張磊

（韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣東潮州521041）

DGE下動態(tài)表征激發(fā)大學(xué)生幾何思考的機制研究

張磊

（韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣東潮州521041）

DGE下激發(fā)大學(xué)生幾何思考的動態(tài)表征類型主要有三種：符合特定結(jié)構(gòu)的圖形，蘊含某些不明顯數(shù)學(xué)性質(zhì)的圖形，認知沖突的圖形．基于三種動態(tài)表征類型激發(fā)大學(xué)生內(nèi)在思考實驗的案例分析，整理出一個DGE下動態(tài)表征激發(fā)大學(xué)生幾何思考的機制：當(dāng)動態(tài)表征與個體所認知圖形產(chǎn)生連結(jié)或沖突時，會喚起所擁有的舊經(jīng)驗，進而激發(fā)其作思考實驗推論出幾何性質(zhì)或解釋沖突的原因．

動態(tài)表征；動態(tài)幾何環(huán)境；幾何思考；拖曳行為；幾何探索

1 研究背景

DGS是動態(tài)幾何軟件（Dynamic Geometer’s Software）的縮寫，DGS技術(shù)是基于DGS平臺的計算機操作技術(shù)．在數(shù)學(xué)教學(xué)方面，DGS包括Cabri、“幾何畫板”（The Geometer’s Sketchpad）和Maple等軟件[1]．一般而言，DGS里的幾何圖形具有以下幾個重要的功能與特色：（1）電腦化尺規(guī)作圖且作圖快速、精確；（2）可以進行動態(tài)操作，保持幾何圖形結(jié)構(gòu)；（3）提供動態(tài)模擬．作圖、測量、計算，改變圖形形狀觀察幾何規(guī)律，是用動態(tài)幾何軟件進行教學(xué)的一個基本模式[2]．早期關(guān)于DGS的相關(guān)研究多著重于探討DGS如何幫助學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)幾何概念、發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì)或觀察個體如何進行幾何探索及產(chǎn)生猜測、驗證及證明等．

近年來關(guān)于動態(tài)幾何的研究開始探討DGS與學(xué)生思考關(guān)聯(lián)的研究主題．例如，Arzarello等人[3]通過分析學(xué)生在幾何探索中處理問題的認知過程，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在運用DGS解決問題過程中會呈現(xiàn)七種不同的拖曳模式，但關(guān)于DGS如何激發(fā)學(xué)生進行數(shù)學(xué)思考尚未觸及；Tall[4]認為雖然電腦提供了一個擁有可操作的視覺展示和符號工具的人性化互動界面，但它仍需要借由實施者的想法去進行思考來決定什么是重要的？什么是需要證明的？Tall進一步指出，當(dāng)個體在想象定理可能成立的條件，并試圖去看結(jié)論是否成立時，思考是一探索和推理證明的常用方法．而啟發(fā)學(xué)生自發(fā)性數(shù)學(xué)思考是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動重要的目的，因此，幾何活動中DGS與學(xué)生思考的關(guān)系便是一個重要的研究話題．

動態(tài)幾何環(huán)境（Dynamic Geometry Environment，DGE）是一個提供學(xué)生使用DGS來探索幾何的學(xué)習(xí)環(huán)境，涉及個體、電腦軟件與學(xué)習(xí)活動的互動．個體在電腦屏幕上看到的圖形變化會激起學(xué)生去思考與探索幾何圖形的變動關(guān)系，或者利用鼠標(biāo)拖曳改變幾何構(gòu)圖進行幾何探索．Arzarello等人[3]指出DGE下學(xué)生的拖曳行為與其思考是密切相關(guān)的且能夠反映出他們的認知行為．Laborde[5]認為學(xué)生的拖曳行為可以外顯圖形內(nèi)部幾何物體的關(guān)系，使個體能夠觀察到圖形蘊含的幾何性質(zhì)．Lopez-Real&Leung[6]認為拖曳行為本身如同一個建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的互動工具，使學(xué)習(xí)者可以借由圖形變化來觀察幾何圖形的總體屬性．因此，在DGE下學(xué)生的思考、學(xué)生的拖曳行為與電腦的動態(tài)表征是學(xué)生進行幾何探索的三個重要關(guān)鍵．本文目的在于探討與分析大學(xué)生的幾何探索和推理論證過程，并從DGE下學(xué)生的幾何思考、學(xué)生的拖曳行為與電腦的動態(tài)表征三個維度來進行分析和探究，主要探討下列兩個問題：

（一）在幾何探索過程中，激發(fā)大學(xué)生進行幾何思考的動態(tài)表征類型有哪些？這些動態(tài)表征類型又是如何影響幾何思考實驗的？

（二）在操作DGS的過程中，激發(fā)大學(xué)生進行幾何思考的機制是什么？學(xué)生的思考、學(xué)生的拖曳行動與動態(tài)表征三者間的關(guān)系又是什么？

2 研究理論基礎(chǔ)

