劉俊群 劉耀文

(南京電子技術研究所,南京 210039)

若干電磁波完全極化參數(shù)組的完備變換關系

劉俊群?劉耀文

(南京電子技術研究所,南京 210039)

(2016年9月13日收到;2016年12月5日收到修改稿)

極化與電磁波另外的兩個特性——振幅和相位,在傳遞信息時具有同等重要的作用,描述電磁波極化及其演化特征具有重要意義.關于電磁波的極化描述,前人針對不同邊界條件和初始狀態(tài),發(fā)展了不同的參數(shù)組,但是這些參數(shù)組沒有全面考慮電磁波的初相.鑒于此,全面考慮了電磁波的初相問題,對極化橢圓參數(shù)組的旋向參數(shù)也進行了擴充和完善,重新定義了這些參數(shù)組,在此基礎上推導出這些參數(shù)組的相互變換關系,并借助符號數(shù)學數(shù)值與仿真計算驗證了這些相互變換關系的正確性.結果表明這些全面包含初相的電磁波完全極化參數(shù)組是完備的,相互之間具有一一對應的關系.給出的參數(shù)組變換關系顯著地簡化了繁雜的電磁波極化計算過程,為電磁波極化理論和應用設計提供了更加完備、適用的方案,具有理論參考和應用價值.

電磁波,完全極化參數(shù)組,變換關系

1 引 言

在電磁波的傳播過程中,無論場的振幅、相位或極化都包含有信息量,可以用來傳遞信息.這一特性賦予了電磁波極強的信息承載和傳播功能,其重要性和巨大成效歷經(jīng)一個多世紀的積淀與發(fā)展,依然日久彌新.極化是電磁波的一個基本特性,其傳播信息的重要性不斷提升,應用領域不斷拓展.但是,電磁波極化的準確預測計算依然存在一些問題,本文主要關注不同初始與邊界條件下電磁波極化的計算方法.

電磁波的極化一般定義為空間中一固定點上電場矢量E的空間取向隨時間變化的方式.極化按純度可分為完全極化、非極化和介于二者之間的部分極化[1].王雪松等在1999年針對寬帶電磁波提出瞬態(tài)極化理論,這一理論涵蓋了完全極化理論,假定每一時刻瞬態(tài)極化電磁波為完全極化[2],該理論與實際表征結果十分符合,表明這一假設的有效性,也說明完全極化理論的研究具有理論參考或指導意義.

眾所周知,電磁波極化的應用范圍十分廣泛.從本質上講,極化特性是電磁波產(chǎn)生空間各向異性的根本原因.調幅電臺發(fā)射的電磁波在遠區(qū)可近似為垂直于地面的垂直極化波,電視信號則采用水平極化波.很多情況下,為了避免電磁波穿過雨層出現(xiàn)過大損耗,又傾向于采用圓極化波.同樣地,不論是遙控火箭還是衛(wèi)星,只要是針對運動系統(tǒng),一般均采用圓極化波——它可以轉換分解成兩個線極化波的疊加,不論檢測哪部分線極化波,總有一部分分量可以被接收,利于實際控制[3].另外,在雷達信號濾波、檢測、增強、抗干擾、目標鑒別/識別等方面,電磁波極化特性的利用都展示出巨大的應用潛力[4?6].理論上講,目標、干擾和雜波在極化域中的特性差異構成了極化信息處理的物理基礎,特別是當兩個信號在時域、頻域以及空域的特征都很接近時,就可以或者也只能利用兩者在極化域的差異來進行有效區(qū)分.

電磁波極化特性的應用研究離不開理論支撐,電磁波吸波材料或超材料的設計、仿真和實驗研究都將極化作為一個基本特性參數(shù)進行研究[7?11].文獻[7]設計了一種基于各向異性介質特性的電磁波變極化結構,該電磁波屬于完全極化電磁波.要利用電磁波的極化信息,需要對其進行完備的描述.完全極化理論大多采用矢量正交分解方法來分析,尤其是用彭加勒球來描述波的極化特性,為描述極化特性提供了一種統(tǒng)一的處理方案和直觀的幾何圖像.而這一描述方案的主要對象是定態(tài)(簡諧)平面電磁波,它是電磁波波動方程的基本解,其極化狀態(tài)具有基本的物理意義.

