江蘇 范賢麗 王安寓
秒殺共線向量求參的方法
江蘇 范賢麗 王安寓
最近正在復(fù)習《平面向量》,我在求解平面向量的題目過程中,發(fā)現(xiàn)了一種秒殺共線向量求參數(shù)值的方法.現(xiàn)整理成文,以饗讀者.
【例1】已知向量a=(1,0),b=(2,1),若(ka-b)∥(a+2b),則實數(shù)k=________.
【分析】本題考查向量的坐標運算、向量共線的坐標公式,涉及簡單的實數(shù)四則運算和解簡單的方程.只須按條件代入坐標,計算即可.
上述求解過程中規(guī)中矩,沒有一點可挑剔的.然而我覺得還是“多干活”了——實際上完全可以不計算坐標,就能觀察出k的值.
常規(guī)解法與秒殺解法對比,常規(guī)解法多了許多計算,秒殺解法相應(yīng)少了一些計算,甚至心算就行.
【類題1】已知向量a=(1,0),b=(2,1),若(ka-b)∥(a+3b),則實數(shù)k=________.
【秒殺解法】.
【類題2】已知向量a=(1,2),b=(0,1),設(shè)u=a+kb,v=2a-b,若u∥v,則實數(shù)k=________.
【類題3】已知向量a、b滿足|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為60°,記c=2a+b,設(shè)d=ma-b,且d∥c,求實數(shù)m的值.
【秒殺解法】c=-(-2a-b),∴m=-2.
【類題4】已知向量a=(2,1),b=(0,-1),若(a-λb)∥a,則實數(shù)λ=________.
【秒殺解法】a=a-0·b,∴λ=0.
秒殺解法的理論依據(jù)是什么?其實就是共線向量定理和向量相等的充要條件.
我們通過以下題目給出解釋.
【例2】已知a、b是不共線的兩個向量,若8a+kb與ka+2b共線,則實數(shù)k=________.
【常規(guī)解法】∵8a+kb與ka+2b共線,∴存在唯一實數(shù)λ,使得8a+kb=λ(ka+2b),
∵a、b是不共線的兩個向量,
從常規(guī)解法中,我們直觀看到:所謂的共線向量,實際上就是通過變形,兩個向量是若干倍的關(guān)系.對常規(guī)解法做簡單變形,就得到秒殺解法.
秒殺解法拋開了坐標計算和共線定理的直接應(yīng)用,轉(zhuǎn)化為考查兩個基底的系數(shù)關(guān)系,本質(zhì)上仍是共線向量定理的應(yīng)用.
秒殺解法的本質(zhì)是:通過觀察找到了共線向量定理中的實數(shù)λ.如例1中,兩個共線向量的關(guān)系是:a+2b=-2(ka-b);例2中,兩個共線向量的關(guān)系是:ka+2b=.共線向量定理中的實數(shù)λ一旦找到,求其他參數(shù)就輕而易舉了.
以上,我們研究了向量a、b不共線(也就是能作為平面向量的基底),秒殺解法對向量a、b共線是否行得通呢?
【分析】本題考查向量的坐標運算、向量共線的坐標公式,涉及簡單的實數(shù)四則運算和解簡單的方程.只須按條件代入坐標,計算即可.
上述解法是命題人希望我們采取的解法.其運算量稍大.實際上,我們可以通過向量與自身共線來簡化運算.
【類題1】已知向量a=(1,k),b=(2,2),若(a+b)∥2b,則實數(shù)k=________.
我們從以上例3及其類題中看到:已知兩個向量的線性和(差)共線,參數(shù)置入坐標中時,往往是兩個向量共線.
個人對秒殺解法的理解是:熟練掌握知識,才能反思出巧的解法.所謂的秒殺解法,實際上是省略了一些計算過程后呈現(xiàn)少的解法,是普通解法的升級版.其源頭仍是普通解法,即通性通法.我們解完一道題后,要多做一些反思,可以是方法的反思,也可以是解題過程的反思.既可以考慮一題多解,也要考慮多題一解.本文是從多題一解的角度思考的,有不足之處,敬請指正.
(作者單位:江蘇省南京市六合區(qū)實驗高級中學)