依據(jù)研究目的及其所要探討的研究問題，下面分別從DGE下學(xué)生的幾何思考、學(xué)生的拖曳行為與電腦的動態(tài)表征三個維度架構(gòu)起本文的研究理論基礎(chǔ)．

2.1 幾何思考

數(shù)學(xué)家在探索幾何問題時，往往非立即直接進行形式化證明，有時會先通過構(gòu)圖進行視覺化或操作幾何圖形來觀察其數(shù)學(xué)性質(zhì)，再進行推理與驗證，也即他們會通過心智模擬操作幾何圖形進行實驗觀察與歸納．例如，數(shù)學(xué)上著名的“等腰三角形兩底角相等”定理（幾何原本第一卷第五個命題）的證明方法有許多種，Tall[4]曾提到一種心智操作方式：如果當(dāng)我們改變等腰三角形ABC的頂點A的位置時（參考圖1），那么將會發(fā)生什么事情呢？移動頂點A，使得AB＞AC，則∠ACB＞∠ABC．反之，移動頂點A，使得AB＜AC，則∠ACB＜∠ABC．因此，當(dāng)對頂點A的移動處于一個平衡狀態(tài)，即AB=AC時，可以看出∠ACB=∠ABC．這種思考模式的特色是不用以實踐方式具體操作來驗證命題，而是通過想象的方式來進行的．再例如，科學(xué)家伽利略依據(jù)鐘擺理論作為實驗的假設(shè)，在腦中設(shè)想光滑無摩擦力的斜面，并模擬球的滾動過程，最后推論出球的滾動類同鐘擺擺動的等高定律，這種在心智中想象的操作實驗是典型的思考實驗范例．上述兩個例子共同之處在于他們的推理過程中，都未具體操作實際物體，而是通過心智操作方式進行推論與驗證．此類型的思考方式既不是具體實驗操作，也不是單純的形式證明，而是以想象的方式來模擬操作與進行推論．

Vygotsky[7]在探討個體的高階思維時，認為有兩種主要中介引導(dǎo)著人類的行為方式，分別是科技工具（technical tools）和心理工具（psychological tools），科技工具的功能是做為人類影響活動中的物體的執(zhí)行者，它是外在導(dǎo)向的且能夠?qū)е挛矬w的變化，心理工具則不會使心理操作中的物體產(chǎn)生變化，它是控制個體內(nèi)在活動的媒介，為內(nèi)在導(dǎo)向．當(dāng)個體經(jīng)過復(fù)雜的內(nèi)化過程后，科技工具可能變成心理工具且形成新的意義，此時科技工具就如同符號中介（semiotic mediator），具有符號中介的功能．Mariotti[8]依據(jù)Vygotsky的研究觀點，把動態(tài)幾何軟件引入到學(xué)生的幾何活動中，指出DGS具有提供復(fù)雜的符號系統(tǒng)并支持符號中介的過程功能，也即是屬于一輔助學(xué)生發(fā)展符號運用的心理工具．

上述觀點提示筆者：幾何思考在幾何學(xué)習(xí)中是一種重要的思維方式，而要探討學(xué)生幾何活動過程中的幾何思考，需特別注意學(xué)生對于科技工具和心理工具的使用和發(fā)展過程．而Mariotti[8]認為DGS是幾何活動中重要的中介工具，隨著科技進步，多媒體教學(xué)概念正風(fēng)行草偃之際，DGS已常被使用于幾何學(xué)習(xí)與教學(xué)活動之中．因此，分析學(xué)生如何運用DGS的符號中介功能進行幾何實驗與推理的數(shù)學(xué)思考活動不僅是學(xué)術(shù)研究的重要主題，更是具有一定的教學(xué)實踐價值．

2.2 拖曳行為

學(xué)習(xí)者在動態(tài)幾何環(huán)境中可借由拖曳屏幕上的圖形來探索幾何性質(zhì)，從觀察圖形變化的過程中學(xué)習(xí)幾何知識．近年來在有關(guān)學(xué)生于動態(tài)幾何環(huán)境下進行幾何探索的相關(guān)研究中，有些學(xué)者開始聚焦于學(xué)生的拖曳行動，觀察學(xué)生如何使用拖曳來探索幾何問題，并提出拖曳行動的認知模式[9]（參考表1）．Arzarello等人[3]使用此模式做為分析的工具來分析學(xué)生在DGE下探究幾何情境時所使用的解題策略，以及觀察學(xué)生在DGE下解決問題過程中使用鼠標(biāo)的認知行為．Talmon等人[9]認為拖曳模式在分析學(xué)生幾何觀念時是一個很重要的工具，同時也表示拖曳的功能幫助學(xué)習(xí)者檢驗是否有依尺規(guī)作圖的方法來作圖，因為在DGE中如果是依尺規(guī)作圖的方式賦予幾何圖形某種特殊的結(jié)構(gòu)時，該結(jié)構(gòu)在拖曳過程中仍會保留下來．

