高考背景下的交匯試題研究

【摘 要】隨著課改的深入，知識(shí)與能力并重的考察目標(biāo)催生了試題的交匯，基礎(chǔ)知識(shí)、思想方法、基本能力等方面的融合成為試題命制的重要方式，并逐漸成為一種趨勢(shì)。加強(qiáng)對(duì)試題中各種類型交匯的研究，挖掘其特點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系，能夠檢測(cè)學(xué)生個(gè)體思維的廣度和深度，有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】高考背景；交匯試題；研究

交匯試題由來(lái)已久?！镀胀ǜ叩葘W(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱（數(shù)學(xué)）》中曾明確指出，命題者在知識(shí)網(wǎng)路交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)相應(yīng)的試題，必須要促使對(duì)學(xué)生所展開數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，具有一定的深入性。隨之課改的深入，基礎(chǔ)知識(shí)與技能的整合，過(guò)程和方法的滲透逐漸成為命題的一種趨勢(shì)，并呈現(xiàn)出多樣化的形式，交匯的內(nèi)容不再局限于知識(shí)模塊之間，技能、方法等綜合能力的考察也備受關(guān)注。

一、知識(shí)模塊的交匯

1.以函數(shù)與導(dǎo)數(shù)為主的交匯

“函數(shù)”是歷年高考熱點(diǎn)，分值占有較大比重。與傳統(tǒng)的知識(shí)相結(jié)合，無(wú)論在難度，還是深度上都具有很強(qiáng)的交匯能力，將其同"導(dǎo)數(shù)"相關(guān)知識(shí)結(jié)合在一起，更是備受命題教師的青睞，關(guān)鍵原因還是拓寬了高考對(duì)函數(shù)，不等式問(wèn)題的考查范圍。

例1（2015湖南）已知a>0，函數(shù)f（x）=sinx（x∈[0，+∞）），記為f（x）的從小到大的第n（n∈N*） 個(gè)極值點(diǎn)，證明（1）數(shù)列{f（xn）}是等比數(shù)列（2）若，則對(duì)一切n∈N*，xn<|f（xn）|恒成立。

評(píng)析：因?yàn)槿呛蛿?shù)列的特殊性，從函數(shù)的角度出發(fā)都可以與導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生碰撞的火花，架起了數(shù)列與函數(shù)相通的橋梁。

2.以立體幾何為主的交匯

近年來(lái)，用“空間向量法”替代立體幾何以往的解題手段成為一種捷徑，成為命題者青睞的“交匯”平臺(tái)。同時(shí)也要關(guān)注平面幾何在立體幾何中的應(yīng)用。

例2（2017課標(biāo)1理）如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O，D、E、F為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐，當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位： cm3）的最大值為 。

評(píng)析：對(duì)于三棱錐最值問(wèn)題，肯定需要用到函數(shù)的思想進(jìn)行解決，本題解決的關(guān)鍵是設(shè)好未知量，在立體幾何的“平展與翻折”中，利用“降維”思想，通過(guò)平面幾何在立體幾何中的應(yīng)用，把握?qǐng)D形特征表示出三棱錐體積，從而達(dá)到對(duì)立體幾何知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考查的目的。當(dāng)變量是高次時(shí)需要用到求導(dǎo)得方式進(jìn)行解決。

3.以解析幾何為主的交匯

除了立體幾何，解析幾何內(nèi)容之間的“交匯”形式同樣豐富。

例3（2017課標(biāo)Ⅱ理）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓上，過(guò)M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足.（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上，且.證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線1過(guò)C的左焦點(diǎn)F。

評(píng)析：這一類題型主要是考查學(xué)生綜合運(yùn)用向量工具去解決和幾何知識(shí)有關(guān)的代數(shù)問(wèn)題的一種能力，通俗而言，就是用“數(shù)”去研究幾何問(wèn)題。其中，向量只是作為解題的重要工具，即融數(shù)、形于一體，最終實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的目的。把向量點(diǎn)綴于解析幾何問(wèn)題之中，這也是近幾年高考數(shù)學(xué)中的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題。

4.以概率為主的交匯

實(shí)際上，與概率交匯的綜合性問(wèn)題是非常好的學(xué)習(xí)素材，它對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)都有重要的意義，與此同時(shí)，還能為學(xué)生為今后高等數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。 尤其是幾何概型的考察，與其他知識(shí)模塊的交匯形式靈活多樣，成為高考試題中的一個(gè)重要交匯點(diǎn)。

例4（2016年山東）在[-1，1]上隨機(jī)的取一個(gè)數(shù)k，則事件“直線y=kx與圓（x-5）2+y=9相交”發(fā)生的概率為_____

