李頻

摘要：初中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合教學(xué)思想能夠?qū)⒊橄蟮闹R(shí)和理論轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形，從而展現(xiàn)給學(xué)生，學(xué)生通過對(duì)圖形進(jìn)行分析，將數(shù)學(xué)問題和圖形有效結(jié)合起來，有利于學(xué)生更好地掌握和理解數(shù)學(xué)知識(shí)。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；應(yīng)用

中學(xué)數(shù)學(xué)研究的兩類基本對(duì)象是數(shù)與形，而數(shù)形結(jié)合思想則是研究數(shù)學(xué)的一種重要思想。數(shù)形結(jié)合，簡言之，依據(jù)數(shù)學(xué)問題的題設(shè)與結(jié)論間的內(nèi)在聯(lián)系，不僅對(duì)其數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析，而且其幾何意義也需呈現(xiàn)，使二者有機(jī)地結(jié)合在一起，以尋求問題解決思路。在該過程中，將復(fù)雜、抽象的問題具體化和形象化，一方面能夠提高學(xué)生的思維能力和觀察能力；另一方面，也能激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，有效提高課堂教學(xué)效果。

一、數(shù)形結(jié)合在初中教學(xué)中的地位和意義

（一）數(shù)形結(jié)合在初中教學(xué)中的地位

數(shù)形結(jié)合的研究在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中具有重要的地位，其整合性強(qiáng)，解法靈活，可以考查學(xué)生的思維能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力，它經(jīng)常將數(shù)軸、多邊形、圓等幾何知識(shí)與函數(shù)、方程、不等式等代數(shù)知識(shí)緊密聯(lián)系，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想，可以幫助學(xué)生系統(tǒng)地掌握數(shù)學(xué)概念，有利于學(xué)生思維能力的發(fā)展。

（二）數(shù)形結(jié)合在初中教學(xué)中的意義

1.數(shù)形結(jié)合有利于學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中發(fā)展思維的敏捷性和靈活性

數(shù)形結(jié)合的思想方法可以將繁雜的數(shù)量關(guān)系與直觀形象的圖形互相轉(zhuǎn)化和補(bǔ)充。學(xué)生通過題目給出的條件，經(jīng)過分析來判斷是否可以將題目中令人難懂、繁瑣的代數(shù)轉(zhuǎn)化為直觀的圖形來解決，或者是否可以將題目中簡單的圖形通過代數(shù)找到圖形蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系。經(jīng)過學(xué)生動(dòng)腦想、大膽猜來開闊解題思路，從而增強(qiáng)解題的敏捷性和靈活性，探索出一條簡潔的解題途徑。不僅有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的記憶更加深刻，而且還有利于學(xué)生用圖形進(jìn)行思維轉(zhuǎn)換活動(dòng)。

2.數(shù)形結(jié)合可以使單調(diào)無趣的數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀明了

由于初中生的空間想象和對(duì)幾何問題的把握不夠精準(zhǔn)，因此對(duì)他們而言，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解相關(guān)的題目，不但直觀，可以很快找到解題方法，而且能避免繁雜的運(yùn)算和推理，簡化解題過程，提高解題能力。同時(shí)通過提高解題能力，增強(qiáng)學(xué)生的自信心，從根本上培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從被動(dòng)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)求知，讓枯燥的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重現(xiàn)鮮活的生命力。

二、數(shù)形結(jié)合思想的具體運(yùn)用

1.以數(shù)化形

數(shù)學(xué)圖形最大的優(yōu)勢(shì)就是形象直觀，能夠很好地表現(xiàn)抽象性的思維形象。從教學(xué)活動(dòng)上來看，以數(shù)化形的優(yōu)勢(shì)在于：其一能夠?qū)⒊橄筠D(zhuǎn)變?yōu)橹庇^的幾何形象，省略掉冗長且繁瑣的推理與計(jì)算過程；其二是能夠幫助學(xué)生依托于直觀的數(shù)學(xué)圖形來理解復(fù)雜代數(shù)關(guān)系，鞏固教學(xué)的效果。例如，在講解“平方差公式”知識(shí)點(diǎn)時(shí)，可應(yīng)用以數(shù)化形的方法展開教學(xué)。具體思路是：首先給出學(xué)生如下多項(xiàng)式：（2x+1）（2x-1）；（m+2）（m-2）。讓學(xué)生應(yīng)用多項(xiàng)式相乘的原則進(jìn)行計(jì)算，并比較計(jì)算結(jié)果，探索規(guī)模。然后過渡到對(duì)多項(xiàng)式（a+b）（a-b）的計(jì)算上，自然而然地寫出平方差公式的基本內(nèi)容。在此基礎(chǔ)之上，教師可應(yīng)用繪制幾何圖形并結(jié)合平方差公式進(jìn)行講解，讓學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)到平方差公式的幾何意義，加深理解。