表1 七種拖曳模式

學(xué)生在幾何探索的最初階段會發(fā)展出漫游拖曳、有界拖曳和引導(dǎo)拖曳，主要在觀察幾何圖形，找尋圖形中蘊含的幾何性質(zhì)．Arzarello等人[3]認為漫游拖曳在產(chǎn)生猜測的過程中提供學(xué)習(xí)者靈感，且它與科學(xué)實驗所使用的經(jīng)驗法則有著密切的關(guān)系．當(dāng)他們發(fā)現(xiàn)到某些特殊的幾何圖形或物體（如：點、直線等）的行為時，會產(chǎn)生無聲軌跡拖曳來探究他們觀察到的現(xiàn)象．Arzarello等人[3]表示無聲軌跡拖曳在學(xué)生的認知過程中連接了幾何圖形與性質(zhì)間的關(guān)系，此拖曳模式的產(chǎn)生意味著學(xué)生進入到溯因推理（abduction）的階段，即學(xué)生開始注意到圖形中所顯現(xiàn)的不變性，思考不變的物體與幾何性質(zhì)間的關(guān)系，并準(zhǔn)備朝向驗證、證明的階段．線拖曳、連結(jié)拖曳與拖曳檢驗這三種拖曳模式主要出現(xiàn)在驗證和證明的推理過程之中，學(xué)生此時也逐步在形成一個論證的結(jié)構(gòu)，開始由觀察、發(fā)現(xiàn)幾何圖形及性質(zhì)的實驗歸納階段進入到驗證和確認幾何性質(zhì)或猜測的演繹推理階段．

在DGE下學(xué)習(xí)者通常會通過拖曳行為來外顯出自己的內(nèi)在想法，這七種拖曳認知模式分別彰顯著不同的解題策略和認知行為，所以研究者可以借由這些拖曳認知模式來了解與分析學(xué)生的思考實驗．不同的拖曳模式會產(chǎn)生不同的圖形變動，這些動態(tài)表征除了會受到拖曳行為的影響之外，還會與圖形所蘊含的幾何性質(zhì)和軟件所賦予的動態(tài)行為有關(guān)．因此，不同的拖曳認知模式以及產(chǎn)生的動態(tài)表征可做為觀察與分析個體思考的有效事證．

2.3 動態(tài)表征

若將一些信息依據(jù)它們的時間與空間的關(guān)系以動態(tài)方式呈現(xiàn)，就稱為此信息的動態(tài)表征[10]．學(xué)生在DGE下經(jīng)由拖曳所產(chǎn)生的圖形變化，即是一種動態(tài)表征．因為在拖曳的過程會產(chǎn)生一個時間序列，此時間序列會影響圖形在空間中的變動．

在DGE下的動態(tài)表征除了受到拖曳行為的影響之外，也與組成動態(tài)表征的幾何圖形的動態(tài)行為有關(guān)．Talmon等人[9]定義動態(tài)行為是在DGE中拖曳圖形元素時，圖形元素在屏幕上可能產(chǎn)生的變化的自由度．亦即，被拖曳圖形元素本身可能變動的限制條件，以及它所牽引出與相關(guān)圖形元素變動的反應(yīng)．舉例來說，如果使用者利用DGS的構(gòu)圖工具作出一個三角形，那么當(dāng)他拖曳三角形的頂點時，會使得三個邊產(chǎn)生變化．此時頂點是被拖曳的圖形元素，三個邊是與頂點相關(guān)的圖形元素．而頂點的自由度的大小取決于它是否能隨意拉動，或是會受到邊的影響．

由于動態(tài)幾何軟件擁有動態(tài)行為的特點，使得學(xué)生在DGE下處理幾何問題的時候，不只受到視覺化的圖形表征所影響，也受到組成此圖形的幾何圖形的動態(tài)行為所影響．動態(tài)行為的特性會影響到學(xué)生構(gòu)圖性理解的建構(gòu)，因為要理解一個幾何圖形的構(gòu)圖結(jié)構(gòu)，需考慮到工具的限制條件及數(shù)學(xué)法則的程序性．在DGE下圖形的動態(tài)行為會與作圖順序有關(guān)，相同的圖形但不同的作圖順序會產(chǎn)生不同的動態(tài)行為，進而影響動態(tài)表征的變化．

在Talmon等人[9]的研究中顯示學(xué)生有反序（reverse order）預(yù)測的行為，即學(xué)生猜測或想像圖形的行為和電腦所顯現(xiàn)的動態(tài)行為不同．從學(xué)生具有反序預(yù)測行為這點可知軟件具有自主性，它將與個體的思維產(chǎn)生互動并與個體過去對幾何圖形的認知產(chǎn)生沖突．當(dāng)學(xué)生在GSP上拖曳某些圖形元素時，發(fā)現(xiàn)有些點或線段并不能如他們所愿隨意地拖曳，進而引發(fā)他們?nèi)ヌ骄亢退伎荚驗楹危?dāng)我們在分析學(xué)生DGE下動態(tài)表征與幾何思考的交互作用時，亦需要注意到圖形元素本身的動態(tài)行為所產(chǎn)生的作用．