要描述平面電磁波的極化狀態(tài),首先需要一組描述極化的參數(shù)組.不同的研究小組針對不同具體情況提出和發(fā)展了不同的參數(shù)組,形成了電磁波極化特性研究紛呈復雜的局面.這些參數(shù)組都可以基本確定極化的特征,即極化橢圓(polarization ellipse,PE)的軸比、傾角、旋向、初相等.對這些參數(shù)組進行梳理,發(fā)現(xiàn)最為人熟知的是Stokes參數(shù)組.該參數(shù)組將各種描述極化特性的方法融合在一起,普適性很強,計算效率高,一直是實際應用研究的熱點[12?14].文獻[15,16]應用概率統(tǒng)計理論對隨機分布的瞬態(tài)極化的兩種極化參數(shù)組,即PE參數(shù)組和Stokes參數(shù)組,進行了深入分析.至今為止,最為常見的參數(shù)組有五類.

1)正交線極化(orthogonal linear polarization,OLP)參數(shù)組在空間垂直于z軸的平面內任選兩個正交方向1和2,其基矢分別為u1和u2,則電場表達式為

式中(E1m,E2m)為方向(1,2)的電場振幅(非負數(shù),下同),為沿u1和u2方向的電場分量初相,為初相差,ω和k為角頻率與波數(shù),t為時間,z為沿電磁波傳播方向的坐標,傳播方向的基矢可以表示為uz=u1×u2.但文獻[17,18]中提出的OLP參數(shù)組并沒有包括初相?L,從而使得這一參數(shù)組缺乏初相信息.這里的初相參數(shù)是本文基于完備性考慮而添加的.

2)正交斜極化(orthogonal diagonal polarization,ODP)參數(shù)組設定另外一組正交方向(3,4),其基矢為(u3,u4).這一組正交系與(1,2)正交系45?斜交.在(u3,u4)正交系中,(E3m,E4m)為沿著(3,4)方向的電場振幅,為對應電場分量初相,為對應的初相差,傳播方向的基矢也可以表示為uz=u3×u4.則電場可以寫為

3)正交圓極化(orthogonal circular polarization,OCP)參數(shù)組為左旋和右旋圓極化的電場振幅分量(二者旋向相反),為對應的電場分量初相,δC=為對應的初相差.這一參數(shù)組定義下的電場表達式與(1),(2)式類似,不再專門寫出.

4)PE參數(shù)組(a,b,τ,χ′,x0,y0).a為橢圓長半軸,b為橢圓短半軸,τ為橢圓傾角,χ′為包含完備旋向信息的數(shù)字化橢圓角參數(shù),(x0,y0)為本參數(shù)組的初始運動點(即初相信息).同樣,文獻[17,18]中提出的PE參數(shù)組并沒有包括初相(x0,y0),這里的兩個初相參數(shù)是基于完備性考慮而添加的.

5)Stokes參數(shù)組(YL,XL,YD,XD,YC,XC).這是一類具有普適性的參數(shù)組,與彭加勒球結合起來可以給出前三種正交極化的分量極化比和初相差.這里不涉及初相,六個參數(shù)的具體定義將在2.1節(jié)加以說明.

在不考慮基于完備性提出添加的上述三個初相參數(shù)和數(shù)字化橢圓角參數(shù)χ′的情形下,這些參數(shù)組在實際應用時有一些問題和不足.例如,文獻[17,18]中提出的OLP參數(shù)組和PE參數(shù)組都沒有完備地討論初相參數(shù),因此分量之間的時間相位關系缺乏完備性或無從確定.同時,PE參數(shù)組還缺乏線極化旋向的描述.本文重點在于兩個方面:一方面,進一步完善已經(jīng)提出的參數(shù)組,包括引入新的初相參數(shù)(即?L,x0,y0),同時,對PE參數(shù)組引入數(shù)字化橢圓角參數(shù)χ′來代替原來的橢圓角參數(shù)χ,以完善線極化的旋向信息;另一方面,每一組參數(shù)組都必須是電磁波極化狀態(tài)的完備描述組.由于在OLP和PE參數(shù)組中引入了初相參數(shù)和數(shù)字化橢圓角參數(shù),各參數(shù)組之間的變換關系必須重新加以求解.同時還要考察參數(shù)組是否描述完備,參數(shù)組之間的一一對應性是否成立,如果參數(shù)組本身不完備或者參數(shù)組之間非一一對應,則表明參數(shù)的選擇需改進.這些添加了初相和數(shù)字化橢圓角參數(shù)的參數(shù)組之間的變換關系鮮有文獻報道.本文的主要內容即是針對上述兩個方面開展研究.

