電阻網(wǎng)絡(luò)對(duì)稱(chēng)端鈕短接法的應(yīng)用

藍(lán)天翊 龔遠(yuǎn)帥 賈 慧

(山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二 山東 濟(jì)南 250001)

學(xué)生創(chuàng)新園地

電阻網(wǎng)絡(luò)對(duì)稱(chēng)端鈕短接法的應(yīng)用

藍(lán)天翊 龔遠(yuǎn)帥 賈 慧

(山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二 山東 濟(jì)南 250001)

利用電阻網(wǎng)絡(luò)存在的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行簡(jiǎn)化是一類(lèi)重要的分析方法，但是對(duì)于端鈕不具備對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)型電阻網(wǎng)絡(luò)，往往無(wú)法利用整體的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行簡(jiǎn)化．為此我們?nèi)藶橐胍粋€(gè)輔助端鈕構(gòu)造一個(gè)對(duì)稱(chēng)的三端電阻網(wǎng)絡(luò)，利用對(duì)稱(chēng)端鈕短接后電阻網(wǎng)絡(luò)保持對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn)來(lái)簡(jiǎn)化電路，并通過(guò)三端電阻網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì)間接計(jì)算某些端鈕間的等效電阻．對(duì)稱(chēng)端鈕短接法作為一種新的分析方法，更加簡(jiǎn)便且利于理解掌握．

電阻網(wǎng)絡(luò) 對(duì)稱(chēng)端鈕 短接法

1 方法的提出

在分析有限或無(wú)限對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)電阻網(wǎng)絡(luò)的過(guò)程中，通常情況下運(yùn)用T-π轉(zhuǎn)換法、電流疊加法或應(yīng)用基爾霍夫定律求解．本文引入一種新的解題方法，更加簡(jiǎn)便且利于理解掌握．

圖1(a)所示一個(gè)具有對(duì)稱(chēng)端鈕的三端電阻網(wǎng)絡(luò)，端鈕a與端鈕a′連接的等效電阻阻值相等．在某些電阻網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中，直接計(jì)算端鈕ab(XY構(gòu)型)或端鈕aa′(XX構(gòu)型)間等效電阻存在困難，但是我們可以通過(guò)短接對(duì)稱(chēng)端鈕的方法，如圖1(b)所示，間接計(jì)算出目標(biāo)端鈕間的等效電阻．根據(jù)端鈕對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的不同，我們分XX構(gòu)型及XY構(gòu)型進(jìn)行討論．

圖1

1.1 XX構(gòu)型

若直接計(jì)算端鈕aa′間電阻存在困難，且端鈕a與a′在電阻網(wǎng)絡(luò)中關(guān)于端鈕b對(duì)稱(chēng)．如果短接端鈕aa′后，端鈕aa′與b間電阻可知，且端鈕ab間電阻可知，則通過(guò)以下方程組

(1)

(2)

可得端鈕a與a′間電阻為

Ra-a′=Rx+Rx=4(Ra-b-Raa′-b)

1.2 XY構(gòu)型

若直接計(jì)算端鈕a與b間電阻存在困難，但是電阻網(wǎng)絡(luò)中存在端鈕a′與端鈕a關(guān)于端鈕b對(duì)稱(chēng)，短接端鈕aa′后，端鈕aa′與b間電阻可知，且端鈕aa′間電阻可知，則通過(guò)以下方程組

(3)

(4)

可得端鈕a與b間電阻為

2 方法的應(yīng)用

【例1】如圖2(a)所示田字格電阻網(wǎng)絡(luò)，各小邊電阻值為R，求端鈕a與b間電阻．

常見(jiàn)方法是使用電流疊加法，但是該方法的使用超出了高中物理教學(xué)大綱，不便于同學(xué)們理解．本例使用對(duì)稱(chēng)端鈕短接法后，解題過(guò)程簡(jiǎn)潔易懂．

圖2

(5)

(6)

【例2】如圖3(a)所示正方體電阻網(wǎng)絡(luò)，各小邊電阻為R，計(jì)算端鈕a與b間電阻．

圖3

圖4 繼續(xù)短接圖3(b)中bb′后的化簡(jiǎn)圖

注：數(shù)字2,4表示并聯(lián)邊數(shù)

根據(jù)XY構(gòu)型方程組

(7)

(8)

(9)

(10)

所以，端鈕a與端鈕b間電阻為

【例3】如圖5(a)所示，各小邊電阻為R，計(jì)算端鈕a與a′間電阻．

圖5

對(duì)于圖5(a)所示奇數(shù)個(gè)網(wǎng)孔的電阻網(wǎng)絡(luò)，端鈕a與a′的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)并不位于電阻網(wǎng)絡(luò)上，為解決這一困難，我們?nèi)藶橐攵蒜ob，分別通過(guò)電阻RN連接至上下兩邊的中點(diǎn)．當(dāng)RN趨于無(wú)窮大時(shí)，端鈕b所在支路對(duì)端鈕a與a′間電阻的影響趨于零．因?yàn)槎蒜oa與a′關(guān)于端鈕b對(duì)稱(chēng)，所以為XX 構(gòu)形．

(11)

(12)

所以端鈕a′與端鈕b間電阻為

將結(jié)果代入圖5(b)所示XX構(gòu)型，短接端鈕a與a′，并對(duì)電阻網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行簡(jiǎn)化，如圖6所示．

圖6 將圖5(b)中的aa′短接后的化簡(jiǎn)圖

(13)

(14)

(15)

(16)

所以端鈕a與端鈕a′間電阻為

從以上例題中可以看到，對(duì)稱(chēng)端鈕短接法為我們處理具有對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的電阻網(wǎng)絡(luò)提供了新的思路，概念的理解相對(duì)容易，計(jì)算方法也是簡(jiǎn)便的．

1 高偉吉.用順次短接順次斷開(kāi)法求電阻T形網(wǎng)絡(luò)與π形網(wǎng)絡(luò)的等效變換.通化師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2001，22(5)：49～51

2 李瀚蓀.電路分析基礎(chǔ).北京：高等教育出版社，1983.112

Highlights：Use the symmetry of the resistance network to simplify circuit is an important way to analyze the problems,but this is not useful if the points which the resistance between them need to be calculated are not in the right places.So we build the assist point to construct the three ends’resistance network that is symmetrical,which can be used to simplify the circuit,then we can get the answer indirectly.The Symmetrical shorten method is seen as a new problem-analyze method,which is more easy in solving the problem and more understandable.

ApplicationonShortenJoinMethodofSymmetricalEndKnobinResistanceNetwork

LanTianyiGongYuanshuaiJiaHui

(ShandongExperimentalHighSchool,Jinan,Shandong250001)

resistance network；symmetrical point；shorten

藍(lán)天翊(2000- )，男，在讀高中生.龔遠(yuǎn)帥(2000- )，男，在讀高中生.

指導(dǎo)教師：賈慧(1984- )，女，碩士，主要從事高中物理教學(xué)及美國(guó)AP物理課程教學(xué)研究.

2017-03-21)