評(píng)析：本題結(jié)合區(qū)間取值，直線與圓的位置關(guān)系，設(shè)置了概率與解析幾何之間的交匯命題。利用解析幾何的“坐標(biāo)化”核心方法，以及幾何概型的“幾何”因素，就能夠?qū)^(qū)間問(wèn)題“幾何”化?？傊?，題干雖然比較短，但是內(nèi)容卻是相當(dāng)?shù)木珶挕?/p>

5.以三角函數(shù)為主體的交匯

“三角函數(shù)”是常見的交匯主體之一。近年來(lái)，高考中的三角函數(shù)交匯點(diǎn)逐漸拋開了三角形載體，呈現(xiàn)交匯形式多樣化。

例5（2015廣東）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知向量，，.（1）若，求tanx的值；（2）若 與的夾角為，求x的值。

評(píng)析：平面向量之所以能與三角函數(shù)常交匯，關(guān)鍵還在于它們之間存在一個(gè)共性因素，即“角”，從而才促使三角問(wèn)題得以充實(shí)，加強(qiáng)，本題經(jīng)典常規(guī)。

6.以數(shù)列為主體的交匯

“數(shù)列”是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的橋梁。其變幻多樣的“散”、“聚”形式，常常同中學(xué)數(shù)學(xué)的其它內(nèi)容形成交叉以及滲透的關(guān)系。除此之外，其交匯的問(wèn)題也是尤其新穎和別致，有時(shí)還會(huì)令人賞心悅目。

例10（2016年浙江），點(diǎn)列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且，，，，n∈N*，（P≠Q(mào)表示點(diǎn)P與Q不重合），若， 的面積，則（ ）

A.{ Sn}是等差數(shù)列 B.{Sn2}是等差數(shù)列

C.{dn}是等差數(shù)列 D.{dn2}是等差數(shù)列。

評(píng)析：本題在問(wèn)題的轉(zhuǎn)化中，凸顯本質(zhì)，“列”是數(shù)列的基本特征，重點(diǎn)考查等差數(shù)列的定義，又因“點(diǎn)”在銳角邊上，對(duì)三角形面積公式及直角三角形邊角關(guān)系等的考查同時(shí)也涉及。

二、數(shù)學(xué)思想方法之間的交匯

《課標(biāo)》中明確指出，高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)目的除了掌握知識(shí)之外，還要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的滲透，提高綜合應(yīng)用能力。

例6（2015天津）已知函數(shù)，函數(shù)g（x）=b-f（2-x），其中b∈R，若函數(shù)y=f（x）-g（x）恰有4個(gè)零點(diǎn)，則b的取值范圍是（ ）

評(píng)議：本題是涉及函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，必然考查了函數(shù)與方程的思想方法，利用等價(jià)轉(zhuǎn)換，由“數(shù)”想“圖”，借“圖”解題，考查學(xué)生的運(yùn)算能力、動(dòng)手作圖能力以及觀察能力，是提高題。

三、數(shù)學(xué)基本能力之間的交匯

數(shù)學(xué)基本能力是數(shù)學(xué)思維的一種體現(xiàn)，綜合能力交匯的考察常隱含眾多高考經(jīng)典試題中。

例7（2015湖北理）已知符號(hào)函數(shù)，f（x）是R上的增函數(shù)，g（x）=f（x）-f（ax）（a>1） ，則（ ）

A.sgn[g（x）]=sgnx B.sgn[g（x）]= -sgnx

C.sgn[g（x）]=sgn[fx] D.sgn[g（x）]= -sgn[fx]

評(píng)析：新定義問(wèn)題重點(diǎn)考查學(xué)生的邏輯推理能力和創(chuàng)新意識(shí)。

四、總結(jié)與展望

交匯試題運(yùn)用多種不同的方式融合了高中數(shù)學(xué)的知識(shí)、能力和方法，強(qiáng)調(diào)綜合性，深入數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)在本質(zhì)，是鍛煉學(xué)生基本能力的有效手段。而通過(guò)反復(fù)的訓(xùn)練，學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅能夠提升自己的知識(shí)遷移能力，而且還能有效提升核心素養(yǎng)。它有力地詮釋課標(biāo)課程新理念，是今后試題命制和解題研究必將仍然堅(jiān)持的高考視角。因此，在高考復(fù)習(xí)過(guò)程中，尤其要注重：知識(shí)、能力和方法三者之間的內(nèi)在聯(lián)系，與此同時(shí)，重視在交匯處的素材挖掘，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生各種類型交匯試題的訓(xùn)練，才更利于增強(qiáng)他們?cè)谛赂呖辑h(huán)境下的適應(yīng)能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]莊靜云.基于交匯的數(shù)學(xué)試題研究[D].福建師范大學(xué)，2012（10）.

[2]李紹波，覃羅江.高考中函數(shù)問(wèn)題新交匯的探討[J].科教文匯（上旬刊），2009（11）.

作者簡(jiǎn)介：

林秀麗（1973.06～），女，福建省寧德人，漳州師院數(shù)學(xué)專業(yè)，本科生。