2 參數(shù)組變換關系

2.1 Stokes參數(shù)組

在上述五類參數(shù)組中,Stokes參數(shù)組是極化理論研究的紐帶,分析這些參數(shù)組相互關系時可以Stokes參數(shù)組為聯(lián)系橋梁.為此,首先給出Stokes參數(shù)組各參數(shù)的定義,其表現(xiàn)為與正交參數(shù)組中電磁波電場幅值之間的關系[18]:

其次,Stokes參數(shù)組與正交參數(shù)組初相差有如下關系:

2.2 OLP參數(shù)組與PE參數(shù)組的變換關系

OLP參數(shù)組和PE參數(shù)組是描述極化狀態(tài)最常見的參數(shù)組,因此先分析它們之間的變換關系.從對應的兩組參數(shù)組和(a,b,τ,χ′,x0,y0)出發(fā),設有一沿z方向傳播的無衰減均勻平面波,根據(jù)正交分量約定,應用約束條件則(1)式的瞬時電場矢量E(z,t)可寫為

式中采用直角坐標系,變量名為Ex(z,t),Ey(z,t),分別表示(1,2)方向的電場分量,(6)式消去ωt-kz,可得Ex(z,t)和Ey(z,t)的二元二次方程:

該方程經(jīng)過坐標系旋轉變換,可以得到標準橢圓方程,橢圓方程參數(shù)a和b為

對于PE參數(shù)組(a,b,τ,χ,x0,y0),橢圓角參數(shù)χ暫選文獻[17]的含義,第三個參數(shù)是橢圓傾角τ.如果規(guī)定τ∈(?π/2,π/2],由坐標系旋轉變換得

(10)式中β表示該范圍內的任意實數(shù).

參數(shù)χ描述橢圓運動旋向,其絕對值由a,b決定,其符號決定了PE旋向,滿足[17]

這里用符號值作為獨立變量,χ=0時表示線極化.但是丟失了線極化的旋向,即初始運動方向信息.為了排除這一奇異點,引入一個更完備的數(shù)字化橢圓角參數(shù)χ′,考慮了線極化時初始運動方向信息,包括非垂直線極化(即斜線極化和水平線極化)和垂直線極化兩種情形.將這些因素結合在一起,可得

式中相位不考慮周期性,統(tǒng)一化為區(qū)間[?π,π)內的數(shù)值.從(12)式可以看到,χ′=1表示左旋橢圓或圓極化,χ′=?1表示右旋橢圓或圓極化,χ′=1/2表示初始沿x軸正向運動的斜極化或水平線極化,χ′=?1/2表示初始沿x軸負向運動的斜極化或水平線極化,χ′=1/4表示初始沿y軸正向運動的垂直線極化,χ′=?1/4表示初始沿y軸負向運動的垂直線極化.χ′的數(shù)值符號表示旋向,數(shù)值大小用于區(qū)分不同的極化形式,而為保持連貫性和方便起見,選擇絕對值不大于1的相反數(shù)來表達更完備的旋向參數(shù)χ′,數(shù)值符號代表非線極化的旋向或線極化的初始運動方向,數(shù)值大小1表示與橢圓極化或圓極化相關,數(shù)值大小1/2表示與斜極化或水平線極化相關,數(shù)值大小1/4表示與垂直線極化相關,當然數(shù)值大小本身不再有其他物理含義.

