息

1.年級(jí)基本概況

本年級(jí)共有學(xué)生334人，有效成績(jī)記錄332人，有效問(wèn)卷調(diào)查數(shù)據(jù)316人。

2.成績(jī)基本信息統(tǒng)計(jì)

本次期中測(cè)試共有332人參加，語(yǔ)文平均為91.4分，成績(jī)及格率為100%。數(shù)學(xué)平均為92.6分，成績(jī)及格率為100%。其余信息詳見(jiàn)以圖2所示：

圖2 三年級(jí)期中語(yǔ)文成績(jī)箱式分布圖

3.非成績(jī)基本信息統(tǒng)計(jì)

本次問(wèn)卷調(diào)查共有316人有效參與。問(wèn)卷部分?jǐn)?shù)據(jù)有缺損，不作為作廢標(biāo)準(zhǔn)。各題情況與初步分析見(jiàn)以圖3～4表示：

圖3 三年級(jí)作答情況統(tǒng)計(jì)圖(單選)

圖4 三年級(jí)作答情況統(tǒng)計(jì)圖(多選)

圖5 單因素方差分析

(三)方差分析

1.明確目的

我們通過(guò)方差分析，得出單純依靠成績(jī)衡量學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)下的“好與壞”，在新型建立的“綠色指標(biāo)”教育評(píng)價(jià)體系下的更多相關(guān)因素，以探討學(xué)生學(xué)業(yè)成績(jī)水平的綜合因素。

2.統(tǒng)計(jì)分析

我們對(duì)本年級(jí)學(xué)生學(xué)業(yè)水平指數(shù)(即成績(jī)因子)與問(wèn)卷調(diào)查因素(如上所示)的關(guān)聯(lián)性加以分析，試圖找出成績(jī)與其它因素的相關(guān)性，并給出指導(dǎo)性建議[2]。我們采用各因素方差分析的方法，具體如圖5所示。

圖6 各因素主成分分析

3.相關(guān)分析

我們選擇的顯著性為0.05，即置信度為95%。關(guān)注圖表中的sig.指數(shù)，其中：

單選題01,04,12,13,15,18,19的sig<0.01，說(shuō)明以上單選題與學(xué)生分類(lèi)顯著相關(guān)；

單選題02,03的sig<0.05，說(shuō)明以上單選題與學(xué)生分類(lèi)有相關(guān)性。

4.相關(guān)結(jié)論

(1)在三年級(jí)中，學(xué)生成績(jī)的好壞，與學(xué)生的自信心，學(xué)生的自我認(rèn)同度有關(guān)聯(lián)。通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的分析，一般地，成績(jī)好的學(xué)生有較大自信，自我認(rèn)同度高；成績(jī)中等的學(xué)生，自信心與自我認(rèn)同度會(huì)較之下降；成績(jī)較差的學(xué)生，自信心與自我認(rèn)同度較低；

(2)在三年級(jí)中，學(xué)生成績(jī)的好壞，與學(xué)習(xí)動(dòng)力、往次成績(jī)對(duì)自身的影響因素有關(guān)；其中，成績(jī)較好的學(xué)生，學(xué)習(xí)動(dòng)力越強(qiáng)，也較看重往次成績(jī)，對(duì)自身影響較大；反之亦然；

(3)在三年級(jí)中，學(xué)生成績(jī)的好壞，與家庭和諧因素有關(guān)；其中，學(xué)生成績(jī)較好，家庭較為和諧；反之，學(xué)生成績(jī)較差，家庭和諧程度也較為低迷；

(4)在三年級(jí)中，學(xué)生成績(jī)的好壞，與學(xué)生尊重與責(zé)任心有關(guān)，且成正相關(guān)：學(xué)生成績(jī)較好，相應(yīng)尊重與責(zé)任心表現(xiàn)也越好；

(5)在三年級(jí)中，學(xué)生成績(jī)的好壞，還與學(xué)生鍛煉與幸福指數(shù)相關(guān)，且呈正相關(guān)：學(xué)生成績(jī)較好，相應(yīng)的鍛煉積極性與幸福感表現(xiàn)也較好；反之亦然。

5.相關(guān)評(píng)價(jià)

通過(guò)進(jìn)行方差分析，我們可以得出以下結(jié)論：

(1)學(xué)生學(xué)業(yè)成績(jī)(即分?jǐn)?shù))的高低與“綠色指標(biāo)”評(píng)價(jià)體系中的因素有相關(guān)性，部分指標(biāo)顯出的顯著性較強(qiáng)；

