劉君澤
【摘 要】作為高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),在經(jīng)濟(jì)學(xué)中也有廣泛重要的作用。本文借用典型例子以導(dǎo)數(shù)為基礎(chǔ),初步介紹其在邊際分析、彈性分析方面的應(yīng)用,詳細(xì)討論了導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析問題中的最優(yōu)化應(yīng)用。
【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù);經(jīng)濟(jì)學(xué);邊際分析
1.導(dǎo)數(shù)的概念
導(dǎo)數(shù)(Derivative)是微積分中的重要基礎(chǔ)概念。當(dāng)函數(shù)y=f(x)的自變量x在一點(diǎn)x 上產(chǎn)生一個(gè)增量Δx時(shí),函數(shù)輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時(shí)的極限a如果存在,a即為在x 處的導(dǎo)數(shù),記作f′(x )或df(x )。
2.導(dǎo)數(shù)概念的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋
f′(x )實(shí)際上刻畫了函數(shù)y=f(x)在x0的變化率,當(dāng)自變量在x 處有一個(gè)單位的變化,則函數(shù)y=f(x)在f(x )處有f′(x )個(gè)單位的變化。
假設(shè)市場上某種商品的需求函數(shù)為d=d(P),其中P為商品的價(jià)格,d為市場上該商品的需求量。d′(P )表示當(dāng)價(jià)格在P 處有一個(gè)單位的變化,則該商品的需求量將會(huì)有d′(P )個(gè)單位的變化。同樣對(duì)于供給函數(shù)、總成本函數(shù)總收入函數(shù)、總利潤函數(shù)等函數(shù)導(dǎo)數(shù)意義的理解,都可以仿照,這里就不一一展開說明了。下面以一例具體解釋其意義。
3.分析
邊際成本的定義是產(chǎn)量增加一個(gè)單位時(shí)所增加的總成本?,F(xiàn)假設(shè)產(chǎn)品數(shù)量是連續(xù)變化的,于是單位產(chǎn)品可以無限細(xì)分。如果產(chǎn)量已經(jīng)是x在此水平上若產(chǎn)量從x增至x+x,那么總成本c(x)相應(yīng)的增量是△c=c(x+x)-c(x),它與△x的比為 = 。這表示在x和x+x之間總成本的平均變化率。若令,取極限就可以得到邊際成
本c′(x)= 。顯然,它近似地表示若已經(jīng)生產(chǎn)了x個(gè)單位產(chǎn)品,再增加一個(gè)單位產(chǎn)品總成本的增加量。同樣道理我們可以利用導(dǎo)數(shù)定義邊際收入、邊際利潤、邊際需求等。
4.導(dǎo)數(shù)在最值問題上的應(yīng)用
4.1最小平均成本問題
例:已知某個(gè)企業(yè)的成本函數(shù)C=q -9q +30q+25,其
中C-成本(單位:千元),q-產(chǎn)量(單位:噸)。求該企業(yè)生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品時(shí)所需費(fèi)用最少(即平均可變成本最小)?
解: 平均可變成本Y= =q -9q+30,解得Y′=2q-9。令Y'=0,得q=4.5噸。此時(shí)Y">0,所以q=4.5時(shí),Y取得極小值,由于是唯一的極值,因此就是最小值,即Y =4.5 -9×4.5+30=9.75。因此,該企業(yè)產(chǎn)量為4.5噸時(shí),所需費(fèi)用最少,即平均可變成本取得最小值9750元。
4.2最大利潤問題
企業(yè)生產(chǎn)的主要目的之一就是獲取利潤,而利潤函數(shù)L(x)=R(x)-c(x)被稱企業(yè)日標(biāo)函數(shù)。(R(x)為總收入函數(shù)、c(x)為總成本函數(shù))。為了求出使利潤最大的產(chǎn)出水平,首先,必須滿足最大值的必要條件:一階導(dǎo)數(shù)L′(x)=0,求L′(x)=0,即R′(x)=c′(x)其次,還必須滿足最大值的充分條件:當(dāng)L′(x)=0時(shí),L"(x)<0,即R"(x) 4.3最佳批量問題 在銷售管理中,有一個(gè)“最佳批量”的決策問題。一般而言,生產(chǎn)廠家或銷售公司要維持正常的生產(chǎn)和銷售,必須儲(chǔ)備一定的產(chǎn)品和商品,但庫存量一定要適度,庫存太多,會(huì)造成資金積壓或貨物過期;庫存太少,又會(huì)出現(xiàn)供不應(yīng)求,失去時(shí)機(jī)。因此管理者必須確定物資的庫存量,即何時(shí)補(bǔ)充庫存,應(yīng)該補(bǔ)充多少等。對(duì)于這個(gè)問題也可用導(dǎo)數(shù)加以解決。 假定企業(yè)全年存貨需求量為D,經(jīng)濟(jì)訂購費(fèi)用為Q,每次采購費(fèi)用為P,每單位存貨維持一年的費(fèi)用為k。由此可得采購次數(shù)為D/Q,平均存貨量為Q/2,一年所需的總費(fèi)用為:F(Q)= ·p+ ·k=0,我們按求量值的條件:(1)F′(Q)= ·p+ ·k=0,于是Q= ,(2)當(dāng)F"(Q)>0時(shí)費(fèi)用最小,即F"(A)= ·p>0,而F"(Q )>0,則最佳經(jīng)濟(jì)定購量為Q = 。 結(jié)語 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用頗為廣泛,本文只是略舉一二,如果能夠?qū)?shù)學(xué)作為分析工具應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)問題中去,不但可以提供準(zhǔn)確的數(shù)字作為參考,同時(shí)也能給企業(yè)提供更多的思路和見解,這也是數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科的實(shí)際應(yīng)用的具體體現(xiàn)。