3 研究方法

Arzarello等人[3]已通過一些幾何活動探究了中學(xué)生的幾何探索過程，但未進一步探討與說明學(xué)生的思考與DGS之間的互動關(guān)系，筆者認為也許是由于中學(xué)生的幾何推理與證明能力不足，因此較難分析幾何探索活動中學(xué)生的思考過程．本文以大學(xué)生為研究對象來觀察與分析DGE下的幾何探索過程．幾何探索過程包含猜測、驗證與改進的過程，實為一個相當(dāng)復(fù)雜的過程，本文主要聚焦于大學(xué)生的幾何思考與動態(tài)幾何環(huán)境的互動上．另外，由于需要深度觀察與分析大學(xué)生的幾何探索過程，本文將采用定性研究的方法．

3.1 研究對象

由于幾何思考屬于內(nèi)在的心智活動，并不是顯而易見且輕易就能產(chǎn)生的，它是一個推理的過程，所以學(xué)生需要有充足的數(shù)學(xué)知識為基礎(chǔ)才有可能激發(fā)他們作幾何思考，又由于研究是在動態(tài)幾何環(huán)境下進行的，所以學(xué)生必須具備GSP的操作經(jīng)驗．為此，本研究選取22位數(shù)學(xué)專業(yè)大二學(xué)生作為研究對象，他們皆修過高等幾何課程，具有足夠的數(shù)學(xué)知識，且熟悉GSP的基本操作及具備運用GSP探索和處理一些幾何問題的能力．此外，研究中除了要觀察單一學(xué)生的幾何探索過程外，也要觀察學(xué)生在DGE下的互動情形，以及互動是如何影響他們幾何探索的，所以將學(xué)生分組，其中兩人一組有6組，一人一組有10組．

3.2 活動設(shè)計

以Arzarello等人[3]所采用的問題作為本文中幾何探索的幾何問題（參考表2），此問題屬于開放性問題，其蘊含了一個容易被觀察到的幾何性質(zhì)，但不易被證明．學(xué)生可經(jīng)由將四邊形ABCD拖曳成任意的圖形，觀察EFGH的各種變化情形，進而發(fā)現(xiàn)圖形蘊含的幾何性質(zhì)，所以適合作為幾何探索的問題．

問題：ABCD是一四邊形，作四個內(nèi)角的角平分線，四條角平分線兩兩分別交于E、F、G、H四點，具體探索活動如表2．

表2 動態(tài)幾何探索活動單

為了能夠順利觀察到學(xué)生的幾何思考運作情形，筆者設(shè)計出了動態(tài)幾何探索活動單（見表2）．筆者把事先設(shè)計好的動態(tài)幾何探索活動單分發(fā)給每個研究對象，給予約30分鐘時間讓他們基于動態(tài)幾何探索活動單開展幾何探索活動．在學(xué)生進行每一個幾何探索活動前，筆者先向?qū)W生明確幾何問題及活動要求，活動期間，筆者主要工作是深入觀察和記錄他們在DGE下的幾何思考過程，其中如果學(xué)生有問題可隨時提出，但筆者只幫忙解釋題意和解決DGS相關(guān)操作問題等，不直接給予探索活動問題的答案，當(dāng)學(xué)生在探索的過程中花費大量時間專注于圖形的動態(tài)行為時，筆者會引導(dǎo)他們?nèi)プ⒁鈭D形整體結(jié)構(gòu)的變化等．

3.3 資料收集與處理

在學(xué)生進行探索過程中，筆者通過動態(tài)幾何探索活動單、錄影等方式收集活動信息資料．動態(tài)幾何探索活動單主要是收集學(xué)生個體探索活動的信息資料，錄影主要是紀(jì)錄學(xué)生DGS操作情況及學(xué)生間討論情況的影音信息資料．學(xué)生依序編碼為生1～生22，將所有活動單依碼掃描至電腦中存檔，方便后期查閱．而影音資料，除了以逐字稿紀(jì)錄討論的內(nèi)容外，還對此依據(jù)學(xué)生操作DGS的類型進行分類整理，這樣便于后期通過詮釋性研究法開展討論分析．在資料的處理過程中，筆者邀請了幾位數(shù)學(xué)教育專家介入指導(dǎo)，確保了資料分析的準(zhǔn)確性及研究結(jié)論的有效性．

4 研究結(jié)果與討論

由上述可知，動態(tài)表征同時受個體的拖曳行動和圖形的動態(tài)行為所牽制，學(xué)生經(jīng)由操作與觀察幾何圖形的動態(tài)表征會激發(fā)他們做幾何思考．通過個案資料的分析，發(fā)現(xiàn)有三種類型的動態(tài)表征會激發(fā)學(xué)生進行幾何思考．

4.1 動態(tài)表征類型：“符合特定結(jié)構(gòu)的圖形”

