以簡馭繁 簡中有道
——談?wù)労喕馕鰩缀芜\算的七個著眼點

蔡勇全

(四川省資陽市外國語實驗學(xué)校,四川 資陽 641300)

以簡馭繁 簡中有道
——談?wù)労喕馕鰩缀芜\算的七個著眼點

蔡勇全

(四川省資陽市外國語實驗學(xué)校,四川 資陽 641300)

解析幾何，顧名思義，就是用代數(shù)的方法研究幾何問題.然而，如果用純粹的代數(shù)方法解決某些解析幾何問題，思路雖簡單，但運算較繁瑣，導(dǎo)致學(xué)生在解題過程中明知會求，但就是解不出來，或看著繁瑣的式子就生畏，因此，我們應(yīng)該尋求簡化解析幾何運算之策．

運算能力；代數(shù)推導(dǎo)；優(yōu)化過程

解析幾何是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點和難點，也是歷年高考考查的熱點，并且常常以壓軸題的形式出現(xiàn)．此類問題的求解思路清晰，但對運算能力的要求較高，不少學(xué)生往往會因為繁瑣的代數(shù)推導(dǎo)而心生畏懼，陷入進(jìn)退失據(jù)的困境，以至出現(xiàn)因放棄不做、胡亂書寫、有始無終等找不到恰當(dāng)運算策略的行為習(xí)慣而導(dǎo)致得分率普遍較低的現(xiàn)象，因此，掌握必要的運算技能，避開繁瑣的計算，盡可能地簡化運算過程，就成為了準(zhǔn)確、迅捷地解決此類問題的關(guān)鍵．基于常見的各種條件類型，本文結(jié)合實例介紹突破解析幾何運算“關(guān)”的幾個著眼點，供參考．

一、回歸定義

“問渠那得清如許，為有源頭活水來”．定義正是一切概念的源頭活水，也是一切問題設(shè)計的出發(fā)點和落腳點．曲線的定義深刻地刻畫了曲線的本質(zhì)內(nèi)涵，所以在解析幾何問題面前感到無從下手、止步不前時，利用曲線的定義解決問題，往往能避繁就簡，省時省力，符合華羅庚先生提出的“復(fù)雜的問題要善于‘退’，足夠地‘退’，‘退’到最原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竊”這一觀點，這里“最原始而不失去重要性的地方”其實就是研究對象的定義．

二、借助平面幾何性質(zhì)

本質(zhì)上，解析幾何仍屬于幾何范疇，它與平面幾何圖形有著密切的聯(lián)系．在解決解析幾何問題時，若能根據(jù)圖形的特征，借助平面幾何性質(zhì)，如角平分線，中位線，切割線，相交弦，相似比等的性質(zhì)，往往能幫助我們更加看透問題的本質(zhì)，形成新穎獨特的解題思路，避免復(fù)雜運算，收到簡化運算步驟之效果．

三、利用向量方法

向量是溝通幾何與代數(shù)的重要橋梁，它具有幾何形式與代數(shù)形式的雙重身份．它既能體現(xiàn)形的直觀的位置特征，又具有數(shù)的運算性質(zhì)，它可以將幾何問題數(shù)量化、坐標(biāo)化，尤其是可以使解析幾何中的“垂直問題”、“平行問題”、“角為鈍角或銳角”等問題輕松獲得解決．

變式1 同例2．

變式2 設(shè)點A和B為拋物線y2=4x上異于原點的兩個動點，且OA⊥OB，OM⊥AB，求點M的軌跡方程，并說明它是什么曲線．

解析 設(shè)M(x，y)，A(4t12，4t1)，B(4t22，4t2)，其中x>0，t1t2≠0，且t1≠t2，

將①、②代入③可得，點M的軌跡方程為(x-2)2+y2=4(x>0)，它表示與y軸相切于原點的一個圓(不包括原點)．

評注 從上述實例可以看到，向量方法的優(yōu)點是思路清晰，過程簡捷，不僅可以將幾何關(guān)系迅速地轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，具有事半功倍的效果，而且較好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想．

四、設(shè)而不求

設(shè)而不求是指在解題時，可根據(jù)題意設(shè)出一些輔助元(參數(shù))，在求解的過程中，不必求出這些輔助元(參數(shù))的值，僅把它作為橋梁或過渡元素，巧妙地消去這些輔助元(參數(shù))，達(dá)到降低難度的目的．在解決解析幾何問題時為優(yōu)化運算而常常采用這種方法．

評注 在利用設(shè)而不求策略解題時，要注意韋達(dá)定理、判別式往往是與其相伴相隨出現(xiàn)的．此外，設(shè)而不求策略之下的“點差法”也是處理有關(guān)弦中點和斜率問題的常用辦法．

五、巧設(shè)方程

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究幾何問題，而方程無疑是代數(shù)方法的一個重要支撐，所以解決解析幾何問題時少不了從方程角度進(jìn)行研究．解題時，若能根據(jù)題目的特點恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的設(shè)法，則往往能有效地避免分類討論，簡化運算，優(yōu)化解題過程．

例5 過點P(2，4)且與拋物線y2=8x相切的直線方程為__________．

例5通過設(shè)出曲線的一般方程來求解問題，事實上，根據(jù)題目的特點，還可以通過設(shè)出曲線的參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程來解答之．

六、挖掘?qū)ΨQ性

解析幾何中的各類曲線往往有著優(yōu)美的對稱性，若在解題時能注意挖掘題目中的對稱關(guān)系，對某些式子的運算作代換處理，也能簡化運算，收到事半功倍的效果．

例7 自點A(-3，3)發(fā)出的一束入射光線射到x軸上被x軸反射后，其反射光線所在的直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切，求入射光線所在的直線l的方程．

評注 從上述實例可以看到，對稱為簡化計算、有效減少工作量提供了可能性，所以注意挖掘圖形的對稱性，實際上是為解題尋找一條便捷的路．

七、特殊化或極限化

把研究對象特殊化或極限化向來是探究數(shù)學(xué)問題的重要手段，在解答一些解析幾何問題時，若能善加運用，也可以極大地優(yōu)化運算，減少計算量．

[1]蔡勇全.回歸定義 靈活解題[J]．?dāng)?shù)理化解題研究，2014(1)．

[2]蔡勇全.“1”在數(shù)學(xué)解題中的幾種妙用[J]．?dāng)?shù)理化解題研究，2016(10)．

[3]蔡勇全.簡化數(shù)學(xué)運算的若干策略[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)研究，2015(1)．

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-05-01

蔡勇全(1980.8-)，男，四川遂寧人，碩士學(xué)位，中學(xué)數(shù)學(xué)一級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

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