最后討論兩個初相參數(shù)(x0,y0),它們對應初始時刻電場矢量的坐標,與OLP參數(shù)組定義的初相和相差有關.電磁波傳播方向是z方向,因此初始時刻電場矢量沿z軸坐標可設定為z=0,由此得到

已知電場矢量端點處的PE參數(shù)組(a,b,τ,χ′,x0,y0),如圖1所示.結合具體物理意義,從圖1可知,作一垂直于x軸的直線,與橢圓交于兩點.直線與x軸垂直,并沿x軸正向移動,當兩交點重合為一點時,直線的x坐標位置為x1,x1對應電場幅值E1m.同理,另一直線與y軸垂直,沿y軸正向移動,兩交點重合為一點時,其y坐標位置為y1,y1對應電場幅值E2m.由橢圓傾角τ的定義,原坐標系坐標(x,y)旋轉角度τ后變成新坐標系坐標(x′,y′).在新坐標系中,橢圓成為標準橢圓,軌跡方程為

圖1 PE參數(shù)組(a,b,τ,χ′,x0,y0)Fig.1.PE parameter group(a,b,τ,χ′,x0,y0).

坐標系旋轉變換公式為

代入(14)式得原坐標系方程

將(16)式分別看作y和x的一元二次方程,可得

(17)式適用于任意極化,在b=0時對應線極化.

上述過程的求解和計算可以借助美國科學計算軟件矩陣實驗室(MATLAB)的符號數(shù)學工具完成[19?24].不過,利用這一工具處理電磁波理論的詳細工作并不多,文獻[25]偏重于符號數(shù)學編程,文獻[26]是處理電磁波問題的一個例子.

式中β表示該范圍內的任意實數(shù),可以得到

結合(5)式和(19)式,即求得δL:

求出δL之后,只需要確定OLP參數(shù)組中的?L或即可完成PE參數(shù)組(a,b,τ,變換為OLP 參數(shù)組的逆變換.這里的變換已經(jīng)包括了初相信息,即所得參數(shù)組是完備的.為此,根據(jù)(13),(17)和(20)式,得到如下結果:

式中β′為該范圍內的任意實數(shù).

至此,由PE參數(shù)組(a,b,τ,χ′,x0,y0)變換為OLP參數(shù)組的完備公式如(17),(21),(22)三式所示,第3節(jié)中將給出一個實例來驗證其正確性.

2.3 OLP參數(shù)組與ODP參數(shù)組、OCP參數(shù)組的變換關系

變換時比較簡便的方法是利用簡諧振動矢量的復矢量表示法,OLP參數(shù)組(E1m,E2m,?L,?′L)的復矢量表示為

式中E為簡諧振動矢量的復振幅,即E(z,t)=Re{Eexp[j(ωt?kz)]}. 根據(jù)ODP參數(shù)組和OCP 參數(shù)組的物理意義,對應的復矢量分別表示為

由(23)—(25)式,可以整理得到變換結果:

(26)—(28)式為OLP參數(shù)組變換為ODP參數(shù)組的變換結果.與此對應,OLP參數(shù)組變換為OCP參數(shù)組的變換結果為

3 數(shù)值仿真驗證

為了進一步驗證上述各參數(shù)組之間變換關系的正確性,利用MATLAB符號數(shù)學軟件進行數(shù)值計算,以驗證這些關系的正確性、完備性.選取實際應用中最常見的OLP參數(shù)組、OCP參數(shù)組和PE參數(shù)組之間的關系來進行計算驗證.

圖2 (網(wǎng)刊彩色)OLP參數(shù)組變換為OCP參數(shù)組(EL=1.4547,ER=0.6197,Fig.2.(color online)The conversion of the OLP parameter groupto the OCP parameter group

PE參數(shù)組到OLP參數(shù)組的變換如(17),(21)和(22)式所示.對PE參數(shù)組,設a=2,b=1,τ=?30?,χ′=?1,x0=?0.5,計算的電磁波軌跡如圖3所示,初相點為經(jīng)過變換所得OLP參數(shù)組數(shù)值為計算所得的電磁波軌跡也在圖3繪出,圖中還標出了初相所對應的軌跡點.從圖3可以看到,PE參數(shù)組和OLP參數(shù)組所描述的PE軌跡完全符合,而且離散數(shù)據(jù)點橫、縱坐標值也完全符合,表明上述求解變換公式完全正確.