符合特定結(jié)構(gòu)圖形的動態(tài)表征意指它在變動過程中會呈現(xiàn)出特定的圖形結(jié)構(gòu)，例如，在GSP中一個四邊形的對角互補，或其四頂點共圓等．學(xué)生在觀察或操作幾何圖形的動態(tài)表征過程中，當(dāng)發(fā)現(xiàn)符合特定結(jié)構(gòu)的圖形時，會激發(fā)他們進行假設(shè)與驗證的幾何思考，此時學(xué)生聯(lián)結(jié)動態(tài)表征與他們過去所認知的圖形與知識，來思考動態(tài)表征在符合特定結(jié)構(gòu)圖形的情境下可能產(chǎn)生的結(jié)果．以下以案例一與案例二說明：

【案例一】

在活動三中，生6探索四邊形ABCD四內(nèi)角平分線的交點構(gòu)成的圖形EFGH，他似乎察覺四邊形EFGH的對角和為定值，因此通過GSP的測量功能測量其各內(nèi)角角度．接著，生6拖曳原圖形ABCD使其成為平行四邊形或正方形，發(fā)現(xiàn)EFGH的兩兩對角和皆為180度，觀察一陣子后（約7分鐘），重新使用GSP畫出一圓，并在圓上作圖形ABCD（參考圖2），再作各個角平分線，并再度測量EFGH四個內(nèi)角的角度．

筆者（A）詢問他正在觀察什么現(xiàn)象時，生6表示四邊形ABCD對角相加是180度時，四邊形EFGH對角相加也是180度．以下是筆者與生6互動的片段．

生6：可以測量角度嗎？

A：嗯！可以．（生6操作GSP，大約6分鐘．）

A：好，你想到什么？

生6：我想到那個…就是量它的面積（生6操作GSP，觀察與思考．大約7分鐘）

生6：那我重作一個吧，畫ABCD的外接圓．（生6操作GSP，觀察與思考．大約5分鐘）

A：現(xiàn)在你看到什么？

生6：如果外面的對角相加是180度，里面相加也是180度．外面如果是外接圓的四邊形，里面也是．不相似！然后邊長沒有關(guān)系，面積也沒有關(guān)系．

【案例分析】

生6在活動一中使用GSP建構(gòu)幾何圖形的動態(tài)表征，到活動二時生6思考幾何圖形的動態(tài)表征，在活動三中生6大多著重于GSP的操作，直到操作測量動作后，才開始進行一些幾何推理．

生6在拖曳四邊形ABCD形成特殊四邊形的過程中，將焦點從四邊形的外型，轉(zhuǎn)移到四邊形的結(jié)構(gòu)，即注意到四邊形EFGH的角度結(jié)構(gòu)，這激發(fā)生6進行了約7分鐘的思考，且形成“外面四點（A、B、C、D）共圓，則里面四點（E、F、G、H）會共圓”的猜測．接下來約5分鐘時間，生6再度通過GSP重新建構(gòu)與操作動態(tài)表征來進行驗證幾何思考的假設(shè)．

實際上，不管四邊形ABCD是否為圓內(nèi)接四邊形，四邊形EFGH的對角和永遠是180度．學(xué)生并非從形式化的方式證明此特定性質(zhì)，而是運用心智的操作實驗，通過想像進行推理，亦即幾何思考，最后當(dāng)心智運作圖形復(fù)雜時，學(xué)生再通過GSP進行模擬驗證．

圖2 圓內(nèi)接四邊形

此案例顯示當(dāng)學(xué)生在觀察動態(tài)表征符合特殊結(jié)構(gòu)的情形時，會進行幾何思考．從注意幾何圖形的外型，轉(zhuǎn)移到注意幾何圖形的結(jié)構(gòu)，提出假設(shè)（假設(shè)ABCD是圓內(nèi)接四邊形會成立）并通過推理的方式進行驗證，再通過具體的實驗操作（使用GSP模擬并改變圖形觀察數(shù)值變化）來驗證所發(fā)現(xiàn)的不變性．

【案例二】

生1與生2小組活動．在活動二中，生1一開始就提出“如果將四邊形ABCD拉成平行四邊形時，DEFG會形成什么圖形”，生2立即回應(yīng)“會形成平行四邊形”，生1則持續(xù)思考，生2試圖說服生1，并開始進行討論．這個過程分成如下四個階段：第一段，主要是生2在說明為什么四邊形ABCD為平行四邊形時，EFGH也為平行四邊形，其中生1一直在思考其中的結(jié)構(gòu)關(guān)系；第二段，生2通過腦中思考以及手勢操作，向生1說明，生1在腦中進行幾何思考與檢驗生2所提出的想法；第三段，生1與生2延續(xù)上一段的討論，通過屏幕上幾何圖形的動態(tài)表征，配合手勢操作進行幾何思考；第四段，生2想像B點與C點重合，在腦中很快的進行了幾何思考，想像到會形成一個三角形，馬上聯(lián)想到熟習(xí)的三角形內(nèi)角平分線交于一點．以下為生1與生2互動的四個片段．

第一段：

生1：如果把它拉成平行四邊形的話…會變成什么圖形？

生2：平行四邊形啊！

生1：就會變成？

生2：所以是這樣子就變成這樣子（手指著電腦屏幕），就是一個平行四邊形??！

生1：那如果把ABCD拉成平行四邊形?

