劉 亭，趙月旭

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

基于時(shí)間序列的上證綜合指數(shù)短期預(yù)測分析

劉 亭，趙月旭

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

對(duì)上證日收盤指數(shù)2000-12-20至2016-06-20的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模及預(yù)測分析.首先利用相關(guān)數(shù)據(jù)建立ARIMA模型，發(fā)現(xiàn)模型的殘差存在條件異方差性以及非正態(tài)性，于是對(duì)殘差建立GARCH模型，并對(duì)殘差的分布類型分別做正態(tài)分布、廣義誤差分布與t分布假設(shè).通過預(yù)測精度對(duì)比發(fā)現(xiàn)，殘差服從t分布的ARMA-GARCH模型預(yù)測效果更好，預(yù)測相對(duì)誤差僅為1.3%，可為相關(guān)投資者提供參考依據(jù).

上證綜合指數(shù)；ARIMA模型；t-ARMA-GARCH模型；預(yù)測

0 引 言

上證綜合指數(shù)是判斷股票價(jià)格變化趨勢(shì)的參考依據(jù)，對(duì)其進(jìn)行預(yù)測分析，可以幫助投資者及時(shí)了解股價(jià)未來走勢(shì)，降低投資風(fēng)險(xiǎn).2011年，文獻(xiàn)[1]對(duì)上證指數(shù)建立了基于小波的NN-GARCH模型.2014年，文獻(xiàn)[2]對(duì)上證日收盤指數(shù)建立了基于小波分析的ARIMA模型，提高了預(yù)測精度.2015年，文獻(xiàn)[3]利用基于粒計(jì)算的時(shí)間序列模型對(duì)股票價(jià)格進(jìn)行預(yù)測.2016年，文獻(xiàn)[4]利用ARMA模型對(duì)倫敦股票收益率做了月度和年度預(yù)測.本文對(duì)上證日收盤指數(shù)建立殘差服從t分布的t-ARMA(3,3)-GARC H(1,1)模型，對(duì)上證日收盤指數(shù)進(jìn)行了預(yù)測分析.

1 模型介紹

1.1 ARIMA(p,d,q)模型

ARIMA(p,d,q)模型定義如下[5]：

(1)

1.2ARMA(p,q)-GARCH(m,s)模型

ARMA(p,q)-GARCH(m,s)模型定義如下[6]：

(2)

式中，et～N(0,1)，獨(dú)立同分布.

1.3 殘差分布

對(duì)殘差的分布類型有以下3種假設(shè)[7]：

1)殘差εi服從正態(tài)分布：εi～N(0,1).

2)殘差εi服從t分布：εi～t(λ)，其中t(λ)是均值為0，自由度為λ的t分布.

3)殘差εi服從廣義誤差分布(Generalized Error Distribution，GED)分布.其密度函數(shù)為

(3)

2 實(shí)證分析

本文選取上證日收盤指數(shù)2000-12-20至2016-06-20的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，其中最后5天的收盤指數(shù)作為測試數(shù)據(jù).

2.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

利用R軟件對(duì)原始序列進(jìn)行平穩(wěn)性分析，時(shí)序圖如圖1所示.

圖1 上證指數(shù)日收盤指數(shù)時(shí)序圖

從圖1可以看出，日收盤指數(shù)隨時(shí)間推移有明顯的上升趨勢(shì)，顯然不是一個(gè)平穩(wěn)序列.用單位根檢驗(yàn)其平穩(wěn)性，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

(4)

(5)

式中，n為序列觀測期數(shù)，m為指定延遲期數(shù).檢驗(yàn)P值為0.002 61，小于α，認(rèn)為差分序列非白噪聲序列，可以進(jìn)行建模.

2.2ARIMA(p,d,q)模型的建立

圖2 差分序列的ACF，PACF圖

利用R軟件對(duì)原始序列擬合ARIMA模型，通過上面的分析可得這里的差分階數(shù)d=1，對(duì)差分序列做自相關(guān)系數(shù)(ACF)圖與偏自相關(guān)系數(shù)(PACF)圖如圖2所示.

由圖2可以看出，差分序列的ACF，PACF都是拖尾的，需要對(duì)原始序列建立ARIMA(p,d,q)模型.通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，ARIMA(3,1,3)模型更適合對(duì)原始序列建模，擬合模型如下：

rt=0.683rt-1-0.769rt-2+0.496rt-3+at-0.646at-1-0.712at-2-0.405at-3.

(6)

式中，rt=xt-xt-1，{xt}為原始序列.

2.3 殘差的檢驗(yàn)

對(duì)殘差序列{at}做Box-Ljung檢驗(yàn)，檢驗(yàn)P值為0.961 62，遠(yuǎn)大于顯著性水平α，接受原假設(shè)，認(rèn)為殘差為白噪聲序列.殘差的Q-Q圖與密度圖如圖3所示.

圖3 殘差的正態(tài)性檢驗(yàn)

由圖3可以看出，殘差不服從正態(tài)分布，且呈現(xiàn)尖峰后尾現(xiàn)象.

