潘少華
本文對二元一次方程組的解題方法展開探究,為幫助學(xué)生提高二元一次方程組特征識別的能力,從而準(zhǔn)確地選擇適用的解題方法,對癥下藥,在解題中實(shí)現(xiàn)事半功倍的效果.
一、代入法
代入消元法是二元一次方程組進(jìn)行消元的一種相對原始的方法,它是將方程組中的一個(gè)相對簡單的二元一次方程用其中一個(gè)未知數(shù)表示另外一個(gè)未知數(shù)的新代數(shù)式,將新代數(shù)式代入原方程組中相對復(fù)雜的二元一次方程中,使其轉(zhuǎn)化為一元一次方程的解題方法.
例1解方程組
(1)x-y=3①
4x+3y=47②(2)2x+y=3①
4x+5y=12②
解析對于第一個(gè)方程,可以利用整體代入法來解決問題:將①轉(zhuǎn)換為x=y+3,然后代入②式,解得y=5,x=8.而對于第二個(gè)方程,它與方程組的特征2相符,所以可以利用代入法來解決問題:將②轉(zhuǎn)換為2(2x+y)+3y=12,將2x+y=3代入其中,解得y=2,x=1/2.
代入法是二元一次方程組消元的有效手段,利用先轉(zhuǎn)化后代入的方法即消去了一個(gè)未知數(shù),方便運(yùn)算.教師通過引導(dǎo)學(xué)生歸納出可以運(yùn)用代入法的解題的兩種方式,進(jìn)一步幫助學(xué)生在獨(dú)立解題時(shí)能在第一時(shí)間判斷出解題的有效方法,提高了解題的效率.
二、加減法
加減消元法是解二元一次方程組技巧性相對較強(qiáng)的一種方法,它是以一個(gè)未知數(shù)為消元目標(biāo),將方程組中的一個(gè)二元一次方程針對這個(gè)目標(biāo)“元”在等式兩端同時(shí)乘以一個(gè)數(shù),轉(zhuǎn)化為與另一個(gè)二元一次方程同未知數(shù)系數(shù)或互為相反數(shù)的二元一次方程,最后進(jìn)行加減運(yùn)算消元.
例2解方程組
(1)2y-4x=2①
4x+3y=23②(2))3x+2y=3①
2x+3y=12②
解析對于第一個(gè)方程,可以直接利用加減法來解決問題:①+②得5y=25,解得y=5,x=2.同樣第二個(gè)方程可以利用加減消元法來解決問題:①+②得5x+5y=25,化簡得x+y=5③;將②③組成新的方程組,利用代入法來解題,解得x=-3,y=6.
加減法相對于代入法來說,解題過程更加的精煉,但是這必須建立在對方程組進(jìn)行準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)上,因此教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生掌握識別方程特征的能力,起到透視本質(zhì)的目的.
三、換元法
換元消元法是針對復(fù)雜的二元一次方程組進(jìn)行消元的一種方法,解題思路是:在二元一次方程組中,將方程組中所包含的共有部分視為一個(gè)整體,并將其等同為一個(gè)新的未知數(shù);將新的未知數(shù)帶入到原方程組中,將原方程組轉(zhuǎn)化為關(guān)于新未知數(shù)的新二元一次方程組,求解新的方程組,解出新的未知數(shù);最后利用新的未知數(shù)與原方程的關(guān)系,求解原方程.
例3解方程組
(1)3x+y+2x-y=3①
9x+y+3x-y=6②(2)x4=y3①
2x+5y=23②
解析對于第一個(gè)方程組,①,②兩式均包含了x+y,x-y兩個(gè)相同的特征元素.它與方程組的特征情況a相符,所以可以利用換元法來解決問題:設(shè)1x+y=a,1x-y=b,原方程組可轉(zhuǎn)化為:3a+2b=3③
9a+3b=6④利用加減消元法來解a=13,b=1,則1x+y=13,
1x-y=1,解得x=2,
y=1.
而第二個(gè)方程組的①式為比例形式,可以利用換元法來解決問題:設(shè)x4=y3=k,則x=4k,y=3k;代入②式中,得8k+15k=23,所以k=1.代入假設(shè)中,則x=4,y=3.
換元法的實(shí)質(zhì)是將方程組中復(fù)雜的部分,用新的未知數(shù)替代,從而將復(fù)雜的運(yùn)算化繁為簡,避免了大量的計(jì)算過程.換元法一般應(yīng)用于形式比較復(fù)雜的二元一次方程組的解題中.通過總結(jié)明確了換元法的題目特征后,在解題時(shí)思路自然清晰.
綜上所述,學(xué)生只有在熟知方程組特性的基礎(chǔ)上,才能在解題時(shí)“對癥下藥”,選擇合適的方法,達(dá)到快速、準(zhǔn)確的解題目的.教師要通過有效的練習(xí),讓學(xué)生掌握不同方程組的特性,分析運(yùn)用解題方法的條件,靈活地應(yīng)對題型的變式,只有這樣才能充分的掌握二元一次方程組的解題方法,養(yǎng)成科學(xué)有效的數(shù)學(xué)思維,為今后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).2016年12月10日理科考試研究·物理版理科考試研究·