生2：那里面就是平行四邊形??！因為是角平分線??！

生1：等一下喔…

生2：如果只動A，只有AD會動，（思考一會）那么這三條都會動（三條角平分線）．

生1：那只拉成平行四邊形．

生2：應(yīng)該是這三條線都會動，那這三條線都會動．

生1：對喔，如果拉成平行四邊形．（持續(xù)思考中…）

第二段：

生2：如果我拉一拉有時會平行耶，兩條線很接近，那就會很遠．

生2：這兩邊平行，那…就只有兩個交點．

生1：一對平行，兩對平行，所以只要AB平行CD的話，GF也會平行HE．

生2：不一定??！可是這樣子、這樣子、這樣子（手勢描述邊的關(guān)系）

生1：可是啊！你這邊平行它的話！為什么不一定，你這樣平行它的話．

生2：喔，你說GF啊！

生1：對??！GF就平行HE，你這樣平移它的話，內(nèi)錯角就相等．

生2：可是旁邊不一定會平行?。‥F與GH）！那它有可能差很多??！例如這樣子（手勢描述邊的關(guān)系），然后…

生1：哦～～你說AD和BC，對對對！

生2：線可能會平行，就是那個邊?。‥F與GH）！

生1：嗯嗯嗯．

生2：如果是這樣子的話，那應(yīng)該是這樣子會平行．

第三段：

生1：你再說一次

生2：如果AB跟CD平行．

生1：把D拉過去（指著屏幕）．

生2：就變成HE這一條跟GF這一條會平行，因為它們這邊是…

生1：我說的就是這個啊（指著屏幕EF與GH）！

生2：有嗎？有嗎？好像沒有耶！

生1：因為你剛說AD跟BC不一定會平行，所以它角不一定一樣．

生2：疑～不是不對嗎？那…我要講什么？

生2：如果只有一對平行，另一對不平行．

第四段：

生2：如果我把B跟C合在一起的話，那這四個點就會變一個點，因為，把B跟C拉很近啊，就會變成三角形，它們都是內(nèi)角平分線交點，所以交點就是三角形的內(nèi)心．一個三角形只有一個內(nèi)心嘛，所以這樣子有四個交點，如果變成一個平面三角形，那這四個點就很接近，變成一點．

【案例分析】

生1與生2在活動二中思考幾何圖形的動態(tài)表征，一開始就注意到了符合特殊結(jié)構(gòu)的圖形．在第一段，雖然生2立即的反應(yīng)表現(xiàn)出一開始著重于幾何圖形的外型，但是通過對生1的講解他開始說明圖形的結(jié)構(gòu)，然后激發(fā)生2開始進行幾何思考，思考只移動A點時，三條角平分線會跟著移動；在第二段，生1也開始進行幾何思考，并向生2說明他幾何思考后的推論；在第三段，生1與生2重新開始他們的幾何思考，并依據(jù)電腦畫面中幾何圖形的動態(tài)表征進行思考，發(fā)現(xiàn)如果只有一邊平行另外一邊不平行，則里面的圖形也會是一邊平行另一邊不平行；在第四段，生2一想像到形成一三角形，馬上聯(lián)想到舊經(jīng)驗立即得到結(jié)果．

上述四個片段都顯示出當(dāng)學(xué)生注意到動態(tài)表征符合特定結(jié)構(gòu)時，會激發(fā)他們進入幾何思考．雖然有時候幾何思考的時間比較繁長，且常常需要圖形與手勢的輔助，但有些時候幾何思考是相當(dāng)快速的，譬如：在第四段，生2一講到兩點重合，當(dāng)下立即反應(yīng)出三角形內(nèi)角平分線交于一點．只有當(dāng)學(xué)生注意到圖形結(jié)構(gòu)時，幾何思考才會開始啟動，若只注意到圖形的外型，則發(fā)生的只是一種心像反映而非開始幾何思考，譬如第一段一開始生2立即的反應(yīng)．

4.2 動態(tài)表征類型：“蘊含某些不明顯數(shù)學(xué)性質(zhì)的圖形”

學(xué)生在操作幾何圖形的動態(tài)表征過程中，有時會發(fā)現(xiàn)動態(tài)表征蘊含著某些不明顯的數(shù)學(xué)性質(zhì)（亦即圖形在特定情形下具有的特殊性質(zhì)），但學(xué)生不能很清楚地掌握為什么（或不清楚其數(shù)學(xué)性質(zhì)），這時他們會思考是哪一些條件使得此情形成立（或為什么會這樣），即激發(fā)起幾何思考．以下以案例三與案例四說明．