2.4ARCH效應(yīng)的檢驗(yàn)

對(duì)殘差方差進(jìn)行ARCH效應(yīng)檢驗(yàn).ARCH效應(yīng)的檢驗(yàn)原理為對(duì)殘差方差進(jìn)行Ljung-Box檢驗(yàn)，檢驗(yàn)p值為0.000 02遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于顯著性水平α=0.05，認(rèn)為殘差方差存在強(qiáng)相關(guān)性，即認(rèn)為殘差序列存在條件異方差性.

2.5ARMA(p,q)-GARCH(m,s)模型的建立

對(duì)原始序列分別建立ARIMA(3,1,3)模型以及殘差分別服從正態(tài)分布、t分布、廣義誤差分布的ARMA(3,3)-GARCH(1,1)模型，結(jié)合AIC信息準(zhǔn)則，即AIC值越小，模型的擬合效果越好，選出較優(yōu)模型.通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，殘差服從t分布的t-ARMA(3,3)-GARCH(1,1)模型為較優(yōu)模型，擬合模型如下：

(7)

式中，α1+β1<1，且非常接近1，說明過去的波動(dòng)對(duì)未來的波動(dòng)有正向長期的影響.

2.6ARMA-GARCH模型充分性檢驗(yàn)

對(duì)模型殘差以及殘差平方進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)，檢驗(yàn)p值分別為0.812 81，0.860 51，大于顯著性水平α，則認(rèn)為殘差為白噪聲序列，不存在異方差性，所建模型合理.

2.7 模型的預(yù)測與分析

利用對(duì)原始序列建立的ARIMA(3,1,3)模型以及殘差分別服從正態(tài)分布、t分布、廣義誤差分布的ARMA(3,3)-GARCH(1,1)模型對(duì)測試數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測.預(yù)測結(jié)果如表1所示.

表1 不同模型預(yù)測精度對(duì)比

表1中，預(yù)測結(jié)果是通過R軟件計(jì)算所得，相對(duì)誤差=|預(yù)測值—實(shí)際值|/實(shí)際值×100%.由表1可以看到，t-ARMA(3,3)-GARCH(1,1)模型預(yù)測的相對(duì)誤差之和僅為1.3%，說明t-ARMA-GARCH模型對(duì)上證日收盤指數(shù)的條件異方差性和尖峰厚尾現(xiàn)象有更好的刻畫，可用于對(duì)上證指數(shù)未來波動(dòng)趨勢(shì)的短期預(yù)測.

3 結(jié)束語

本文利用t-ARMA-GARCH模型對(duì)上證日收盤指數(shù)進(jìn)行了分析，通過預(yù)測精度對(duì)比發(fā)現(xiàn)，殘差服從t分布的預(yù)測模型能較好地對(duì)上證指數(shù)進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果可以為相關(guān)投資者提供一定的參考依據(jù).下一步研究將ARMA模型與指數(shù)GARCH模型、求和GARCH模型等做結(jié)合，對(duì)上證指數(shù)做短期分析，期待預(yù)測精度得到進(jìn)一步提高.

[1]王若星，張德生，彭瀟熟.上證指數(shù)的基于小波的NN-GARCH模型及實(shí)證研究[J].陜西科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2011,29(3):142-147.

[2]石鴻雁，尤作軍，陳忠菊.基于小波分析的ARIMA模型對(duì)上證指數(shù)的分析與預(yù)測[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2014,44(23):66-72.

[3]CHEN M Y, CHEN B T. A hybrid fuzzy time series model based on granular computing for stock price forecasting[J]. Information Sciences, 2015,29(4):227-241.

[4]ROUNAGHI M M. Monthly and yearly Forecasting of Time Series in Stock Returns using ARMA model[J]. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 2016,45(4):10-21.

[5]王燕.應(yīng)用時(shí)間序列分析[M].北京:中國人民大學(xué)出版社,2005:146-165.

[6]JONATHAN D. Cryer Kung-Sik Chan.Time Series Analysis with Applications in R[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2011:209-215.

[7]楊琦，曹顯兵.基于ARMA-GARCH模型的股票價(jià)格分析與預(yù)測[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2016,46(6):21-28.

Short-term Prediction Analysis of Shanghai Composite Index Based on Time Series

LIU Ting, ZHAO Yuexu

(SchoolofScience,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

Data of the Shanghai daily closing index between December 20, 2000 and June 20, 2016 is used for modeling and short-term prediction analysis. Firstly, ARIMA model is established. Then, due to the presence of conditional heteroskedasticity and non-normality of the model residuals, ARMA-GARCH model is established. Distribution types of the residuals norm, GED andtare taken into account. By comparison of prediction accuracy, it is found that thet-ARMA-GARCH model has better prediction effect, the relative error of prediction is only 1.3%, which can provide helpful suggestions for relevant investors.

Shanghai composite index; ARIMA model;t-ARMA-GARCH model; prediction

10.13954/j.cnki.hdu.2017.04.015

2016-07-24

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61273093，61473107,U1509205)；浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(LR16F030003)

劉亭(1990-)，女，山東菏澤人，碩士研究生，時(shí)間序列分析.通信作者：趙月旭副教授，E-mail：yxzhao@hdu.edu.cn.

F224.7

A

1001-9146(2017)04-0071-04