(2)存在部分指標(biāo)是各類(lèi)學(xué)生都具有共性的，或者分布較為均勻的；

(3)我們?cè)诮逃?，?yīng)重視顯著性較強(qiáng)的相關(guān)指標(biāo)，在日常的教育中有所體現(xiàn)和側(cè)重，并建立更為科學(xué)合理的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，因材施教。

(四)主成分分析

1.明確目的

我們通過(guò)主成分分析，可以?xún)?yōu)化現(xiàn)有的“綠色指標(biāo)”評(píng)價(jià)體系，使得評(píng)價(jià)指標(biāo)更簡(jiǎn)潔，更精準(zhǔn)，更具有相互獨(dú)立性。

2.統(tǒng)計(jì)分析

我們對(duì)除學(xué)生學(xué)業(yè)水平指數(shù)(即成績(jī)因子)外的其余19個(gè)單選研究指數(shù)做主成分分析[3]，并得出主成分指標(biāo)，以便進(jìn)行進(jìn)一步的有效研究。詳見(jiàn)上圖3-5所示。

此分析中不可允許NaN或者Inf，故我們采用平均取值的方法補(bǔ)齊為數(shù)不多的缺損值。

3.相關(guān)分析

主成分分析旨在找到分析問(wèn)題的主要指標(biāo)因素，在本年級(jí)數(shù)據(jù)中，由圖6可知，取前12個(gè)主成分，其累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)85%，即其代表率達(dá)85%，即可符合要求。

四、結(jié)語(yǔ)

在當(dāng)今“育人為本，教育為先”的背景下，用適合學(xué)生全面發(fā)展的教育評(píng)價(jià)體系來(lái)代替以往“唯成績(jī)論成敗”的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，是一種勢(shì)在必行的趨勢(shì)和發(fā)展方向。面對(duì)各種教育評(píng)價(jià)體系的提出與實(shí)踐，我們更加需要用一種科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度，去反復(fù)的跟蹤論證它的科學(xué)性與可行性。

本文中主要運(yùn)用的方差分析與主成分分析法，則為我們提供了對(duì)教育評(píng)價(jià)體系作出效能評(píng)估的有力方法，它使得我們?nèi)ピu(píng)價(jià)一種體系時(shí)，有理有據(jù)，從理論中來(lái)，到教學(xué)實(shí)踐中去，最后再反饋和修正機(jī)制，使得更加科學(xué)完善。

同時(shí)，關(guān)于“綠色指標(biāo)”評(píng)價(jià)，應(yīng)根據(jù)各個(gè)學(xué)校的實(shí)際情況，選擇主要影響因素來(lái)分析學(xué)生、教師、家庭、學(xué)校、社會(huì)等方面的相互影響性。對(duì)于“綠色指標(biāo)”評(píng)價(jià)體系而言：一方面，要關(guān)注普遍傾向性明顯的作答情況，此說(shuō)明學(xué)生與家庭的普遍訴求與愿望；另一方面，要重點(diǎn)關(guān)注某些因素(如學(xué)業(yè)水平因素)與其余某些因素之間的關(guān)系，以作為“綠色指標(biāo)”的重要應(yīng)用之一。針對(duì)后續(xù)規(guī)劃，我們可以進(jìn)一步分析其余因素間影響，優(yōu)化問(wèn)卷調(diào)查形式及內(nèi)容，保證進(jìn)行的客觀性，持續(xù)關(guān)注效果反饋等。

將數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)分析應(yīng)用于教學(xué)評(píng)價(jià)中，無(wú)疑為我們得出的結(jié)論提供了強(qiáng)有力的保障，使得我們?cè)诮逃母锏穆飞?，走得自信，科學(xué)，可持續(xù)發(fā)展。

[1] 薛薇.統(tǒng)計(jì)分析與SPSS的應(yīng)用(第4版)[M].北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社,2014.90～97.

[2] 趙東方.數(shù)學(xué)模型與競(jìng)賽[M].武漢:華中師范大學(xué)出版社,2014.50～70.

[3] Rick Durrett.Probability:Theory and Examples[M].Oxford:Cambridge University Press,2010.20～22.

責(zé)任編輯：熊 瑛

2017-01-12

2095-4654(2017)03-0148-05

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