【案例三】

在活動三中，生11與生12觀察并操作四邊形ABCD及其四內(nèi)角平分線交點E、F、G、H的動態(tài)表征．一開始，生11隨意地拖曳某些點，當(dāng)A點與D點重合時，觀察到ABCD形成一個三角形且所有對角線交于一點．然后，生11繼續(xù)拖曳D點，發(fā)現(xiàn)有時候四邊形ABCD的四個內(nèi)角平分線交點E、F、G、H會交于一點（參考圖3）．最后，他在保持E、F、G、H交于一點的情形下拖曳A點，發(fā)現(xiàn)A點軌跡似乎具有某一特殊性質(zhì)，進而激發(fā)生12開始進行幾何思考．以下為生11與生12的討論片段．

生11：…某些點會交于一點（E、F、G、H中的某些點交于一點），而且不只一個點，所以可能會有一個軌跡是所有點（E、F、G、H）都交于一點的．

生12：交于一點，就是四點（A、B、C、D）同圓嘛．?。〔皇?，是距離（比手勢），應(yīng)該是有一個內(nèi)切圓？

生12：所以那個交點（E、F、G、H交于一點）到底是為什么呢？（停頓思考了一下）

生12：為什么會交一點？…（思考一下）就這個點到每個邊距離都一樣…（思考一下）有內(nèi)切圓．

【案例分析】

生11經(jīng)由拖曳D點發(fā)現(xiàn)有些時候角平分線交于一點（動態(tài)表征）后，提出了“D點應(yīng)該有一個軌跡”的猜測，該猜想引起生12做幾何思考，生12停頓思考了一下，運用數(shù)學(xué)知識且以手勢操作動態(tài)心像形成“四邊形ABCD有內(nèi)切圓”的猜測．在這過程中，生12的停頓思考，顯示出生12不斷地在進行幾何思考，思考為什么會有交于一點的情形．在此情況下的幾何思考，會促使學(xué)生通過相關(guān)知識與邏輯推理思考形成此動態(tài)表征的原因．

圖3 四邊形角平分線交于一點

【案例四】

生3在觀察動態(tài)表征E、F、G、H交于一點的情形時，他通過幾何思考與推理，發(fā)現(xiàn)四邊形ABCD會有內(nèi)切圓．以下擷取生3與筆者（A）的討論片段如下．

生3：（操作GSP圖形）但是這樣確定這四個點有在一起嗎？所以有一點點誤差沒關(guān)系吧？（停頓思考約3分30秒）

生3：啊～～會有圓在里面．

A：為什么？

生3：是這樣吧！因為它們都是角平分線，角平分線不是到兩邊等距離，每邊都等距離就是半徑啊！

A：你怎么突然注意到這個？

生3：我也不知道耶！因為我想到它是角平分線，然后我就想到角平分線的性質(zhì)，所以就想到這個．

【案例分析】

生3在觀察動態(tài)表征四個角平分線交于一點的情形時，他是通過圖形角平分線的性質(zhì)聯(lián)想到了角平分線上的點到兩邊等距離，進而推出ABCD具有內(nèi)接圓．生3首先是觀察到了動態(tài)表征所蘊含不明顯的數(shù)學(xué)性質(zhì)，然后通過幾何思考來推理形成這一情形的原因．

4.3 動態(tài)表征類型：“認知沖突的圖形”

當(dāng)動態(tài)表征與個體所認知的圖形產(chǎn)生沖突時，會讓學(xué)生的思考變得多元化，通常第一個會問“為什么會這樣子”，接著會問“假如這樣子就會得到…”．通過幾何思考使得認知沖突轉(zhuǎn)化成一個新的猜測或結(jié)論．以下以案例五說明：

【案例五】

在活動一中，生1與生2使用GSP建構(gòu)好幾何問題的動態(tài)表征（參考圖4）．進入活動二之前，他們發(fā)現(xiàn)圖形上角平分線兩兩的交點有六個，這時候生1對于圖形與問題題干產(chǎn)生了認知沖突，以下是生1與生2的討論過程片段．

生1：那這些沒有點出來的點呢？它們也是相交，不是嗎？

生2：不是選四個嗎？

生1：所以它這個情況其實是沒有這種東西的．（一直觀察GSP中的圖形）

生2：因為四條線應(yīng)該是六個點．

生1：因為一定不只這幾個點啊，一定還有其他的點．所以它是不是拖拖拖，拖到一種情況，讓里面只有四個交點？

【案例分析】

屏幕上四條角平分線交于六點這一動態(tài)表征讓生1對于問題的題干產(chǎn)生了認知沖突．生2開始思考為什么會有六個交點，并提出任意四條線應(yīng)該有六個交點這一常識，來說明為什么會有六個交點．生1一直觀察動態(tài)表征，一開始懷疑是否有角平分線交于四點的特殊情形，然后經(jīng)過幾何思考后，提出將圖形進行拖曳后有可能形成角平分線交于四點的情形．生1關(guān)注于特殊結(jié)構(gòu)，并通過幾何思考嘗試得到動態(tài)表征符合特定結(jié)構(gòu)的因果關(guān)系，雖然在這里生1還沒得到一個具體的猜測，但具有此傾向．另外，生2開始思考為什么，并通過幾何思考尋找其原因．