在實際應用中,多數(shù)情況下都采用PE參數(shù)組來描述天線的極化特性,主要關注軸比(即a/b,值不小于1)、傾角τ、數(shù)字化橢圓角參數(shù)χ′[18].天線極化測量通常用直接或間接方法來確定這些參數(shù).直接方法直接測出PE參數(shù)或其圖形,間接方法是通過各種正交分解的參數(shù)組變換得出PE參數(shù)組.引入數(shù)字化橢圓角參數(shù)χ′和初相參數(shù)(x0,y0),既完備了參數(shù)組,又擴展了天線極化測量的應用領域.該變換方法是一種天線極化測量的間接方法.

圖3 (網(wǎng)刊彩色)PE參數(shù)組(a=2,b=1,τ= ?30?,變換為OLP參數(shù)組Fig.3.(color online)The conversion of the PE parameter groupto the OLP parameter group

圖4 (網(wǎng)刊彩色)OLP參數(shù)組1.3329,變換為PE參數(shù)組(對圖3的逆變換)Fig.4.(color online)The conversion of the OLP parameter groupto the PE parameter group(a=2,b=1,referring to the inverse conversion shown in Fig.3.

實際應用需要對OLP參數(shù)組到PE參數(shù)組的變換關系式進行數(shù)值仿真驗證.OLP參數(shù)組到PE參數(shù)組的變換如(8)—(13)式所示.仍取圖3所示PE參數(shù)組變換為OLP參數(shù)組的算例,可進一步考察、驗證變換的可逆性、唯一性.設E1m=1.8028,變換輸出結果為a=2,b=1,τ=?30?,χ′=?1,與圖3輸入的PE參數(shù)組結果完全一致,證明了變換的可逆性、唯一性,如圖4所示.

4 結 論

本文全面推導了描述電磁波完全極化特性的不同參數(shù)組之間的相互完備變換關系.這些不同參數(shù)組都包含初相參數(shù),其中PE參數(shù)組、OLP參數(shù)組的初相參數(shù)是為了理論和應用完備性而添加的.與此同時,還擴展完善了描述線極化時PE參數(shù)組的數(shù)字化橢圓角參數(shù)χ′,從而實現(xiàn)了任一參數(shù)組對完全極化特征的完備描述.基于符號數(shù)學的數(shù)值計算結果充分驗證了這些嚴格的相互變換關系的正確性,揭示了各參數(shù)組之間的一一對應性,為這些全面包含初相參數(shù)的不同參數(shù)組之間的相互變換提供了有效、完備的計算公式,對極化理論和應用都具有參考價值.

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PACS:41.20.Jb,42.25.Ja,02.70.Wz DOI:10.7498/aps.66.054101

Conversion relationships between several parameter groups of completely polarized electromagnetic waves

Liu Jun-Qun?Liu Yao-Wen

(Nanjing Research Institute of Electronics Technology,Nanjing 210039,China)

13 September 2016;revised manuscript

5 December 2016)

It is known that polarization as the third characteristic of electromagnetic waves plays substantial roles which are comparable with the wave amplitude and phase,in describing the tempo and spatial properties of electromagnetic waves.Various parameter groups for characterizing the polarization state of electromagnetic waves with different initial states and boundary conditions have been proposed.However,a full-scale set of conversion relationships between these parameter groups with specific initial phases is not yet available.In this work,the initial phases as additional parameters for the orthogonal linear polarization and the polarization ellipse parameter groups and the digitized elliptical angleχ′as a complementary parameter to the polarization ellipse parameter group are taken into account respectively.Consequently,a full-scale set of conversion relationships between these parameter groups has been rigorously derived out.The validity of these conversion relationships are confirmed by the numerical calculations in terms of mathematical completeness and one-to-one correspondence.These conversion relationships make the tedious computation of the wave polarization much simpler and straightforward,benefiting practical implementation of the polarization theory of electromagnetic waves.

electromagnetic waves,parameter groups of complete polarization,conversion relationships

PACS:41.20.Jb,42.25.Ja,02.70.Wz

10.7498/aps.66.054101

?通信作者.E-mail:sufhap@sina.com

?Corresponding author.E-mail:sufhap@sina.com