2.以形變數(shù)

應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想中的以形變數(shù)概念，能夠引導(dǎo)學(xué)生深入發(fā)掘圖形中的隱含條件，最終解決圖形問題。例如，在講解“對(duì)角平分線的性質(zhì)”知識(shí)點(diǎn)時(shí)，教材中采取的方法是：首先介紹平分角的儀器，然后展開對(duì)平分角儀器工作原理的探究，最終引導(dǎo)學(xué)生具備獨(dú)立應(yīng)用尺規(guī)作出已知平分角的能力。而通過引入以形變數(shù)的概念，在本環(huán)節(jié)教學(xué)活動(dòng)中改為引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐。具體方法是：讓學(xué)生從草稿紙上裁下一部分并折疊形成角AOB，再折疊出一個(gè)直角三角形。然后教師可要求學(xué)生自行觀察以上操作中所產(chǎn)生的折痕長度及其數(shù)量，通過動(dòng)手實(shí)踐的方式推導(dǎo)得出角平分線的性質(zhì)與定理。

3.數(shù)形互變

有一些數(shù)學(xué)問題不僅僅是單純的“以數(shù)化形”或“以形變數(shù)”，而是需要結(jié)合實(shí)際情況轉(zhuǎn)換其中的形與數(shù)。例如，在講解“平面直角坐標(biāo)系及其函數(shù)關(guān)系”時(shí)，平面直角坐標(biāo)系除了可以將地理位置表示出來之外，還能夠?qū)⒁蛔鶚蛄簷M架在數(shù)與形之間，一一對(duì)應(yīng)平面上的點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y），從而有效地結(jié)合圖像和函數(shù)。在引入平面直角坐標(biāo)系之后，就可以對(duì)代數(shù)的方法進(jìn)行借用研究幾何性質(zhì)，并且選擇幾何的方法對(duì)代數(shù)關(guān)系進(jìn)行表述。

4.“空間與圖形”中的數(shù)形結(jié)合

幾何是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，相比代數(shù)的抽象化，幾何因直觀化的圖形圖像等，贏得了學(xué)生的喜歡。但由于初中學(xué)生的空間思維能力開拓不足，使得他們?cè)趯W(xué)習(xí)幾何圖形的空間變化時(shí)，容易遇到瓶頸，難以真正理解幾何圖形的變換思路。教師積極利用數(shù)形結(jié)合的思想，通過空間與圖形的充分結(jié)合，來幫助學(xué)生更加直觀、更加深刻地理解幾何知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的空間思維能力。教師利用數(shù)形結(jié)合的思想，應(yīng)該善于從生活中挖掘素材，積極利用生活中的事物，引導(dǎo)學(xué)生自己動(dòng)手試驗(yàn)，探究幾何圖形的空間轉(zhuǎn)換能力。如在平面圖形的幾何變換時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過自己動(dòng)手的方式來親自演練平面圖形的空間變換。最典型的例子就是折紙箱或拆剪盒子等，教師可以在課前要求學(xué)生準(zhǔn)備相應(yīng)的材料，授課前引導(dǎo)學(xué)生一起動(dòng)手，共同探討拆剪盒子的空間變換。如圖1所示，兩個(gè)大小不一、連接在一起的正方形，假設(shè)小的正方形是大的正方形邊長的一半，如何在只剪兩刀的情況下，拼出一個(gè)全新的大的正方形呢？在實(shí)踐教學(xué)中，教師通過實(shí)驗(yàn)的方法引導(dǎo)學(xué)生積極動(dòng)手來自我發(fā)掘拆剪方式，但由于學(xué)生思維能力有限，在拆剪的過程中，很容易出現(xiàn)混亂，不僅無法精準(zhǔn)地找到拆剪的方式，還容易因拆剪方式不科學(xué)，造成課時(shí)的延誤或者思路的混亂。但如果仔細(xì)分析，我們可以發(fā)現(xiàn)，題目中說在剪兩刀的情況下，構(gòu)成新的正方形。在轉(zhuǎn)換的過程中，邊長發(fā)生了改變，但面積是固定的。這樣通過計(jì)算大小正方形的面積和，很容易得出新的正方形的面積。假設(shè)大正方形的邊長為4，小正方形的邊長為2，那么兩個(gè)正方形的面積和為20。學(xué)生只需要計(jì)算出面積為20的正方形的邊長，并找出邊長在哪即可?？梢姡凇皵?shù)形結(jié)合”中，不僅可以將代數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)閳D像，從抽象過度到具象，同時(shí)還可以分析判斷幾何圖形中的“不變量”，從具象過度到抽象。

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