基于損傷理論的金屬漸進(jìn)破壞數(shù)值模擬有限元單元網(wǎng)格依賴性研究

江金鋒

【摘 要】為了研究金屬漸進(jìn)破壞數(shù)值模擬結(jié)果對有限元單元網(wǎng)絡(luò)精度的依賴性，本文對裂紋擴(kuò)展平面以及垂直裂紋擴(kuò)展方向進(jìn)行了不同網(wǎng)格精度的計算分析，得出了金屬漸進(jìn)破壞數(shù)值模擬結(jié)果對有限元單元網(wǎng)絡(luò)精度的依賴性結(jié)果。

【關(guān)鍵詞】金屬漸進(jìn)破壞；數(shù)值模擬；有限元網(wǎng)格；依賴性

有限元計算的效率和網(wǎng)格密切相關(guān)，在保證計算精度的基礎(chǔ)上，我們希望單元的尺寸越大越好，這樣能大大地提高計算效率，為理論研究和算法設(shè)計應(yīng)用于工程實(shí)際當(dāng)中提供有利條件。

基于損傷理論的延性斷裂算法應(yīng)用對象是單元的積分點(diǎn)，當(dāng)損傷值達(dá)到閾值后單元的刪除其實(shí)是單元積分點(diǎn)的刪除。在工程實(shí)際當(dāng)中，構(gòu)件上出現(xiàn)的宏觀最小可見裂紋的尺寸為0.1mm。因此，為了更好地進(jìn)行模擬裂紋的萌生及擴(kuò)展，在沿裂紋擴(kuò)展路徑上的單元尺寸要相當(dāng)小，如果更改單元尺寸是否會對計算結(jié)果造成影響。與此同時，顯示動力學(xué)算法本身就有穩(wěn)定限制，其穩(wěn)定步長決定于模型當(dāng)中尺寸最小單元的尺寸，單元越小，穩(wěn)定步長越小，計算成本越高。

本節(jié)針對12.5mm厚度的典型CT試樣，進(jìn)行了XY平面（裂紋擴(kuò)展平面）內(nèi)以及Z方向（垂直裂紋擴(kuò)展平面）不同網(wǎng)格尺寸下的延性斷裂數(shù)值計算。

1 損傷理論簡介

斷裂問題是一個高度非線性問題，因此就必須采用損傷力學(xué)的方法來處理金屬材料斷裂問題。由于塑性變形本身是不可逆的，因此可以在塑性變形和損傷累積之間建立關(guān)系，這種建模方法也被稱為累積的應(yīng)變損傷方法。那么，損傷累積過程就可以采取對塑性變形進(jìn)行加權(quán)積分的形式進(jìn)行，如下式所示：

2 XY平面（裂紋擴(kuò)展平面）內(nèi)網(wǎng)格尺度的依賴性

這里的XY平面定義為垂直于裂紋擴(kuò)展平面，同時保證模型沿Z方向（厚度方向）的網(wǎng)格密度一致（沿Z方向劃分兩個單元）。本節(jié)模擬了四種不同尺寸單元條件下模型的斷裂過程，分別為0.1×0.1（mm）、0.2×0.2（mm）、0.3×0.3（mm）和0.4×0.4（mm）。

分別提取四種單元尺寸下模型計算結(jié)果中的P-V曲線組成如圖1所示，隨著單元尺寸的增大，最大載荷隨之增加，且達(dá)到最大載荷時的位移值也會增大，這說明損傷的累積相對滯后了。因此，在CT模型斷裂計算過程當(dāng)中，模型對XY平面內(nèi)的網(wǎng)格依賴性是不能忽略的。

3 沿Z方向（垂直裂紋擴(kuò)展平面）網(wǎng)格尺度相關(guān)性

同樣地，在研究沿厚度方向（Z方向）網(wǎng)格依賴性時必須保證模型網(wǎng)格在XY平面內(nèi)的密度一致，本節(jié)設(shè)定XY面內(nèi)沿裂紋擴(kuò)展方向上最小網(wǎng)格尺寸為0.1mm。在此基礎(chǔ)上，模擬了三種不同尺度單元下模型的斷裂過程，其尺度分別為3.125mm、0.625mm、0.3125mm。

在上節(jié)中進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證時為了節(jié)省計算時間，在沿厚度方向都劃分了兩個單元，即沿厚度方向單元尺寸為3.125mm。由于單元尺寸較大，因此裂紋沿厚度方向的擴(kuò)展過程不能得到很好地考察。本節(jié)中，當(dāng)最小單元尺寸為0.3125mm時，就可以觀察裂紋沿厚度方向的擴(kuò)展細(xì)節(jié)。裂紋最先出現(xiàn)在模型的沿Z方向的對稱面上，由于建模時沿方向只建了一半，故此處正是實(shí)際試件的厚度中心處。因此雖然整個試件不符合平面應(yīng)變條件，但是試件中心處受三向應(yīng)力狀態(tài)最嚴(yán)重，斷裂最先出現(xiàn)在該處。在裂尖試件中心處出現(xiàn)裂紋后，裂紋開始往前和往上發(fā)展，裂紋達(dá)到試件表面時，裂紋在內(nèi)部已經(jīng)擴(kuò)展了一部分。因此實(shí)際試驗(yàn)中肉眼觀測到有裂紋出現(xiàn)時，在試件內(nèi)部，裂紋早于此時已經(jīng)萌生。

提取各個計算結(jié)果的P-V曲線組成圖1。由圖1可以看出，沿厚度方向單元尺寸不同對結(jié)果影響并不大。因此，本文所采用的模型在斷裂過程對沿厚度方向的網(wǎng)格依賴性可以忽略不計，前面研究內(nèi)容所采用的最小單元尺寸為3.125mm的模型所得到的結(jié)果是可靠的，這一結(jié)果可以在后面的應(yīng)用當(dāng)中繼續(xù)使用。

4 結(jié)論與展望

本文研究了金屬漸進(jìn)破壞數(shù)值模擬與有限元單元網(wǎng)格依賴性，結(jié)果顯示：裂紋擴(kuò)展平面內(nèi)網(wǎng)格劃分的大小對數(shù)值模擬的結(jié)果影響較大，不能忽略；垂直于裂紋擴(kuò)展平面方向網(wǎng)格劃分的大小對數(shù)值模擬的結(jié)果影響較小。

在有限元數(shù)值模擬過程中，單元劃分得越密，計算時所消耗的時間越長，相應(yīng)的計算成本就會越高。而且，工程實(shí)際當(dāng)中往往會有很多大尺寸結(jié)構(gòu)零部件，用小網(wǎng)格來進(jìn)行分析勢必會非常的煩瑣。因此，為了算法本身的經(jīng)濟(jì)性及工程適用性，在保證精度的前提下應(yīng)該優(yōu)先選擇大尺寸單元進(jìn)行分析，后續(xù)應(yīng)著重研究在選擇大尺寸單元計算時保證計算結(jié)果的準(zhǔn)確性。

[責(zé)任編輯：張濤]