圖4 四邊形角平分線兩兩相交

5 主要結(jié)論及啟示

綜上所述，DGE下激發(fā)大學(xué)生幾何思考的動態(tài)表征類型主要有三種：（1）符合特定結(jié)構(gòu)的圖形；（2）蘊含某些不明顯數(shù)學(xué)性質(zhì)的圖形；（3）認知沖突的圖形．同時基于三種動態(tài)表征類型激發(fā)大學(xué)生內(nèi)在思考實驗的案例分析，整理出一個DGE下動態(tài)表征激發(fā)大學(xué)生幾何思考的機制（參考圖5）：當(dāng)動態(tài)表征與個體所認知圖形產(chǎn)生連結(jié)或沖突時，會喚起所擁有的舊經(jīng)驗，進而激發(fā)其作思考實驗推論出幾何性質(zhì)或解釋沖突的原因．

圖5 動態(tài)表征激發(fā)幾何思考機制

拖曳操作的認知行為會影響個體對動態(tài)表征的解讀，而動態(tài)表征會與個體所認知的圖形產(chǎn)生連結(jié)或沖突，進而喚起舊經(jīng)驗來激發(fā)個體作思考實驗，思考實驗則是當(dāng)個體為了驗證猜測和面臨幾何情境過于復(fù)雜時，會引導(dǎo)其產(chǎn)生拖曳行為．因此，三者形成一個循環(huán)系統(tǒng)，而之間的交互作用機制如圖6所示．

當(dāng)學(xué)生在觀察動態(tài)幾何軟件產(chǎn)生的動態(tài)表征時，通常不會立即反應(yīng)，而是通過幾何思考后再做適當(dāng)?shù)耐弦坊顒樱@種反應(yīng)方式顯示學(xué)生是在進行有意義的活動而非盲目的行動．因此建議授課教師在布置動態(tài)幾何學(xué)習(xí)環(huán)境時，可參考能激發(fā)學(xué)生幾何思考的三種動態(tài)表征類型設(shè)計教學(xué)任務(wù)，以便引發(fā)學(xué)生進行有效且高效的幾何探索活動．

圖6 思考實驗、拖曳行為及動態(tài)表征的交互作用機制

[1]尚曉青．DGS技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)整合的研究現(xiàn)狀及其展望[J]．電化教育研究，2008（3）：89-92．

[2]彭翕成．信息技術(shù)與數(shù)學(xué)學(xué)科整合之探索[J]．中國教育信息化，2014（15）：19-22．

[3]ARZARELLO F，OLIVERO F，PAOLA D，et al．A cognitive analysis of dragging practices in Cabri environments[J]．ZDM Mathematics Education，2002，34（3）：66-72．

[4]TALL．Geometry from a cognitive point of view[J]．Educational Studies in Mathematics，2003，24（2）：139-162．

[5]LABORDE．The computer as part of the learning environment：The case of geometry[J]．Educational Studies in Mathemat?ics，1998，12（6）：56-68．

[6]LOPEZ-REAL F，LEUNG A.Dragging as a conceptual tool in dynamic geometry environments[J]．International Journal of Mathematical Education in Science and Technology，2006，37：665-679．

[7]VYGOTSKY L S.Mind in society：The development of higher mental psychological processes[M]．Cambridge，MA：Har?vard University Press,1978．

[8]MARIOTTI M A.Introduction to proof：The mediation of a dynamic software environment[J]．Educational Studies in Mathe?matics，2000，44（1/2/3）：25-53．

[9]TALMON V，YERUSHALMY M．Understanding dynamic behavior：Parent-child relation in dynamic geometry environ?ments[J]．Educational Studies in Mathematics，2004，57：91-119．

[10]AINSWORTH S E，VAN LABEKE N.Multiple forms of dynamic representation[J]．The Journal of the European Associa?tion for Research on Learning and Instruction，2004，14（3）：241-255．

Research on the Mechanism of Motivating Undergraduate Students’Geometrical Thinking by Dynamic Representation under DGE

ZHANG Lei
（College of Mathematics and Statistics，Hanshan Normal University，Chaozhou，Guangdong,521041）

There are three types of dynamic representations that can motivate undergraduate students’geometrical thinking:figures accord with specific structure,figures containing some implicit mathematic quality,and figures with cognitive conflict．Based on the case analysis in which three types of dynamic representations motivate students to do thought experiments,we introduce a mechanism of motivating undergraduate students’geometrical thinking by dynamic representation under DGE:when the dynamic representations join or conflict with an individual’s cognitive figures,it will evoke his owned experience and further stimulate him to do thought experiments so as to infer geometric property or explain the cause of conflict．

dynamic representation；dynamic geometric environment；geometrical thinking；dragging act；geometric exploration

G 427

A

1007-6883（2017）03-0073-10

責(zé)任編輯朱本華周春娟

2017-03-09

廣東省2016年特色創(chuàng)新類（教育科研）項目（項目編號：2016GXJK105）．

張磊（1981-），男，河南確山人，韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院講師．